Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Простейшие тригонометрические уравнения. Простейшие тригонометрические неравенства. Обратные тригонометрические функции
Цель работы: обучающийся должен: знать: - формулы для решения тригонометрических уравнений в общем виде и частные случаи решения; уметь: - решать простейшие тригонометрические уравнения. Сведения из теории: Решение простейших тригонометрических уравнений Уравнение cos t = a Очевидно, что если | а |>1, то уравнение cos t = a не имеет решений, т.к. | cos t |≤1 для любого t. Пусть | а |≤1. Надо найти все такие числа t, что cos t = a. На отрезке [0; π] существует только одно решение уравнения cos t = a – это число ar с cos a. Косинус – четная функция, и, значит на отрезке [-π; 0] уравнение также имеет единственное решение – это число – ar с cos a. Итак, уравнение cos t = a на отрезке [-π; π] длиной 2π имеет два решения t =± ar с cos a (совпадающие при а =1). Вследствие периодичности функции косинус все остальные решения отличаются от найденных на 2π n, (n Є Z), т.е. формула корней уравнения cos t = a имеет вид: t =± ar с cos a +2π n, (n Є Z). Пример 1. Решите уравнение: cos t =1/2. Решение: по формуле t =± ar с cos (1/2)+2π n, (n Є Z). Поскольку ar с cos (1/2)=π/3 приходим к ответу t =± π/3+2π n, (n Є Z). Пример 2. Решите уравнение: cos t =-0,2756. Решение: по формуле t =± ar с cos (-0,2756)+2π n, (n Є Z). Значение ar с cos (-0,2756) находим с помощью калькулятора или по таблице В.М. Брадиса, оно примерно равно 1,85. Итак, приходим к ответу t =±1,85+2π n, (n Є Z). Пример 3. Решите уравнение: cos (2 х -π/4)=1/2. Решение: по формуле 2 х -π/4=± ar с cos (1/2)+2π n, (n Є Z). Поскольку ar с cos (1/2)=π/3 получаем 2 х -π/4=± π/3+2π n, (n Є Z) 2 х =π/4± π/3+2π n, (n Є Z). Разделив обе части уравнения на 2 получим ответ: х =π/8±π/6+π n, (n Є Z). Уравнение sin t = a Очевидно, что если | а |>1, то уравнение sin t = a не имеет решений, т.к. | sin t |≤1 для любого t. При | а |≤1 на отрезке [-π/2; π/2] уравнение sin t = a имеет одно решение t 1= arcsin a. На отрезке [π/2; 3π/2] функция синус убывает и принимает все значения от -1 до 1. По теореме о корне уравнение и на этом отрезке имеет одно решение. Это решение есть число t 2=π- arcsin a, т.к. sin t 2= sin (π- t 1)= sin t 1= а. Кроме того, поскольку -π/2≤ t 1≤π/2, имеем -π/2≤- t 1≤π/2 и π-π/2≤π- t 1≤π+π/2, т.е. π/2≤ t 2≤3π/2, t 2Є[π/2; 3π/2]. Итак, уравнение sin t = a на отрезке [π/2; 3π/2] имеет два решения t 1= arcsin a и t 2=π- arcsin a (совпадающие при а =1). Учитывая, что период синуса равен 2π, получаем формулу для решения уравнения sin t = a:
t =(-1) karcsin a +π k, k Є Z. Пример 4. Решите уравнение: sin t = . Решение: по формуле t =(-1) k ar с sin ()+π k, (k Є Z). Поскольку ar с sin ()=π/4 приходим к ответу t =(-1) k π/4+π k, (k Є Z). Пример 5. Решите уравнение: sin t =0,3714. Решение: по формуле t =(-1) k ar с sin (0,3714)+π k, (k Є Z). Значение ar с sin (0,3714) находим с помощью калькулятора или по таблице В.М. Брадиса, оно примерно равно 0,3805. Итак, приходим t = (-1) k 0,3805+π k, (k Є Z). Пример 6. Решите уравнение: sin = . Решение: функция синус нечетная, поэтому sin =- sin =- . Тогда по формуле: =(-1) k ar с sin +π k, (k Є Z). Т.к. ar с sin = , имеем =(-1) k ()+π k, (k Є Z) или , (k Є Z). Умножив обе части уравнения на 2, получим ответ: ,(k Є Z). Уравнение tg x = a При любом а на интервале (-π/2; π/2) существует одно число t, что tgt = a, – это arctg a. Поэтому уравнение tg x = a имеет на интервале (-π/2; π/2) длиной π единственный корень. Функция тангенс имеет период π. Следовательно, остальные корни уравнения tg t = a отличаются от найденного на π n, (n Є Z), т.е. t = arctg a +π n, (n Є Z). Пример 7. Решите уравнение: tg t = . Решение: по формуле t = ar с tg ()+π n, (n Є Z).Поскольку ar с tg ()= приходим к ответу t = +π n, (n Є Z). Пример 8. Решите уравнение: tg t =5,177. Решение: по формуле t = ar с tg (5,177)+π n, (n Є Z). Значение ar с tg (5,177) находим с помощью калькулятора или по таблице В.М. Брадиса, оно примерно равно 1,38. Итак, приходим t =1,38+π n, (n Є Z). Сводная таблица решения простейших тригонометрических уравнений
|
|||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-11-27; просмотров: 176; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.16.203.149 (0.008 с.) |