Оценка влияния факторов на зависимую переменную (коэффициенты эластичности, бета коэффициенты).

Чтобы исследовать влияние факторов X₁, X₂, … X_p на результирующий признак Y, рассмотрим линейную множественную модель:

Коэффициенты регрессии показывают, на сколько единиц изменился результирующий признак Y, при увеличении соответственного фактора на 1 ед., при неизменном значении остальных факторных, т. к.

величины коэффициентов a_j зависят от единиц измерения переменных Х_j, то с их помощью нельзя сравнивать влияние каждой факторной переменной X_j на результирующий признак Y. Поэтому вводят в рассмотрение безразмерные коэффициенты: коэффициенты эластичности, бета- и дельта- коэффициенты.

1). Средние коэффициенты эластичности в случае линейной модели определяются формулами:

j = 1, 2, …, p,

где - выборочные средние признаков X_j и Y.

Средний коэффициент эластичности Э_j показывает, на сколько процентов изменится в среднем переменная Y, если факторная переменная X_j увеличится на 1%, при неизменных значениях остальных факторов, закрепленных на их средних уровнях.

2). Бета - коэффициенты

определяются формулами:

где - выборочные средние квадратичные отклонения признаков X_j и Y.

Бета- коэффициенты показывает, на какую часть своего стандартного отклонения изменится в среднем результирующая переменная Y при увеличении только фактора Х_j на одно его стандартное отклонение.

3). Дельта - коэффициенты определяются формулами

где - соответствующие выборочные коэффициенты парной корреляции. Дельта-коэффициенты показывают долю влияния каждого фактора в суммарном воздействии на результирующую переменную.

Замечание: значение <0, >1- говорит о неудачном выборе факторных переменных. Фактор для которого <0 – ухудшает качество модели и должен быть исключен.

показывающие абсолютные доли влияния факторов Х_j на результирующую переменную.

Т. к., коэффициенты эластичности, бета- и дельта- коэффициенты являются безразмерными, их можно сравнивать между собой и ранжировать таким образом факторы по силе их воздействия на результат.

 

20. Понятие о мультиколлинеарности. Методы устранения мультиколлинеарности (перечислить методы, описать любой метод).

Наибольшие затруднения в использовании аппарата множественной регрессии возникают при наличии мультиколлинеарности факторных переменных, когда более чем два фактора связаны между собой линейной зависимостью.

 

Мультиколлинеарностью для линейной множественной регрессии называется наличие линейной зависимости между факторными переменными, включёнными в модель.

 

Мультиколлинеарность – нарушение одного из основных условий, лежащих в основе построения линейной модели множественной регрессии.

 

Мультиколлинеарность в матричном виде – ϶ᴛᴏ зависимость между столбцами матрицы факторных переменных Х:

 

Чем сильнее мультиколлинеарность факторных переменных, тем менее надежной будет оценка распределения суммы объясненной вариации по отдельным факторам с помощью метода наименьших квадратов.

 

Методы устранения мультиколлинеарности

1) Исключение переменных из модели

- метод дополнительной регрессии

Для выявления списка зависимых регрессоров проводится дополнительная регрессия – регрессия каждого регрессора X на оставшиеся регрессоры.

Стандартным способом, на основе F-статистики, проверяется статистическая значимость коэффициентов детерминации дополнительных регрессий.

 

 

где n- число наблюдений, а k – число регрессоров в первоначальной спецификации регрессионной модели. Статистика Fимеет распределение Фишера с параметрами

Если коэффициент детерминации (Rв квадрате) незначим, то регрессор Х не приводит к мультиколлинеарности и его оставляют в списке переменных модели. В противном случае его рекомендуется исключить из списка.

 

2) методы, использующие внешнюю информацию

Под внешней информацией понимаются теоретические ограничение (например, некоторые допущения, касающиеся параметров модели или некоторой связи между ними) и внешние эмпирические оценки (например, полученные по перекрестным статистическим данным из другой выборки).

Увеличение числа наблюдений приводит к снижению мультиколлинеарности и к уменьшению теоретических дисперсий коэффициентов регрессии.

 

3) переход к смещенный методам оценивания

 

В условиях мультиколлинеарности дисперсии несмещенных оценок могут оказаться слишком большими. Поэтому иногда целесообразно отказаться от требований несмещенности.

Один из таких подходов, названный гребневой регрессией, основан на «подправленных» МНК-оценках вида:

Понятие статистической процедуры оценивания параметров эконометрической модели. Требования к наилучшей статистической процедуре: несмещённость и минимальные дисперсии оценок параметров.

 

Оценкой â_n параметра a называют всякую функцию результатов наблюдений над случайной величиной X (иначе — статистику), с помощью которой судят о значениях параметра a.

Статистические проверки параметров регрессии основаны на непроверяемых предпосылках распределения случайной величины. Они носят лишь предвари­тельный характер. После построения уравнения регрессии про­водится проверка наличия у оценок тех свойств, которые предполагались. Связано это с тем, что оценки параметров регрессии должны отвечать определенным критери­ям: быть несмещенными, состоятельными и эффективными. Эти свойства оценок, полученных по МНК, имеют чрезвычайно важ­ное практическое значение в использовании результатов регрес­сии и корреляции.

В отличие от параметра, его оценка ã _n — величина случай­ная. «Наилучшая оценка» ã _n должна обладать наименьшим рас­сеянием относительно оцениваемого параметра a, например, наи­меньшей величиной математического ожидания квадрата отклонения оценки от оцениваемого параметра М(ã - a)².

Оценка â _n параметра a называется несмещенной, если ее мате­матическое ожидание равно оцениваемому параметру, т. е. М(ã) = a.

В противном случае оценка называется смещенной.

Если это равенство не выполняется, то оценка ã, получен­ная по разным выборкам, будет в среднем либо завышать значе­ние a (если М(ã) > a, либо занижать его (если М(ã) < 0). Та­ким образом, требование несмещенности гарантирует отсутствие систематических ошибок при оценивании.

Оценка â _n параметра a называется состоятельной, если она удовлетворяет закону больших чисел, т.е. сходится по вероятно­сти к оцениваемому параметру:

В случае использования состоятельных оценок оправдывается увеличение объема выборки, так как при этом становятся ма­ловероятными значительные ошибки при оценивании. Поэтому практический смысл имеют только состоятельные оценки.

Несмещенная оценка ã _n параметра a называется эффектив­ной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра a, вычисленных по выборкам одного и того же объема n.

Так как для несмещенной оценки M(ã _n - a)² есть ее дис­персия , то эффективность является решающим свойством, определяющим качество оценки.

Для нахождения оценок параметров (характеристик) генераль­ной совокупности используется ряд методов.

Указанные критерии оценок (несмещенность, состоятель­ность, эффективность) обязательно учитываются при разных способах оценивания.

 

Предпосылки применения МНК.

(условия Гаусса-Маркова).

Всего их 5

1. Математическое ожидание случайного отклонения εi рав-

но нулю: M(εi) = 0 для всех наблюдений.

Данное условие означает, что случайное отклонение в сред-

нем не оказывает влияния на зависимую переменную. В каждом

конкретном наблюдении случайный член может быть либо поло-

жительным, либо отрицательным, но он не должен иметь система-

тического смещения. Отметим, что выполнимость М(εi) = 0 влечет

выполнимость M(Y приX=xi) = β0 + β1*xi.

 

2. Дисперсия случайных отклонений εi постоянна:

D(εi) = D(εj) = σ2

для любых наблюдений i и j.

Данное условие подразумевает, что, несмотря на то, что при

каждом конкретном наблюдении случайное отклонение может

быть либо большим, либо меньшим, не должно быть некой априор-

ной причины, вызывающей большую ошибку (отклонение).

Выполнимость данной предпосылки называется гомоскеда

стичностью (постоянством дисперсии отклонений). Невыполни-

мость данной предпосылки называется гетероскедастичностью (не-

постоянством дисперсий отклонений).

данную предпосылку можно переписать в форме: М(ε 2i) = σ2.

 

3. Случайные отклонения εi и εj являются независимыми друг

от друга для i ≠ j.

Выполнимость данной предпосылки предполагает, что от-

сутствует систематическая связь между любыми случайными от-

клонениями. Другими словами, величина и определенный знак лю-

бого случайного отклонения не должны быть причинами величины

и знака любого другого отклонения.

4. Случайное отклонение должно быть независимо от объяс-

няющих переменных.

Обычно это условие выполняется автоматически, если объ-

ясняющие переменные не являются случайными в данной модели.

Данное условие предполагает выполнимость следующего со-

отношения:

cov(εi, xi) = M((εi –M(εi))⋅(xi – M(xi))) =

i i

= M(εi (xi – M(xi))) = M(εi xi) – M(εi)⋅M(xi) = M(εi x i) = 0.

Следует отметить, что выполнимость данной предпосылки не

столь критична для эконометрических моделей.

 

5. Модель является линейной относительно параметров.