Положение материальной точки в пространстве

Координаты точки

Первый способ задать положение материальной точки - это задать ее координаты. Например, три числа x_А, y_А, z_А задают положение точки A в декартовой системе координат.

3.4.2. Радиус-вектор r - это вектор, проведенный из начала координат (3.3) в какую-либо точку пространства.

Компоненты радиус-вектора

На плоскости:

В трехмерном пространстве:

- - единичные векторы или орты, направленные по осям x, y, z соответственно;

- x, y, z - компоненты радиуса - вектора. Очевидно, они же являются координатами материальной точки.

Модуль радиус-вектора

- по теореме Пифагора.

3.5. Траектория - это линия, описываемая материальной точкой при ее движении.

3.6. Путь - длина отрезка траектории (3.5).

3.7. Перемещение - вектор, проведенный из начального положения (3.4.1), (3.4.2) материальной точки (3.1.1) в ее конечное положение.

3.8. Скорость - это производная радиуса - вектора по времени.

либо, применяя другое обозначение производной по времени,

 

Скорость направлена по касательной к траектории

Так как , то направление вектора совпадает с предельным направлением вектора . На рис. а), б), в) показаны этапы предельного перехода для плоского движения (для простоты иллюстрации):

а)

 

При приближении к , по направлению приближается к касательной.

б)

Как известно из геометрии, касательная есть предельное положение секущей.

в)

Значит, скорость направлена по касательной к траектории.

Компоненты скорости

На следующем рисунке изображен вектор скорости материальной точки M, движущейся по плоскости x, y:

v_x, v_y - компоненты скорости, т.е. проекции вектора на координатные оси.

Так как .

С другой стороны: ,

откуда , так же и ,

т.е. компоненты скорости равны производным соответствующих координат по времени.

3.8.3. Модуль скорости - производная пути по времени.

.

По теореме Пифагора: .

Вычисление пройденного пути

Для равномерного движения , - весь путь, - весь отрезок времени, - const.

Для произвольного движения:

.

v₁ в течение отрезка Δt_i приблизительно постоянны, если Δt достаточно мало.
В пределе:

,

т.е. путь - это определенный интеграл от модуля скорости по времени.

3.10. Ускорение - это производная скорости по времени.

или

Учитывая (3.8), получим:

Ускорение - вторая производная радиуса-вектора по времени. Производную по времени от какой-либо величины называют скоростью изменения этой величины.

Ускорение - это скорость изменения скорости.

Нормальное и тангенциальное ускорение

Направим единичный вектор вдоль вектора скорости:

 

Тогда

(по правилу нахождения производной от произведения).

Первый член, нормальное ускорение,

показывает быстроту изменения направления скорости.

Второй, тангенциальное ускорение,

направлен вдоль скорости и показывает быстроту изменения ее модуля.

Направление и величину нормального ускорения найдем для частного случая равномерного движения материальной точки по окружности:

Направлен , при , по вектору :

.

.

Нормальное ускорение направлено по нормали к скорости, его модуль:

.

Для движения по произвольной кривой R - радиус кривизны траектории - не будет величиной постоянной.

.

.

Динамика материальной точки

4.1. Почему в кинематике вводят только две производные от радиус-вектора:
первую - скорость

.

и вторую - ускорение?

.

А если ввести некую ?

Можно, но обычно не нужно. Основная задача механики - предсказать положения тел в любой момент времени, т.е. предсказать вид функции для всех изучаемых тел. Но в природе не существует фундаментального закона, что-либо утверждающего непосредственно о радиус-векторе материальной точки.

Закон обнаруживается на более глубоком уровне - на уровне второй производной от радиус - вектора:

- нет закона;
- нет закона;
- есть закон! → , см. (4.6).

Двигаясь по этой цепочке "обратным ходом", мы можем, получив из закона природы (второй закон Ньютона) ускорение , найти сначала , затем и . Поэтому обычно нет необходимости дифференцировать больше, чем два раза.