Практических работ по математике

Для обучающихся I курса

 

 

Голышманово, 2018 г.

 

 

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся I курса/ составители О.Г. Князева, О.Н. Парфенова /стр. 43.

 

 

Составители:

О.Г. Князева, преподаватель высшей категории ГАПОУ ТО «Голышмановский агропедколледж»;

О.Н. Парфенова, преподаватель ГАПОУ ТО «Голышмановский агропедколледж».

 

 

Печатается по решению ЦМК естественно-научных дисциплин

Протокол №____ от «____» ___________2018 г.

 

Ответственный за выпуск: Д.Е. Майдибор

 

Рецензенты:

 

Л.Г. Пономарева, председатель ЦМК естественно-научных дисциплин, преподаватель высшей категории.

И.Г. Кузьминых, руководитель ШМО естественно-математических наук Голышмановского района, учитель высшей категории МАОУ «Голышмановская СОШ №4».

 

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся I курса составлены с целью формирования умений применять теоретические занятия на практических занятиях.

Данные рекомендации предназначены для изучения и закрепления практических навыков по математике, для формирования у обучающихся компетенций, необходимых для качественного освоения ОПОП СПО на базе основного общего образования с получением среднего общего образования.

Рекомендации помогут обучающимся подготовиться к зачетам и экзаменам, позволят путем решения контрольных заданий и ответов на контрольные вопросы проанализировать уровень овладения учебным материалом.

 

Содержание

	Введение ………………………………………………………………………	8
1.	Требования к оформлению практических работ……………………………	12
2.	Критерии оценивания практических работ……………………………….	12
3.	Тематика и содержание практических занятий по математика………….	14
АЛГЕБРА Развитие понятия о числе
	Приближенные вычисления…………………………………………………	14
	Комплексные числа………………………………………………………….	17
АЛГЕБРА Корни, степени и логарифмы
	Степени с действительными показателями. Свойства степени с действительным показателем……………………………………………….	21
	Вычисление и сравнение корней. Выполнение расчетов с радикалами…	23
	Решение иррациональных уравнений……………………………………..	24
	Нахождение значений степеней с рациональными показателями Сравнение степеней………………………………………………………….	25
	Преобразования выражений, содержащих степени. Решение показательных уравнений…………………………………………………..	26
	Решение прикладных задач. Нахождение значений логарифма по произвольному основанию. Переход от одного основания к другому…	26
	Вычисление и сравнение логарифмов. Логарифмирование и потенцирование выражений………………………………………………..	28
	Приближенные вычисления и решения прикладных задач………………	29
	Решение логарифмических уравнений………………………………………	31
	Преобразование рациональных, иррациональных степенных, показательных и логарифмических выражений………………………….	33
ГЕОМЕТРИЯ Прямые и плоскости в пространстве
	Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная..	26
	Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол…………………….	38
	Перпендикулярность двух плоскостей………………………………………	39
	Геометрические преобразования пространства: параллельный перенос, симметрия относительно плоскости………………………………………..	40
	Параллельное проектирование……………………………………………..	42
	Площадь ортогональной проекции. Изображение пространственных фигур………………………………………………………………………….	44
АЛГЕБРА Раздел 4. Комбинаторика
	Задачи на подсчёт числа размещений, перестановок, сочетаний………….	46
	Решение задач на перебор вариантов………………………………………	50
	Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник Паскаля………	51
ГЕОМЕТРИЯ Раздел 5. Координаты и векторы
	Признаки взаимного расположения прямых. Угол между прямыми…..	53
	Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости, расстояние между плоскостями…………………………………………………………	55
	Векторы. Действия с векторами. Декартова система координат в пространстве…………………………………………………………………..	58
	Расстояние между точками. Действия с векторами. Заданными координатами. Скалярное произведение векторов. Векторное уравнение прямой и плоскости. Использование векторов при доказательстве теорем стереометрии………………………………………………………………….	60
	Скалярное произведение векторов…………………………………………	61
	Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве…………………	63
	Проекция вектора на ось…………………………………………………….	65
	Использование векторов при решении математических и прикладных задач…………………………………………………………………………..	67
АЛГЕБРА Раздел 6. Основы тригонометрии
	Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента……………………………………………	68
	Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента…………………………………………….	70
	Простейшие тригонометрические уравнения. Простейшие тригонометрические неравенства. Обратные тригонометрические функции………………………………………………………………………..	72
	Обратные тригонометрические функции. Арксинус, арккосинус, арктангенс. Радианный метод измерения углов вращения и связь с градусной мерой…………………………………………………………….	75
	Основные тригонометрические тождества…………………………………	79
	Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства…………….	81
АЛГЕБРА Функции и графики
	Свойства функции……………………………………………………………	82
	Монотонность, четность, нечетность, ограниченность, периодичность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума………………………………………………..	86
	Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях. Арифметические операции над функциями. Сложная функция (композиция). Понятие о непрерывности функции……………………….	88
	Обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции………………………………………	98
	Примеры зависимостей между переменными в реальных процессах из смежных дисциплин. Определение функций. Построение и чтение графиков функций. Исследование функции. Свойства линейной, квадратичной, кусочно-линейной и дробно-линейной функций……………………………………………………………	90
	Степенная функция, ее график и свойства………………………………….	91
	Примеры зависимостей между переменными в реальных процессах из смежных дисциплин. Определение функций………………………………	95
	Непрерывные и периодические функции. Свойства и графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Обратные функции и их графики…….	96
	Обратные тригонометрические функции. Преобразования графика функции. Гармонические колебания. Прикладные задачи. Показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения и неравенства……………………………………………………………………	99
	Призма. Прямая и наклонная призма. Правильная призма………………..	101
	Параллелепипед. Куб. Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Тетраэдр…………………………………………………………	103
	Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в призме и пирамиде. Сечения куба, призмы и пирамиды…………………………………………………..	105
	Представление о правильных многогранниках…………………………...	109
	Объем и его измерение. Интегральная формула объема…………………	110
	Формулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра. Формулы объема пирамиды и конуса…………………………	113
	Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса. Формулы объема шара и площади сферы……………………………………………………..	114
	Подобие тел. Отношения площадей поверхностей и объемов подобных тел………………………………………………………………………………	114
	Цилиндр и конус. Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Осевые сечения и сечения, параллельные основанию…………………………………………………..	116
	Шар и сфера, их сечения. Касательная плоскость к сфере……………….	118
НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Последовательности производные
	Производная. Понятие о производной функции, ее геометрический и физический смысл……………………………………………………………	121
	Уравнение касательной к графику функции……………………………….	123
	Производные суммы, разности, произведения, частные…………………	123
	Производные основных элементарных функций. Применение производной к исследованию функций и построению графиков…………	123
	Производные обратной функции и композиции функции. Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах………………………………………………………...	125
	Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах……………………………………………	127
	Вторая производная, ее геометрический и физический смысл. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой и графиком.	129
НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Интеграл и его применение
	Первообразная и интеграл. Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции. Формула Ньютона—Лейбница. Примеры применения интеграла в физике и геометрии…….	131
	Числовая последовательность, способы ее задания, вычисления членов последовательности. Предел последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия……………………………………	135
	Производная: механический и геометрический смысл производной…… Уравнение касательной в общем виде……………………………………….	138
	Правила и формулы дифференцирования, таблица производных элементарных функций. Исследование функции с помощью производной………………………………………………………………….	138
	Нахождение наибольшего, наименьшего значения и экстремальных значений функции. Интеграл и первообразная…………………………..	139
	Теорема Ньютона—Лейбница. Применение интеграла к вычислению физических величин и площадей……………………………………………	139
АЛГЕБРА Элементы теории вероятностей и математической статистики
	Элементы теории вероятностей и математической статистики. Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей…………….	139
	Понятие о независимости событий. Дискретная случайная величина, закон ее распределения……………………………………………………..	141
	Числовые характеристики дискретной случайной величины. Понятие о законе больших чисел……………………………………………………….	134
	Представление данных, генеральная совокупность, выборка, среднее арифметическое, медиана. Понятие о задачах математической статистики. Решение практических задач с применением вероятностных методов………………………………………………………………………	146
	История развития комбинаторики, теории вероятностей и статистики и их роль в различных сферах человеческой жизнедеятельности. Правила комбинаторики. Решение комбинаторных задач. Размещения, сочетания и перестановки. Бином Ньютона и треугольник Паскаля……………….	149
	Классическое определение вероятности, свойства вероятностей, теорема о сумме вероятностей. Вычисление вероятностей. Прикладные задачи. Представление числовых данных. Прикладные задачи…………………	150
	АЛГЕБРА Уравнения и неравенства
	Уравнения и системы уравнений. Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические уравнения и системы……………	150
	Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств…………………………………………………………………….	152
	Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики…………………………..	154
	Преобразование уравнений. Основные приемы решения уравнений. Решение систем уравнений. Использование свойств и графиков функций для решения уравнений и неравенств……………………………………….	157
	Список литературы…………………………………………………………	161

 

 

                     

 

Введение

 

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся I курса составлены с учетом Примерной основной образовательной программы среднего общего образования, одобренной решением федерального учебно-методического объединения по общему образованию (протокол от 28 июня 2016 г. № 2/16-з) на основе требований ФГОС среднего общего образования, предъявляемых к структуре, содержанию и результатам освоения учебной дисциплины «Математика», в соответствии с Рекомендациями по организации получения среднего общего образования в пределах освоения образовательных программ среднего профессионального образования на базе основного общего образования с учетом требований федеральных государственных образовательных стандартов и получаемой профессии или специальности среднего профессионального образования (письмо Департамента государственной политики в сфере подготовки рабочих кадров и ДПО Минобрнауки России от 17.03.2015 № 06-259).

Содержание программы «Математика» направлено на достижение следующих

целей:

- обеспечение сформированности представлений о социальных, культурных и исторических факторах становления математики;

- обеспечение сформированности логического, алгоритмического и математического мышления;

- обеспечение сформированности умений применять полученные знания при решении различных задач;

- обеспечение сформированности представлений о математике как части обще человеческой культуры, универсальном языке науки, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления.

Цель и планируемые результаты освоения дисциплины:

В результате освоения дисциплины обучающийся должен уметь:

- выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютнаяи относительная); сравнивать числовые выражения;

- находить значение корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой на практических расчетах;

- выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

- выполнять практические расчеты по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства.

-  находить производные элементарных функций;

- использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков;

- применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения;

- вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;

- решать прикладные задачи, в том числе социально-экономические и физические, на нахождение скорости и ускорения;

- распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями;

- анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве;

- изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач;

- строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды;

- решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

- использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

- проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен знать:

- значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике;

- широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

- значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия чисел, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;

- универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;

- вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

Освоение содержания учебной дисциплины «Математика» обеспечивает достижение студентами следующих результатов:

  Личностных:

- сформированность представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, идеях и методах математики;

- понимание значимости математики для научно-технического прогресса, сформированность отношения к математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей;

- развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, для продолжения образования и самообразования;

- овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для освоения смежных естественно-научных дисциплин и дисциплин профессионального цикла, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;

- готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию на протяжении всей жизни; сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности;

- готовность и способность к самостоятельной творческой и ответственной деятельности;

- готовность к коллективной работе, сотрудничеству со сверстниками в образовательной, общественно полезной, учебно-исследовательской, проектной и других видах деятельности;

- отношение к профессиональной деятельности как возможности участия в решении личных, общественных, государственных, общенациональных проблем.

Метапредметных:

- умение самостоятельно определять цели деятельности и составлять планы деятельности; самостоятельно осуществлять, контролировать и корректировать деятельность; использовать все возможные ресурсы для достижения поставленных целей и реализации планов деятельности; выбирать успешные стратегии в различных ситуациях;

- умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности, эффективно разрешать конфликты;

- владение навыками познавательной, учебно-исследовательской и проектной деятельности, навыками разрешения проблем; способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания;

- готовность и способность к самостоятельной информационно-познавательной деятельности, включая умение ориентироваться в различных источниках информации, критически оценивать и интерпретировать информацию, получаемую из различных источников;

- владение языковыми средствами: умение ясно, логично и точно излагать свою точку зрения, использовать адекватные языковые средства;

- владение навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов и оснований, границ своего знания и незнания, новых познавательных задач и средств для их достижения;

- целеустремленность в поисках и принятии решений, сообразительность и интуиция, развитость пространственных представлений; способность воспринимать красоту и гармонию мира.

Предметных:

- сформированность представлений о математике как части мировой культуры и месте математики в современной цивилизации, способах описания явлений реального мира на математическом языке;

- сформированность представлений о математических понятиях как важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления; понимание возможности аксиоматического построения математических теорий;

- владение методами доказательств и алгоритмов решения, умение их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач; владение стандартными приемами решения рациональных и иррациональных, показательных, степенных, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем; использование готовых компьютерных программ, в том числе для поиска пути решения и иллюстрации решения уравнений и неравенств;

- сформированность представлений об основных понятиях математического анализа и их свойствах, владение умением характеризовать поведение функций, использование полученных знаний для описания и анализа реальных зависимостей;

- владение основными понятиями о плоских и пространственных геометрических фигурах, их основных свойствах; сформированность умения распознавать геометрические фигуры на чертежах, моделях и в реальном мире; применение изученных свойств геометрических фигур и формул для решения геометрических задач и задач с практическим содержанием;

- сформированность представлений о процессах и явлениях, имеющих вероятностный характер, статистических закономерностях в реальном мире, основных понятиях элементарной теории вероятностей; умений находить и оценивать вероятности наступления событий в простейших практических ситуациях и основные характеристики случайных величин;

- владение навыками использования готовых компьютерных программ при решении задач.

 

В данных методических указаниях Вы найдете изложение теоретического материала, справочный материал, примеры решения задач, задания для самостоятельных занятий, для подготовки к контрольным работам, зачету, экзамену.

Методические указания не являются учебником, поэтому не все изучаемые понятия рассмотрены одинаково подробно. По этой причине в некоторых случаях необходимо приложить для освоения материала больше усилий, чем в других. В данном пособии рассматриваются элементы математики, относящиеся к периоду математики переменных величин и современному периоду, имеющие большое значение в современной фундаментальной и прикладной математике.

Работая над каждой темой, лучше всего сначала изучить теоретический материал, повторить ранее изученные формулы, теоремы, разобраться в приведенных примерах. Если все понятно, то можно переходить к выполнению практических заданий.

Академик И.П. Павлов говорил: «Последовательность, последовательность и последовательность. С самого начала своей работы приучите себя к строгой последовательности в накоплении знаний. Никогда не беритесь за последующее, не изучив предыдущего».