Эвольвента зуба колеса, её свойства и уравнение

 

Образование рабочей эвольвентной поверхности зуба колеса можно представить таким образом. Пусть имеется круглый цилиндр (рис. 8.10, а) с радиусом и осью OO, который называется основным цилиндром. Введём в касание с ним плоскость P, содержащую прямую AB, расположенную параллельно образующей цилиндра.

Если покатить без скольжения плоскость P по цилиндру, то прямая AB опишет эвольвентную цилиндрическую поверхность, начинающуюся от линии A ₀ B ₀ касания данной плоскости с цилиндром в начальный момент. В любом сечении эвольвентной поверхности плоскостью, перпендикулярной оси основного цилиндра, получается окружность основания цилиндра с радиусом и эвольвента этой окружности (рис. 8.10, б). Все свойства зацепления эвольвентных колёс определяются свойствами эвольвенты окружности, поэтому далее будем рассматривать именно эту эвольвенту как профиль зубьев таких колёс.

Образование эвольвенты окружности можно представить как траекторию, описываемую остриём карандаша, привязанного к концу нити, сматываемой с катушки, установленной своей осью перпендикулярно плоскости листа бумаги. Более строго можно сказать, что эвольвента получается как траектория точки прямой линии (производящей прямой), перекатывающейся без скольжения по выпуклой кривой, например окружности. На основанииспособа образования эвольвенты можно так сформулировать её свойства.

С в о й с т в а э в о л ь в е н т ы.

1. Нормаль к эвольвенте является касательной к основной окружности.

2. Центры кривизны эвольвенты лежат на основной окружности, так что основная окружность представляет собой эволюту, то есть геометрическое место центров кривизны эвольвенты.

3. Радиус кривизны эвольвенты в данной точке равен отрезку производящей прямой, заключённому между данной точкой эвольвенты и точкой касания производящей прямой с основной окружностью, . В точке начала эвольвенты её радиус кривизны равен нулю, .

4. Радиус кривизны эвольвенты в данной точке равен дуге основной окружности, заключённой между точкой начала эвольвенты и точкой касания этой прямой с основной окружностью, .

5. Правая и левая ветви эвольвенты симметричны.

6. Все точки эвольвенты лежат снаружи от основной окружности.

У р а в н е н и е э в о л ь в е н т ы. Для получения уравнения эвольвенты обратимся к рис. 8.11. Положение произвольной точки A _y эвольвенты в полярной системе координат определяется двумя координатами относительно её начального радиуса-вектора OA ₀ (или OC ₀): длиной радиуса-вектора R _y и углом θ _y. Радиус-вектор R_y определим из прямоугольного треугольника OA_yC _y:

Для определения полярного угла θ _y сначала выразим длину дуги основной окружности через её радиус и центральный угол:

Выразим теперь противолежащий углу α _y катет A_yC_y в ∆OA_yC_y:

 

На основании четвёртого свойства эвольвенты имеем

 

Подставляя в это равенство соответствующие выражения и решая его относительно , получаем

.

В этих математических выражениях и на рис. 8.11 угол называется профильным углом эвольвенты. Разность между тангенсом какого-либо угла и самим углом называется эвольвентной функцией и обозначается тремя первыми буквами латинского названия эвольвенты involute, то есть inv, так что окончательно уравнение имеет вид:

θ_y = invα_y.

В математических справочниках приводятся таблицы эвольвентной функции, в которых аргумент α_y изменяется от нуля до нескольких десятков градусов.

 

Элементы зубчатого колеса

Здесь рассматриваются те элементы колеса, которые относятся к его ободу, где располагаются зубья (рис. 8.12).

–

 

Шаг колеса – это расстояние по делительной окружности между одноимёнными профилями двух соседних зубьев, . Шаг включает два параметра – толщину зуба и ширину впадины . Если , то имеем колесо с равноделённым шагом, в противном случае имеем колесо с неравноделённым шагом.

Делительная окружность (её радиус ; в зацеплении двух колёс имеет индекс номера колеса):

– делит зуб на головку и ножку;

– модуль m на этой окружности имеет стандартное значение;

– радиус окружности имеет величину ;

– в точке на делительной окружности профильный угол эвольвенты и обозначается буквой без индекса.

Основная окружность является базовой для образования эвольвенты (от неё начинается эвольвентная часть зуба). Радиус этой окружности получается из рассмотрения прямоугольного треугольника с углом при вершине O, равным , и одним из катетов, равным _b, и гипотенузой, равной : .

Окружность вершин является габаритной окружностью колеса, её радиус определяется формулой

,

где – высота головки зуба, причём . Множитель перед модулем называется коэффициентом высоты головки зуба и равен по величине 1, то есть .

Диаметр окружности вершин является диаметром заготовки для изготовления зубчатого колеса.

Окружность впадин ограничивает зуб у основания. Её радиус определяется разностью , где – высота ножки зуба, определяемая равенством , число в скобках называется коэффициентом радиального зазора и имеет величину .

Полная высота зуба, включающая головку и ножку, составляет .

Контур зуба от основной окружности до окружности вершин очерчен эвольвентой, которая сопрягается с окружностью впадин переходной кривой (для сведения: эквидистантой удлинённой эвольвенты).