Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости, расстояние между плоскостями

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- формулы для вычисления расстояния между двумя точками;

- формулы для вычисления координат середины отрезка;

уметь:

- использовать формулы расстояния между двумя точками и формулу для вычисления координат середины отрезка при решении задач координатным методом.

Сведения из теории:

Вычисление координат точки, равноудаленной от заданных точек рассмотрим на примере 1.

Пример 1. Найти координаты точки О ₁, которая равноудалена от трех точек А (7; -1) и В (-2; 2) и С (-1; -5).

Решение: из формулировки условия задачи следует, что О ₁ А = О ₁ В = О ₁ С.

Пусть искомая точка О ₁ имеет координаты (а; b). По формуле:

,

найдем:

,

,

.

Составим систему из двух уравнений:

.

После возведения в квадрат левой и правой частей уравнений запишем:

.

Упростив, запишем:

.

Решив систему, получим: а =2; b =-1.

Точка О ₁(2; -1) равноудалена от трех заданных в условии точек, которые не лежат на одной прямой. Эта точка – есть центр окружности, проходящей через три заданные точки.

Вычисление абсциссы (ординаты) точки, которая лежит на оси абсцисс (ординат) и находится на заданном расстоянии от данной точки, рассмотрим на примере 2.

Пример 2. Расстояние от точки В (-5; 6) до точки А, лежащей на оси О х равно 10. Найти координаты точки А.

Решение: из формулировки условия задачи следует, что ордината точки А равна нулю и АВ = 10.

Обозначив абсциссу точки А через а, запишем А (а; 0).

По формуле , находим: .

Получаем уравнение .

Упростив его, имеем а ²+10 а –39=0.

Корни этого уравнения а ₁=-13; а ₂=3.

Получаем две точки А ₁(-13; 0) и А ₂(3; 0).

Вычисление абсциссы (ординаты) точки, которая лежит на оси абсцисс (ординат) и находится на одинаковом расстоянии от двух заданных точек, рассмотрим на примере 3.

Пример 3. Найти на оси О у точку, которая находится на одинаковом расстоянии от точек А (6; 12) и В (-8; 10).

Решение: пусть координаты нужной по условию задачи точки, лежащей на оси О у, будут О ₁(0; b) (у точки, лежащей на оси О у, абсцисса равна нулю). Из условия следует, что О ₁ А = О ₁ В.

По формуле ,

находим: , .

Имеем уравнение .

Выполняя элементарные преобразования при решении иррациональных уравнений, получим b =4.

Необходимая по условию задачи точка О ₁(0; 4).

Деление отрезка в данном отношении

Координаты x, y, z точки М, которая делит отрезок М ₁ М ₂, ограниченный точками М ₁(x ₁, y ₁, z ₁) и М ₂(x ₂, y ₂, z ₂), в отношении λ, определяется по формулам:

.

Пример 4. Даны концы отрезка АВ: А (-2; 5) и В (4; 17). На этом отрезке расположена точка С, расстояние от которой до точки А в два раза больше расстояния от точки В. Вычислить координаты точки С.

Решение: по условию задачи АС =2 ВС, тогда λ =2.

По формулам: ,

вычислим координаты точки С:

т.о., С (2; 13).

Пример 5. Доказать, что треугольник АВС: А (-3; -3), В (-1; 3), С (11; -1) – прямоугольный.

Решение: вычислим длины сторон треугольника по формуле:

,

,

,

.

т.к. АВ ²=40, ВС ²=160, АС ²=200, то АВ ²+ ВС ²= АС ².

т.о., сумма квадратов длин двух сторон треугольника равна квадрату длины третьей стороны. Из этого следует, что треугольник АВС прямоугольный и сторона АС является его гипотенузой.

 

Задания для самостоятельного решения:

1) Доказать, что треугольник с вершинами A (3; -1; 2), B (0; -2; 2), C (-3; 2; 1) равнобедренный.

2) На оси абсцисс найти точку, расстояние от которой до точки А (-3; 4; 8) равно 12.

3) На оси ординат найти точку, равноудаленную от точек А (1; -3; 7) и В (5; 7; -5).

4) Даны вершины A (2; -1; 4), B (3; 2; -6), C (-5; 0; 2) треугольника. Вычислить длину его медианы, проведенной из вершины А.

5) Даны две вершины A (2; -3; -5), B (-1; 3; 2) параллелограмма ABCD и точка пересечения его диагоналей E (4; -1; 7). Определить две другие вершины этого параллелограмма.

6) Вычислить координаты концов отрезка, который разделен точками C (2; 0; 2) и D (5; -2; 0) на три равные части.

Контрольные вопросы:

1. Запишите формулы для вычисления расстояния между двумя точками.

2. Запишите формулы для вычисления координат середины отрезка.

3. Запишите формулы деления отрезка в данном отношении.

Практическое занятие