Использование векторов при решении математических и прикладных задач

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- векторы и простейшие действия над ними;

уметь:

- применять правила действия над векторами при решении математических и прикладных задач.

 

Сведения из теории:

Рассмотрим задачи трёх типов, которые целесообразно решать с помощью векторов.

Первый тип: задачи, связанные с доказательством параллельности прямых и отрезков, прямых и плоскости

Пример 1.   Доказать что вектор, концами которого являются середины двух противолежащих сторон четырехугольника, равен половине векторной суммы двух других противолежащих сторон.

Решение: пусть ABCD   – четырехугольник, M  – середина AB, N – середина CD. Тогда необходимо доказать, что .

Пусть О – произвольная точка плоскости, соединим ее с вершинами и серединами двух сторон четырехугольника, выполним рисунок.

По правилу деления отрезка в заданном отношении, имеем:

,

.

По правилу треугольника, имеем:

Задача для самостоятельного решения:

№1. Доказать, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

№2. На диагоналях АВ ₁ и ВС ₁ граней AA ₁ B ₁ B  и ВВ ₁ С ₁ С параллелепипеда ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ взяты точки соответственно Н и M  так, что отрезки M Н  и A ₁ C  параллельны. Найдите отношение длин этих отрезков.

Контрольные вопросы:

1. Приведите примеры задач, которые целесообразно решать с помощью векторов.

 

АЛГЕБРА    Раздел 6. Основы тригонометрии

Практическое занятие

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента.

 

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- формулы двойного угла тригонометрических функций;

- формулы половинного аргумента тригонометрических функций;

уметь:

- выполнять преобразования тригонометрических выражений, используя формулы двойного угла.

Сведения из теории:

Формулы двойного угла тригонометрических функций:

Подставляя в формулы cos2 t =1-2sin² t и cos2 t =2cos² t -1 значение , получаем формулы половинного аргумента:

Разделив  на  получаем формулу

Пример 1. Выразите функции данного угла через функции вдвое меньшего угла, sin42⁰.

Решение: используя формулу , имеем

sin42⁰=sin(2∙21⁰)=2sin21⁰cos21⁰.

Пример 2. Вычислите 2sin15⁰cos15⁰.

Решение: используя формулу , имеем

2sin15⁰cos15⁰=sin(2∙15⁰)=sin30⁰=0,5.

Пример 3. Вычислите sin(π/12).

Решение: по формуле , имеем

Задания для самостоятельного решения:

1 вариант 1) Выразите функции данного угла через функции вдвое меньшего угла: sin54^0. 2) Вычислите: .	2 вариант 1) Выразите функции данного угла через функции вдвое меньшего угла: tg . 2) Вычислите: .	3 вариант 1) Выразите функции данного угла через функции вдвое меньшего угла: cos16^0. 2) Вычислите: .
4 вариант 1) Выразите функции данного угла через функции вдвое меньшего угла: ctg . 2) Вычислите cosα, если  и .	5 вариант 1) Выразите функции данного угла через функции вдвое меньшего угла: sin . 2) Вычислите , если  и .	6 вариант 1) Выразите функции данного угла через функции вдвое меньшего угла: tg68^0. 2) Вычислите , если  и .
7 вариант 1) Выразите функции данного угла через функции вдвое меньшего угла: cos . 2) Вычислите , если  и .	8 вариант 1) Выразите функции данного угла через функции вдвое меньшего угла: ctg 102^0. 2) Вычислите , если  и .	9 вариант 1) Выразите функции данного угла через функции вдвое меньшего угла: tg 162^0. 2) Вычислите , если  и .

Контрольные вопросы:

1. Запишите формулы двойного угла тригонометрических функций.

2. Запишите формулы половинного аргумента тригонометрических функций.

 

Практическое занятие

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- формулыпреобразования суммы тригонометрических функций в произведение;

- формулыпреобразования произведения тригонометрических функций в сумму;

уметь:

- выполнять преобразования тригонометрических выражений, используя тригонометрические тождества.

 

Сведения из теории:

Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

Для преобразования произведения тригонометрических функций в сумму применяются формулы:

Пример 1. Преобразуйте в алгебраическую сумму sin5 x sin3 x.

Решение: по формуле  имеем

Пример 2. Вычислите: sin40⁰ + sin20⁰.

Решение: по формуле  имеем

Задания для самостоятельного решения:

1 вариант 1) Упростите: . 2) Вычислите: sin75^0 + sin15^0. 3) Вычислите: sin 52^030’· cos 7^030’.	2 вариант 1) Упростите: . 2) Вычислите: sin75^0 + sin105^0. 3) Вычислите: sin 37^030’· sin 7^030’.	3 вариант 1) Упростите: . 2) Вычислите: соs75^0 + соs15^0. 3) Вычислите: 8 cos 7α· cos 3α.
4 вариант 1) Упростите: . 2) Вычислите: 3) Вычислите: cos 75^0· cos 105^0.	5 вариант 1) Упростите: . 2) Вычислите: 3) Вычислите: 2 sin (x +α)· cos (x -α).	6 вариант 1) Упростите: . 2) Вычислите: 3) Вычислите: 12 sin (-9α)· sin 4α.
7 вариант 1) Упростите: . 2) Вычислите: tg 22^030’- tg 67^030’. 3) Вычислите: 4 sin 16α· sin 4α.	8 вариант 1) Упростите: . 2) Вычислите: tg 13^030’+ tg 76^030’. 3) Вычислите: 4 cos (α + β)· cos (α - β).	9 вариант 1) Упростите: . 2) Вычислите: tg 30^0+ tg 60^0. 3) Вычислите: 4 cos 15^0 sin 20^0 sin 40^0.

Контрольные вопросы:

1. Перечислите основные тригонометрические тождества.

2. Перечислите формулы двойного угла тригонометрических функций.

3. Какие есть формулы для преобразования суммы тригонометрических функций?

Практическое занятие