Качественные характеристики эвольвентного зацепления

К о э ф ф и ц и е н т п е р е к р ы т и я. Как было сказано выше (см. рубрику 8.3), коэффициентом перекрытия называется отношение дуги зацепления к шагу. То и другое берётся по центроидной окружности. Применительно к эвольвентному зацеплению это отношение можно заменить отношением дуги зацепления по основной окружности к шагу по той же окружности. Основанием для такой замены служит положение о том, что если разделить числитель и знаменатель на радиус начальной окружности, то отношение не изменится. Отношение дуги зацепления к радиусу даст угол поворота зуба от начала до конца его контакта с соответствующим зубом другого колеса. Отношение шага к радиусу даст угловой шаг . Отношение дуги зацепления по основной окружности к радиусу этой окружности равно тому же углу поворота зуба, а отношение основного шага к радиусу основной окружности также равно угловому шагу . На основании свойств эвольвенты дуговым величинам на основной окружности равны соответствующие отрезки линии зацепления. Тогда коэффициентом перекрытия можно назвать отношение длины активной линии зацепления к основному шагу зубчатого колеса. В эвольвентном зацеплении он обозначается и определяется отношением

.

 

Обычно величина коэффициента перекрытия заключена между 1 и 2, при этом минимальное значение не должно быть меньше 1,1. Схематически соотношение между длиной
активной линии зацепления и
основным шагом показано на рис. 8.20. Точка контакта профилей зубьев перемещается вдоль активной линии зацепления от точки H ₁ к точке H ₂. Основной шаг короче активной линии зацепления, поэтому в пределах этой линии работают то одна, то две пары зубьев. Если отложить, как показано на рис. 8.20, основной шаг от точек H ₁ и H ₂, то отрезок H ₁ H ₂ будет разделён на три части. Две крайние части соответствуют зонам двухпарного зацепления зубьев, а средняя – зоне однопарного зацепления. Чем короче средняя зона, тем плавнее работает зубчатая передача, так как суммарная длина двух крайних участков становится длиннее. Данной формулой можно воспользоваться, если вычерчена картина зацепления пары колёс, на которой можно измерить отрезок H ₁ H ₂ и затем вычислить . Однако при отсутствии картины зацепления отрезок не измеришь и коэффициент перекрытия вычислить нельзя. Поэтому необходимо получить расчётную формулу, по которой можно рассчитать , используя другие данные. Обратимся к рис. 8.21, на котором показаны все элементы, необходимые для получения расчётной формулы. Активная линия зацепления H ₁ H ₂ выделена жирной линией. Из окружностей колёс здесь показаны только окружности вершин и отмечены их радиусы и . Отмечены также радиусы основных окружностей и . И, наконец, указаны угол зацепления и профильные углы эвольвенты первого колеса на вершине зуба и эвольвенты второго колеса также на вершине зуба. Сразу же отметим, что указанные профильные углы легко определяются из прямоугольных треугольников O ₁ N ₁ H ₂ и O ₂ N ₂ H ₁. Из первого треугольника находим , из второго треугольника находим .

Далее выразим длину отрезка H ₁ H ₂ следующим образом:

 

.

 

В этом выражении , ,

 

и .

 

Подставив вместо H ₁ H ₂ найденные значения слагаемых правой части, записываем

.

 

Заменим радиусы и соответствующими выражениями и, подставив их в полученную формулу, после сокращений находим

 

.

 

Заменив радиусы и их выражениями через модуль и числа зубьев, а затем, поделив числитель и знаменатель на модуль , окончательно получаем

 

.

У д е л ь н о е с к о л ь ж е н и е. Удельным скольжением называется отношение скорости скольжения профилей в точке их касания к скорости перемещения точки касания по профилю. Этот показатель характеризует износ боковых (рабочих) поверхностей зубьев в результате трения скольжения. Об этом было сказано в рубрике 8.3. Там же было определено, что удельное скольжение описывается двумя математическими выражениями, относящимися к разным колёсам:

и .

Для определения тангенциальных составляющих скоростей обратимся к
рис. 8.22. Соединим точку К ₁ профиля зуба колеса 1 с центром О ₁ вращения этого колеса радиусом R ₁, и точку К ₂, совпадающую с точкой К ₁, с центром О ₂ радиусом R ₂. Перпендикулярно радиусу R ₁ в сторону вращения колеса 1 отложим абсолютную скорость точки К ₁, равную , и перпендикулярно радиусу R ₂ в сторону вращения колеса 2 отложим абсолютную скорость точки К ₂, равную . Отметим угол β ₁ между радиусом R ₁ и перпендикуляром O ₁ N ₁ к линии зацепления и β ₂ – между радиусом R ₂ и перпендикуляром О ₂ N ₂ также к линии зацепления. Спроецируем скорости и на линию зацепления N ₁ N ₂. Линия зацепления направлена по нормали к профилям зубьев, поэтому проекции скоростей на неё являются нормальными составляющими, равными друг другу. Составляющие, направленные перпендикулярно линии зацепления, действуют по касательной к профилям и являются тангенциальными составляющими. Они определяются следующими цепочками равенств

, .

C учётом этого ранее записанные выражения примут следующий вид:

, .

В этих выражениях буквой К обозначены совпадающие друг с другом точки К ₁ и К ₂.

 

 

Схематический график удельного скольжения показан на рис. 8.23.

График показывает, что удельное скольжение на голов-ках зубьев меньше, чем на ножках, следовательно, ножки изнашиваются интенсивнее, чем головки. Характер износа таков, что чем дальше от полюса в радиальном направлении нахо-дится зона профиля, тем больше она изнашивается. В полюсе зацепления износ от скольжения равен нулю, так как эта точка является мгновенным центром поворота одного колеса относи-тельно другого, и точки профи-лей, попадающие в полюс, имеют радиус относительного вращения вокруг полюса, равный нулю.

К о э ф ф и ц и е н т у д е л ь н о г о д а в л е н и я. Коэффициентом удельного давления называется отношение модуля зацепления к приведённому радиусу кривизны профилей зубьев в точке их контакта. Этот коэффициент применяется при расчёте зубьев на контактную прочность. Формула Герца для расчёта контактных напряжений в контакте двух цилиндров имеет вид

где – нормальное усилие, сжимающее цилиндры, – приведённый модуль упругости, – длина контактной линии цилиндров, – приведённый радиус кривизны цилиндров.

Умножив числитель и знаменатель формулы на модуль , не изменим результат, а формула Герца приобретёт следующий вид

где представляет собой коэффициент удельного давления.

На основании свойств эвольвенты радиусы кривизны профилей равны:

; , поэтому окончательно формула получится в виде

.

Примерный вид графика коэффициента удельного давления в зависимости от положения точки контакта на линии зацепления показан на рис. 8.24.

Минимальное значение коэффициента q _minполучается в центральной точке графика, то есть при . Это значение составляет величину

.