Основные тригонометрические тождества

Формулы сложения, удвоения, преобразование суммы тригонометрических функций в произведение, преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- основные тригонометрические тождества;

- формулы приведения;

уметь:

- выполнять преобразования тригонометрических выражений, используя основные тригонометрические тождества, формулы приведения.

Сведения из теории:

Основные формулы тригонометрии

Из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса следуют основные тригонометрические тождества: sin²α+cos²α=1;

tgα∙ctgα=1;

Основой для остальных формул являются формулы сложения:

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ;

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;

 

Из формул сложения, полагая , где n Є Z, получаем формулы приведения преобразования выражений вида:

sin , cos , tg , ctg , n Є Z.

Для запоминания этих формул удобно пользоваться мнемоническим правилом:

1. Перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция в соответствующей координатной четверти:

2. Функция меняется на «кофункцию», если n нечетно; функция не меняется, если n четно. (Кофункциями синуса, косинуса, тангенса и котангенса называются соответственно косинус, синус, котангенс, тангенс).

Пример 1. Могут ли синус и косинус одного и того же числа быть равными соответственно: 0,4 и 0,7.

Решение: используя основное тригонометрическое тождество sin²α+cos²α=1, имеем:0,4²+0,7²=0,16+0,49=0,65.Т.к. 0,65≠1 значения синуса и косинуса одного и того же числа не могут быть равными соответственно: 0,4 и 0,7.

Пример 2. Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если: sinα=-0,8 и π<α<1,5π.

Решение: используя основное тригонометрическое тождество sin²α+cos²α=1, имеем:cos²α=1-sin²α, тогда cos²α=1-(-0,8)²=1-0,64=0,36.Т. к. π<α<1,5π (III координатная четверть), то cosα=-0,6.По формуле  вычисляем   По формуле tgα∙ctgα=1 вычисляем ctgα=1׃ = .

Задания для самостоятельного решения:

1 вариант 1) Могут ли синус и косинус одного и того же числа быть равными соответственно: 0,5 и 0,5. 2) Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если: cosα=  и .	2 вариант 1) Могут ли синус и косинус одного и того же числа быть равными соответственно: 0,2 и -0,8. 2) Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если: sinα=  и .	3 вариант 1) Могут ли синус и косинус одного и того же числа быть равными соответственно: 0,6 и -0,8. 2) Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если: cosα=  и .
4 вариант 1) Могут ли синус и косинус одного и того же числа быть равными соответственно:  и . 2) Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если: sinα=0,5 и .	5 вариант 1) Могут ли синус и косинус одного и того же числа быть равными соответственно:  и . 2) Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если: cosα=0,4 и .	6 вариант 1) Могут ли синус и косинус одного и того же числа быть равными соответственно:  и . 2) Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если: sinα=  и .

Контрольные вопросы:

1. Перечислите основные тригонометрические тождества.

2. Сформулируйте мнемоническое правило.

Практическое занятие

 Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- формулы для решения простейших тригонометрических неравенств;

уметь:

- решать простейшие тригонометрические неравенства.

 

Сведения из теории:

Простейшими тригонометрическими неравенствами называются неравенства: sin x < m, sin x > m, cos x < m, cos x > m, tg x < m, tg x > m, ctg x < m, ctg x > m, где m – данное число. Решить простейшее тригонометрическое неравенство – значит найти множество всех значений аргумента, которые обращают данное неравенство в верное числовое неравенство.

Пример 1. Решить неравенство: 1) sin x > ; 2) cos x > .

Решение: 1) решение иллюстрируется рисунком 1 слева: здесь точке М ₁ соответствует угол , М ₂ – угол , М ₃ – угол , М ₄ – угол .

Неравенство выполняется для < x <  и < х < . Общим решением служит неравенство:

< х < , k Є Z.

2) Данное неравенство иллюстрируется рисунком 1 справа: здесь точке М ₁ соответствует угол , М ₂ – угол . Общим решением неравенства является

< х < , k Є Z.

 

Задания для самостоятельного решения:

Решить неравенство:

1 вариант 1) ; 2) ; 3) .	2 вариант 1) ; 2) ; 3) .	3 вариант 1) ; 2) ; 3) .
4 вариант 1) ; 2) ; 3) .	5 вариант 1) ; 2) ; 3) .	6 вариант 1) ; 2) ; 3) .
7 вариант 1) ; 2) ; 3) .	8 вариант 1) ; 2) ; 3) .	9 вариант 1) ; 2) ; 3) .

Контрольные вопросы:

1. Что называется простейшими тригонометрическими неравенствами?

2. Проиллюстрируйте решение неравенства sin x > m на окружности.