Сечения куба, призмы и пирамиды

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- метод «следов»;

- правила построения сечений многогранников;

уметь:

- строить сечения куба, призмы, пирамиды.

 

Сведения из теории:

Сечения куба плоскостью

Если плоскость пересекает три ребра куба, выходящих из одной вершины, то в сечении получается треугольник. При этом если отсекаемые плоскостью отрезки ребер равны, то в сечении получается равносторонний треугольник, если равны два отрезка из трех, то получается равнобедренный треугольник, наконец, если все три отрезка различны, то в сечении получается разносторонний треугольник.

В сечении куба плоскостью не могут получаться прямоугольный или тупоугольный треугольники.

Выясним, какие четырехугольники могут получаться в сечении куба плоскостью.

Ясно, что если плоскость параллельна одной из граней куба, то в сечении получается квадрат. Если плоскость параллельна одному из ребер куба, то в сечении получается прямоугольник (рис. 48 справа). Если плоскость пересекает четыре параллельных ребра куба, то в сечении получается параллелограмм (рис. 49 слева).

На рисуете посередине показано сечение куба плоскостью в форме пятиугольника ABCDE. Прямые AB и DE, CD и AE параллельны, как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью.

На рисунке справа показано сечение куба плоскостью в форме шестиугольника ABCDEF. Прямые AB и DE, BC и EF, CD и AF параллельны, как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью.

Поскольку у куба имеется только шесть граней, то в сечении куба плоскостью не может получиться многоугольник с числом сторон, большим шести.

Построение сечений многогранников

Для построения сечений используют метод «следов», заключающийся в нахождении точки пересечения прямой и плоскости по заданным двум точкам этой прямой и их проекциям на плоскость.

Пример 1. Пусть прямая k проходит через точки A, B и известны параллельные проекции A ’, B ’ этих точек на плоскость π. Требуется найти точку пересечения прямой AB с плоскостью π.

Решение: через точки A ’, B ’ проведем прямую k ’. Тогда пересечение прямой k с прямой k ’ и будет искомым пересечением прямой k с плоскостью π.

Пример 2. Даны точки A, B, C и их параллельные проекции A ’, B ’, C ’ на плоскость π. Требуется построить линию пересечения плоскости ABC и плоскости π.

Решение: используя решение предыдущей задачи, построим точки X и Y пересечения прямых AB и AC с плоскостью π. Прямая XY будет искомой линией пересечения плоскости ABC и плоскости π (см. рис. 51).

Пример 3. Через данную точку C (C ’) провести прямую, параллельную данной прямой AB (A ’ B ’), и найти ее точку пересечения с плоскостью π.

Решение: через точку C проводим прямую, параллельную AB. Через точку C ’ проводим прямую, параллельную A ’ B ’. Точка X пересечения этих прямых и будет искомой.

Используя метод, рассмотренный в примере 1, решим задачи на построение сечений куба, пирамиды и призмы

Пример 4.

Построить сечение куба плоскостью проходящей через три точки A, B, C, принадлежащие попарно скрещивающимся ребрам этого куба (см. рис. 53).

Решение: найдем пересечение прямой AB, лежащей в плоскости сечения, с плоскостью основания куба. Для этого построим параллельные проекции A ’, B ’ точек A, B на основание куба в направлении бокового ребра куба.

Пересечение прямых AB и A ’ B ’ будет искомой точкой P. Она принадлежит плоскости сечения и плоскости основания куба. Следовательно, плоскость сечения пересекает основание куба по прямой CP. Точка пересечения этой прямой с ребром основания куба даст еще одну точку D сечения куба. Соединим точки C и D, B и D отрезками. Через точку A проведем прямую, параллельную BD, и точку ее пересечения с ребром куба обозначим E. Соединим точки E и C отрезком. Через точку A проведем прямую, параллельную CD, и точку ее пересечения с ребром куба обозначим F. Соединим точки A и F, B и F отрезками. Многоугольник AECDBF и будет искомым изображением сечения куба плоскостью.

Задания для самостоятельного решения:

Решите задачи:

1) Какой фигурой является сечение куба A... D ₁ плоскостью, проходящей через вершины B ₁, D и середину ребра CC ₁?

2) Какой фигурой является сечение куба A... D ₁ плоскостью, проходящей через середины ребер AB, BC и DD ₁?

3) Через середину ребра куба, перпендикулярно скрещивающейся с этим ребром диагонали, проведено сечение. Определите его вид.

4) Какой фигурой является сечение куба плоскостью, которая проходит через две противоположные вершины нижнего основания и середину одного из ребер верхнего основания? Найдите его периметр, если длина ребра куба равна 1.

5) Через вершины A, C, D ₁ куба A … D ₁ проведено сечение. В каком отношении оно делит диагональ DB ₁, и какой образует угол с этой диагональю?

6) Каким является сечение тетраэдра ABCD плоскостью, проходящей через середины ребер AB, BC и CD?

7) Какой фигурой является сечение правильного тетраэдра ABCD плоскостью, проходящей через вершину B и точки M, N – середины соответственно ребер AD, CD?

8) Постройте сечение куба A... D ₁ плоскостью, проходящей через вершины B ₁, D и точку H, принадлежащую ребру CC ₁.

9) Постройте сечение правильной четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через точки, указанные на рисунке.

 

10) Постройте сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки, указанные на рисунке.

Контрольные вопросы:

1. Может ли в сечении куба плоскостью получиться: а) трапеция; б) равнобедренная трапеция; в) неравнобедренная трапеция; г) прямоугольная трапеция; д) тупоугольная трапеция?

2. Какие многоугольники можно получить в сечении четырехугольной пирамиды плоскостью?

3. Какие могут быть сечения правильного тетраэдра плоскостью?