Предсказание будущего - задача науки

Вводные сведения

Предсказание будущего - задача науки

Зачем естественные науки нужны людям? Одно из основных назначений наук о природе - предсказывать будущее состояние (поведение) изучаемых объектов.

Предмет физики

В чем состоит специфика физики, как одной из естественных наук, каков предмет физики? Физика - наука о наиболее простых общих свойствах окружающего нас мира.

Физическая модель

Как выделяют физики из бесконечного многообразия окружающего мира интересующие их немногочисленные простые свойства? Что такое физическая модель?

исследователь

Модель какой-либо реальной системы - это другая система, в которой сохранены только существенные для рассматриваемой задачи свойства реальной системы и которую можно описать на языке данной науки. Модель какой-либо области явлений - это научная теория, изучающая эти явления. Физика строит модели действительного мира, которые может описать язык физики.

Язык физики?

На каком языке "говорит" физика? Язык физики количественный, точный. Он широко использует математику, иногда говорят: "Математика - язык физики". Предсказания (1.1) физических теорий - это точные, количественные предсказания.

Экспериментальная и теоретическая физика

Экспериментальная физика - это опыты, проводимые для:

а) обнаружения новых фактов;

б) проверки истинности предсказаний теории.

Теоретическая физика формулирует физические законы, на основе которых объясняются обнаруженные на опыте факты и делаются предсказания новых явлений. Если предсказания теории подтверждаются большой совокупностью опытов, то теорию считают верной. Если на опыте не подтверждается хотя бы одно из предсказаний теории, то такую теорию необходимо либо изменить, либо заменить другой, более удовлетворительной. Старая теория в этом случае обычно не отбрасывается, но ее область применения уточняется и ограничивается.

 

Физические основы механики

 

 

Классическая механика, релятивистская механика, квантовая механика

Элементы кинематики

Динамика материальной точки

Законы сохранения

Кинематика вращательного движения

Динамика вращательного движения

Элементы специальной теории относительности

Классическая механика, релятивистская механика, квантовая механика

Классическая механика

Классическая механика справедлива для любых тел, кроме элементарных частиц. Скорости движения тел должны быть малы по сравнению со скоростью света, c = 3·10⁸ м/с. В основе классической механики лежат законы Ньютона.

Релятивистская механика

Релятивистская механика, или специальная теория относительности. Согласно специальной теории относительности скорости тел не могут превышать скорость света. Релятивистская механика справедлива и при скоростях, сравнимых со скоростью света.

Квантовая механика

Квантовая механика изучает движение элементарных частиц. Элементы квантовой механики будут рассмотрены в третьей части конспекта.

Предмет классической механики, ее основная задача

Предмет механики

Механика изучает изменение с течением времени взаимного положения материальных тел в пространстве и происходящие при этом взаимодействия между ними.

Кинематика

Кинематика - раздел механики, изучающий движения тел в пространстве и времени без рассмотрения вызывающих это движение взаимодействий.

Динамика

Динамика изучает движение тел учитывая взаимодействия между телами, которые обуславливают тот или иной характер движения.

Статика

Статика изучает законы равновесия системы тел. Эти законы следуют из законов динамики.

Основная задача механики

Основная задача механики - предсказывать будущее положение тел.

 

Элементы кинематики

Материальная точка, система материальных точек, абсолютно твердое тело - простейшие физические модели

Материальная точка

Материальная точка - это одна из простейших физических моделей (1.3).

реальный мир		исследователь		модельный мир

Тело из реального мира (см. рис.) иногда можно без ущерба для решаемой задачи заменить точкой в модельном мире, сохранив из всех многообразных свойств этого тела лишь два: положение в пространстве и массу. Эти две характеристики легко описать языком физики (1.4). Массу задают числом. Положение - координатами в выбранной системе координат (3.4.1).

Традиционное определение материальной точки: это тело, размерами которого можно пренебречь при описании его движения. Здесь вместе присутствуют понятия, описывающие и реальный мир, и модельный мир.

3.1.2. Система материальных точек
Если решается задача о движении нескольких материальных тел и каждое из них можно в условии данной задачи заменить материальной точкой, то моделью этой системы (1.3) будет система материальных точек.

Пример:

реальный мир		исследователь		модельный мир

Абсолютно твердое тело

Существуют такие задачи, в которых размерами тела нельзя пренебречь, но, в то же время, можно не учитывать изменение со временем размеров, формы тела. При решении таких задач используют модель - абсолютно твердое тело, т.е. реальное тело заменяют таким, у которого размеры и форма не меняются.

Тело отсчета

Тело отсчета - это тело, относительно которого определяют положение рассматриваемого нами тела или системы тел.

Система отсчета

Это система координат, связанная с телом отсчета (3.2) и выбранный способ измерения времени (часы).

реальный мир		исследователь		модельный мир

В реальном трехмерном мире система отсчета - это набор масштабных стержней (или линеек) и часы, расположенные в разных местах этих линеек. В модельном мире система отсчета превращается в трехмерную систему координат, положение которой связано с положением тела отсчета. В каждой точке пространства существует возможность определить время любого происшедшего в этой точке события.

Координаты точки

Первый способ задать положение материальной точки - это задать ее координаты. Например, три числа x_А, y_А, z_А задают положение точки A в декартовой системе координат.

3.4.2. Радиус-вектор r - это вектор, проведенный из начала координат (3.3) в какую-либо точку пространства.

Компоненты радиус-вектора

На плоскости:

В трехмерном пространстве:

- - единичные векторы или орты, направленные по осям x, y, z соответственно;

- x, y, z - компоненты радиуса - вектора. Очевидно, они же являются координатами материальной точки.

Модуль радиус-вектора

- по теореме Пифагора.

3.5. Траектория - это линия, описываемая материальной точкой при ее движении.

3.6. Путь - длина отрезка траектории (3.5).

3.7. Перемещение - вектор, проведенный из начального положения (3.4.1), (3.4.2) материальной точки (3.1.1) в ее конечное положение.

3.8. Скорость - это производная радиуса - вектора по времени.

либо, применяя другое обозначение производной по времени,

 

Компоненты скорости

На следующем рисунке изображен вектор скорости материальной точки M, движущейся по плоскости x, y:

v_x, v_y - компоненты скорости, т.е. проекции вектора на координатные оси.

Так как .

С другой стороны: ,

откуда , так же и ,

т.е. компоненты скорости равны производным соответствующих координат по времени.

3.8.3. Модуль скорости - производная пути по времени.

.

По теореме Пифагора: .

Вычисление пройденного пути

Для равномерного движения , - весь путь, - весь отрезок времени, - const.

Для произвольного движения:

.

v₁ в течение отрезка Δt_i приблизительно постоянны, если Δt достаточно мало.
В пределе:

,

т.е. путь - это определенный интеграл от модуля скорости по времени.

3.10. Ускорение - это производная скорости по времени.

или

Учитывая (3.8), получим:

Ускорение - вторая производная радиуса-вектора по времени. Производную по времени от какой-либо величины называют скоростью изменения этой величины.

Ускорение - это скорость изменения скорости.

Динамика материальной точки

4.1. Почему в кинематике вводят только две производные от радиус-вектора:
первую - скорость

.

и вторую - ускорение?

.

А если ввести некую ?

Можно, но обычно не нужно. Основная задача механики - предсказать положения тел в любой момент времени, т.е. предсказать вид функции для всех изучаемых тел. Но в природе не существует фундаментального закона, что-либо утверждающего непосредственно о радиус-векторе материальной точки.

Закон обнаруживается на более глубоком уровне - на уровне второй производной от радиус - вектора:

- нет закона;
- нет закона;
- есть закон! → , см. (4.6).

Двигаясь по этой цепочке "обратным ходом", мы можем, получив из закона природы (второй закон Ньютона) ускорение , найти сначала , затем и . Поэтому обычно нет необходимости дифференцировать больше, чем два раза.

Размерность силы

,

1 ньютон (1Н) - это сила, которая массе 1 кг сообщает ускорение 1 м/с.

4.7. Третий закон Ньютона

Силы, с которыми взаимодействуют два тела, равны по модулю и противоположны по направлению.

Пример - взаимодействие двух электрических зарядов:

Из третьего закона Ньютона следует, что для каждой силы можно указать тело, являющееся причиной этой силы. Если же указать такое тело - причину возникшей силы - не удается, то тогда причина "силы" - неинерциальность системы отсчета. Напомним, что законы Ньютона справедливы только в инерциальных системах отсчета.

 

Законы сохранения

Внутренние и внешние силы

Внутренние силы - силы, с которыми взаимодействуют тела системы между собой. Внешние силы действуют со стороны тел, не входящих в систему.

 

5.1.2. Замкнутая система
Замкнутая система - это система, на которую внешние силы не действуют.

5.1.3. Импульс системы материальных точек - это векторная сумма импульсов всех материальных точек, входящих в систему

, (см. 4.5).

Закон сохранения импульса

Импульс замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется со временем.

На рисунке изображена замкнутая система, состоящая из трех тел.

По II закону Ньютона (4.6), примененному к каждому телу рассматриваемой замкнутой системы, имеем:

Сложим эти уравнения. Справа, по III закону Ньютона (4.7), получим ноль. Слева - производную по времени от полного импульса системы (5.1.3).

Производная - ноль, значит, сама величина - константа.

если нет внешних сил (система замкнута).

	рх = const, если Fx = 0, рy = const, если Fy = 0, рz = const, если Fz = 0.

Если система не замкнута, но внешние силы не действуют на неё вдоль каких-либо осей, то соответствующие компоненты импульса сохраняются, например:

	рх = const, если Fx= 0, рy≠ const, если Fy ≠ 0, рz ≠ const, если Fz ≠ 0.

Работа

Работа постоянной силы

 

Элементарная работа

 

Работа переменной силы

 

Единица измерения работы

[A]=[F].[s]= H.м = джоуль, Дж

5.4. Мощность P - это скорость совершения работы,

т.е.

Используя (5.3.2) и (3.8),

Здесь v - скорость материальной точки, к которой приложена сила .

Единица мощности

Кинетическая энергия

Применим II закон Ньютона для материальной точки m, движущейся под действием результирующей силы :

Помножим скалярно: слева на - справа на

.

Используя (5.3.2) справа и преобразуя левую часть,

получим

.

Половина произведения массы частицы на квадрат ее скорости названа ее кинетической энергией

Таким образом элементарная работа, совершаемая над телом, равна элементарному приращению его кинетической энергии. При интегрировании вдоль траектории частицы, от точки 1 до точки 2, мы получим:

Работа результирующей силы идет на приращение кинетической энергии материальной точки.

5.6. Консервативные и неконсервативные силы
Консервативные (conservativus - охранительный) - такие силы, РАБОТА которых не зависит от траектории, а определяются только начальным и конечным положением материальной точки. Силы, не обладающие только что названным свойством, называют неконсервативными. Для того чтобы узнать, консервативна сила либо нет, надо вычислить ее работу.

Теорема Штейнера

,

где I₀ - момент инерции относительно оси OО,
I - момент инерции относительно оси O'О'.

7.2.2. Моменты инерции I₀ для некоторых тел

Обруч:	,	где R - радиус обруча.
Диск:	,	где R - радиус диска.
Шар:	,	где R - радиус шара.
Стержень:	,	где l - длина стержня.
		m - масса тела.

Постулаты С.Т.О.

Механика больших скоростей, специальная теория относительности (С.Т.О.),

базируется на двух исходных утверждениях, постулатах:

I. Принцип относительности, согласно которому

Релятивистская динамика

Релятивистский импульс

В классической механике (4.5), при v << c.

В релятивистской механике, где v → c,

.

Выражение для релятивистского импульса отличается от классического множителем γ.

8.7.2. Уравнение движения в релятивистской механике такое же, как и в классической (4.6)

но

Энергия покоя

При скорости материальной точки v=0

Электричество

Электрический заряд

Два вида зарядов

Существует два вида электрических зарядов, условно называемых положительными и отрицательными.

Электрическое поле

9.3.1. Заряд - источник поля. Всякий покоящийся заряд создает в пространстве вокруг себя только электрическое поле. Движущийся - еще и магнитное.

9.3.2. Заряд - индикатор поля. О наличии электрического поля судят по силе, действующей на неподвижный положительный точечный заряд, помещенный в это поле (пробный заряд).

9.3.3. Напряженность - силовая характеристика электрического поля. Если на неподвижный точечный заряд q_пр. действует сила, то значит, в точке нахождения этого заряда существует электрическое поле, напряженность которого определяется так:

.

9.3.4. Единица напряженности в системе СИ имеет название вольт на метр (В/м), при такой напряженности на заряд в 1 Кл действует сила в 1 Н. Происхождение размерности В/м см (9.7).

9.3.5. Знаем напряженность - найдем силу
Если в каждой точке пространства нам известна напряженность электрического поля , то мы можем найти силу, действующую на точечный заряд, помещенный в точку r (9.3.3)

.

Линии напряженности

Для графического изображения электрического поля используются линии напряженности (силовые линии). Их строят по следующим правилам:

9.3.8.1. Линии напряженности	начинаются на положительных зарядах, заканчиваются на отрицательных или уходят в бесконечность.

 

9.3.8.2. Вектор напряженности	направлен по касательной к линии напряженности в каждой точке.

 

9.3.8.3. Густота линий	пропорциональна модулю напряженности электрического поля.

Теорема Гаусса

Формулировка теоремы Гаусса

Из (9.4.2.4) и (9.4.2.5) следует, что поток вектора напряженности электрического поля через ЛЮБУЮ замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри этой поверхности, деленной на ε0:

 

Из (9.4.1.3) , тогда теорема Гаусса запишется так:

9.4.4. Применение теоремы Гаусса для вычисления полей.
Теорема Гаусса:

S - любая замкнутая поверхность,
- сумма зарядов внутри S.
Применяя теорему Гаусса, мы должны:

а) САМИ выбрать конкретную гауссову поверхность S, такую, чтобы интеграл по этой поверхности легко считался. Затем найти ;

б) посчитать сумму зарядов внутри выбранной нами S;

в) приравнять результат полученный в пункте а), к результату, полученному в пункте б), деленному на ε₀.

Поле плоского конденсатора

По 9.3.6. .
Т.к. , то по 9.4.4.1 .

 

 

Единица потенциала - 1 вольт (1 В)

.

Электроемкость конденсатора

Конденсатор - это два проводника, обычно плоской цилиндрической или сферической формы, расположенные на небольшом расстоянии друг от друга. Проводники, обкладки конденсатора, заряжают разноименными зарядами, равными по абсолютной величине:

.

Емкость конденсатора:

.

9.11.1. Электроемкость плоского конденсатора
Плоский конденсатор - это две плоские пластины расположенные на небольшом
расстоянии друг от друга.
Поле плоского конденсатора было рассмотрено в разделе (9.4.4.2.)

По (9.7): по (9.4.4.2): по (9.4.4.1):

 

Из (9.11):

Энергия электрического поля

(9.4.4.1)

Рассмотрим движение пластины с зарядом q- в поле пластины с зарядом q+.

 

q₊ = q_- = q, .
Напряженность поля пластины q₊:

(9.4.4.2).

Работа по перемещению пластины q_- (5.3.1):

. См. (9.3.5)

Поле в объеме ΔV исчезло, значит работа A₁₂ совершена за счет убыли энергии поля:

.

В единице объема поля запасена энергия:

,

где

.

Диэлектрик?

Заряды, входящие в состав молекул диэлектрика, прочно связаны друг с другом и под действием внешнего поля могут лишь немного смещаться в противоположные стороны.

Сила тока

.

За время dt переносится заряд dq.

.

Единица силы тока - ампер.

Плотность тока

, dI - сила тока, проходящего через площадку dS1.

 

Закон Ома для участка цепи

,

 

R - сопротивление проводника.

.

Единица сопротивления - Ом.
Для однородного проводника длиной l и сечением S:

,

ρ - удельное сопротивление (из таблиц).

.

Магнитное поле в вакууме

Магнитное поле в веществе

Уравнения Максвелла

Магнитное поле в вакууме

Закон Био-Савара-Лапласа

Направление плоскости, в которой лежит и и определяется правилом правого винта:
винт установить плоскости и и вращать от к , поступательное движение винта покажет направление - магнитного поля, созданного элементом проводника с током I.

Модуль вектора :

.

Ток за контуром

При обходе контура 1 через 3 к 2 поворачивается по часовой стрелке, от 2 к 1 через 4 - на тот же угол против часовой стрелки. В результате

11.5.4. Формулировка теоремы о циркуляции
Пусть контур произвольной формы охватывает произвольное число токов. В этом случае теорема о циркуляции утверждает, что циркуляция вектора по некоторому (произвольному!) контуру равна алгебраической сумме токов, охватываемых контуром, умноженной на μ, т.е.

.

Например:

Ток I₄ в сумму не входит!

11.5.5. Применение теоремы о циркуляции для вычисления магнитного поля бесконечно длинного соленоида
Соленоид - провод, навитый на цилиндрический каркас. На один метр длины - n витков.

Выберем такой контур, как на рисунке, т.к. из соображений симметрии вектор может быть направлен только вдоль оси соленоида.
Тогда

.

1) В интервалах от точки 2 до точки 3 и от точки 4 до точки 1 стороне контура, значит В_l = 0.
2) Тогда:

.

3) Можно показать, что вне бесконечного соленоида B=0, т.е.

.

Значит:

,

т.к. внутри соленоида B = B_l = const, то

.

По теореме о циркуляции (11.5.4)

.

Откуда магнитное поле бесконечного соленоида:

.

Направлено вдоль оси соленоида, в соответствии с правилом правого винта.

Магнитное поле тороида

Тороид - провод, навитый на тор (бублик). Контур для вычисления циркуляции - окружность радиуса r, центр еe - в центре тороида. Из соображений симметрии направлен по касательной к контуру, т.е. Вl = В.Тогда . По теореме о циркуляции: , , R - радиус тора.

Магнитное поле тороида:

.

Вне тора поле = 0 (докажите!)
При r/R ≈ 1, B = μ₀nI, (сравните с 11.5.5).

Закон Ампера

По закону Ампера на элемент проводника с током I, помещенного в магнитное поле, действует сила , которая определяется следующим образом. Направлен вектор в соответствии с правилом правого винта: винт установить и , вращать от к , поступательное движение винта укажет направление .

Вектор вращающего момента

При параллельности и вращающий момент равен 0, и рамка находится в состоянии устойчивого равновесия. Силы, действующие на контур, растягивают его, контур в устойчивом равновесии. При антипараллельных и равновесие неустойчиво.

Магнитный момент по полю

Контур разворачивается так, чтобы был параллелен (11.8.1.2.); в этом положении на элемент контура dl действуют растягивающие силы и силы , втягивающие контур в область более сильного поля.

11.8.2.3. Сила, действующая на контур при произвольной ориентации и в неоднородном магнитном поле

Эта сила направлена по оси симметрии поля z и равна:

11.9. Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток)
Повторить (9.4.1)

11.9.1. Для однородного

11.9.2. Поток вектора через бесконечно малую поверхность в неоднородном поле

11.9.3. Поток вектора через произвольную поверхность в неоднородном поле

11.10. Явление электромагнитной индукции состоит в том, что любое изменение магнитного потока Ф, пронизывающего замкнутый контур, вызывает появление индукционного тока в контуре.

Закон Фарадея - Ленца

Закон Фарадея-Ленца утверждает, что

ЭДС индукции равна скорости изменения магнитного потока, взятой с обратным знаком.

Знак минус напоминает о правиле Ленца:

индукционный ток имеет такое направление, чтобы создаваемое им магнитное поле препятствовало изменению магнитного потока.

Потокосцепление

В одном витке катушки наводится ЭДС ε1, ЭДС самоиндукции, наводимая в катушке, будет в N раз больше: Величину ψ назвали потокосцеплением: .

Выразим ε_сам через скорость изменения тока (11.11):

.

Сопоставляя с выражением ε_сам через ψ, получим:

.

Индуктивность соленоида

Число витков на единицу длины .

(11.9.1);