Виброгашение и виброизоляция

 

В и б р о г а ш е н и е. Виброгашение представляет собой процесс устранения колебаний объекта без устранения источников этих колебаний. В некоторых технических устройствах устранение источников колебаний, например с помощью противовесов, по разным причинам невозможно. Вместе с тем существует необходимость гашения колебаний самого устройства в целом. Чтобы решить эту задачу, можно применить так называемое активное виброгашение, элементы которого функционируют на основе принципов работы систем автоматического управления (САУ). Другим вариантом решения является использование пассивного виброгашения, которое осуществляется с помощью так называемых динамических виброгасителей, или динамических гасителей колебаний, присоединяемых к устройству снаружи с помощью упругой связи.

Рассмотрим кратко теорию динамического гасителя колебаний. Представим себе, что имеется некоторое устройство 1 (рис. 7.18), имеющее массу и присоединённое к основанию с помощью упругой связи с коэффициентом жёсткости . Положение этого устройства относительно основания определяется координатой , измеряемой от некоторого начала отсчёта. На устройство действует вынуждающая сила , изменяющаяся по гармоническому закону , где – амплитудное значение вынуждающей силы,
– круговая частота, – время.

Присоединим к данному устройству дополнительную массу 2 величиной с помощью упругой связи с коэффициентом жёсткости . Положение массы определяется координатой .

Для вывода дифференциальных уравнений движения масс 1 и 2 воспользуемся уравнением Лагранжа II рода:

,

где – кинетическая энергия системы масс, – потенциальная энергия системы, – обобщённая координата, – обобщённая скорость (производная обобщённой координаты по времени), – обобщённая сила. Данная система имеет две степени свободы, поэтому i может приниматьтолько два значения: .

Кинетическая энергия системы определяется суммой кинетических энергий масс и : .

Потенциальная энергия определяется следующим выражением .

Определим слагаемые уравнения Лагранжа

 

при : , , ,

при : , , .

Обобщённая сила действует только на массу .

Найденные слагаемые позволяют получить следующую систему дифференциальных уравнений:

или

Эти уравнения описывают колебательные движения объекта 1 и гасителя 2. Так как колебания объекта с массой являются вынужденными, то они происходят с частотой вынуждающей силы P и описываются тем же уравнением, то есть

Дифференцируя дважды эти выражения, получаем

Подставив в дифференциальные уравнения вместо координат и их вторых производных полученные выражения, после соответствующих сокращений можем записать

Решением данной системы двух алгебраических уравнений является определение амплитуд и . Выразим из второго уравнения

и подставим результат в первое уравнение системы. После этого получается уравнение, содержащее только одно неизвестное :

откуда находим .

Если знаменатель полученного выражения приравнять к нулю, то такое равенство называется частотным уравнением и его корни будут равны тем частотам, при которых амплитуда объекта стремится к бесконечности. Это состояние системы соответствует резонансу.

Равенство нулю амплитуды имеет место при равенстве нулю выражения в скобках в числителе, то есть . Если это явление наступает, то дополнительная масса (масса гасителя) колеблется в резонансном режиме, так как частота вынуждающей силы совпадает с частотой его собственных колебаний. В то же время масса самого объекта остаётся неподвижной . Такое явление называется антирезонансом. Оно используется для гашения колебаний объекта при стабильной частоте вынуждающей силы путём подбора соответствующей массы гасителя и коэффициента жёсткости его упругого элемента .

В и б р о и з о л я ц и я. Виброизоляцией называется процесс предотвращения передачи колебаний от основания к объекту (или наоборот), который установлен на этом основании. Виброизоляция осуществляется с помощью так называемых виброизоляторов, или амортизаторов. Зачастую такая задача возникает, когда некоторый объект устанавливается на колеблющемся фундаменте (рис. 7.19). Таким объектом может быть также автомобиль, движущийся по неровной дороге, когда его колёса совершают колебания в вертикальной плоскости и передаются кузову и сидящим в нём пассажирам. Задача амортизации здесь состоит в уменьшении динамической составляющей реакции со стороны основания на амортизируемый объект. Обозначим массу защищаемого объекта буквой , коэффициент жёсткости упругой связи его с основанием обозначим , коэффициент демпфирования амортизатора – буквой .

Основание совершает колебания в вертикальной плоскости по некоторому закону . При этом на объект действует переменная сила , зависящая от перемещения объекта и его скорости .

Уравнение движения объекта при вибрации основания имеет вид

.

Данное уравнение по форме соответствует известному в теоретической механике основному уравнению динамики, где функция в правой части является суммой сил, действующих в системе. Эту сумму можно представить, как , где первое слагаемое является силой упругости пружины, второе – силой сопротивления (силой трения) амортизатора. Отрицательные знаки в правой части указывают на противоположность действия этих сил по отношению к направлению движения объекта.

Подставив полученную сумму в правую часть уравнения, после деления его на и несложных преобразований имеем

.

В этом уравнении , измеряется в , – квадрат частоты собственных колебаний объекта, измеряется в . Правая часть уравнения является второй производной функции кинематического возбуждения колебаний объекта со стороны основания. Её можно заменить отношением , где – внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону, то есть . Тогда предыдущее уравнение примет вид

.

Данное уравнение является неоднородным дифференциальным уравнением, решение которого, как известно, равно сумме решения однородного уравнения (без правой части) и частного решения данного уравнения. Общее решение однородного уравнения можно опустить в силу того, что оно определяет собственные колебания объекта, которые быстро затухают. Частное решение для установившихся вынужденных колебаний получаем в виде

где – сдвиг фаз силы и перемещения, определяемый выражением

Дифференцирование выражения по времени даёт

Теперь определяем силу, передаваемую со стороны основания на объект

.

Множитель перед квадратными скобками можно разделить и умножить на , тогда его можно представить как отношение амплитуды вынужденных колебаний перемещения к максимальному перемещению, вызываемому статическим действием силы, равному . Это отношение называется коэффициентом динамичности и определяется формулой

.

Коэффициент перед косинусом в квадратных скобках можно представить в виде и обозначить тангенсом некоторого угла , то есть . Тогда этот коэффициент можно заменить тангенсом, а после соответствующих преобразований выражение в квадратных скобках поменяется на синус суммы углов, то есть .

Получившийся в виде множителя в выражении силы заменяем через и находим окончательное выражение для расчёта силы

.

Максимальное (амплитудное) значение силы равно выражению перед синусом, то есть

Отношение наибольшей силы, передаваемой на объект со стороны основания, к амплитуде вынуждающей силы называется коэффициентом передачи силы . В данном случае

Из последней формулы видно, что равенство имеет место только при , то есть при отсутствии демпфирования.

Коэффициент передачи силы характеризует качество виброзащитной системы. При жёстком соединении амортизируемого объекта и основания . При виброзащитная система эффективна, так как , при применение амортизатора нецелесообразно, так как приводит к увеличению передаваемого усилия.

Исследования показывают, что, для того чтобы величина силы была меньше амплитуды вынуждающей силы, должно быть выполнено условие . Обычно принимают Это означает, что для эффективной защиты объекта от колебаний основания (эффективной амортизации объекта) необходимо, чтобы собственная частота колебаний системы была существенно меньше частоты колебаний основания.

 

Вопросы для самопроверки

1. Каков эффект неуравновешенности вращающихся масс в жёстких и нежёстких механических системах?

2. Каковы причины неуравновешенности вращающихся звеньев?

3. Каково воздействие неуравновешенных сил на фундамент машины?

4. Назовите и охарактеризуйте виды неуравновешенности вращающихся звеньев?

5. Как устраняется статическая неуравновешенность и статическая балансировка, динамическая неуравновешенность и балансировка?

6. Сколько противовесов требуется для статического уравновешивания, для динамического уравновешивания и почему?

7. Как осуществляется замена массы стержневого звена двумя точечными массами?

8. Как осуществляется статическое уравновешивание четырёхшарнирного механизма?

9. Какими способами осуществляется уравновешивание кривошипно-ползунного механизма?

10. Что такое самоуравновешенный механизм?

11. Как осуществляется частичное уравновешивание поступательно движущихся масс кривошипно-ползунного механизма?

12. Что такое виброгашение? В чём заключается принцип работы динамического гасителя колебаний?

13. Что такое виброизоляция? Как осуществляется защита объекта от колебаний основания?

14. Что такое коэффициент динамичности, коэффициент передачи силы?

15. При каком условии получается эффективной защита объекта от колебаний основания?