Построение и чтение графиков функций. Исследование функции. Свойства линейной, квадратичной, кусочно-линейной и дробно-линейной функций

Цель работы:

студент должен:

знать:

- свойства функций;

- схему исследования функции;

уметь:

- строить графики функций.

Сведения из теории:

Четные и нечетные функции

Рассмотрим функции области определения которых симметричны относительно начала координат, т.е. для любого х из области определения функции число (- х) также принадлежит области определения. Среди таких функций выделяют четные и нечетные. Функция f называется четной, если для любого х из области определения f (- x)= f (x). Функция f называется нечетной, если для любого х из области определения f (- x)=- f (x).

Пример 1. Определите какая из функций является четной (нечетной): у = х ⁴, у = х ³.

Решение: функция у = х ⁴ четная, т.к. х ⁴=(- х) ⁴, т.е. у (- x)= у (x), а функция у = х ³ является нечетной, т.к. х ³=(- х) ³=- х ³, т.е. у (- x)=- у (x).

Пример 2. Докажите, что функция  четная.

Решение: вычислим f (- x):

,

т.е.  – четная по определению.

Свойства графиков:

1. График четной функции симметричен относительно оси ординат.

2. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Из этих двух правил вытекает следующее: при построении графика четной или нечетной функции достаточно построить его часть для неотрицательных х, а затем отразить полученный график относительно оси ординат (в случае четной функции) или начала координат (в случае нечетной). Ранее мы строили графики функций «по точкам». Во многих случаях этот метод дает хорошие результаты, если, конечно, отметить достаточно большое число точек. Однако при этом приходится составлять большие таблицы значений функции, а главное, можно не заметить существенных особенностей функции и в итоге ошибиться при построении графика. Для того чтобы избежать ошибок, надо научиться выявлять характерные особенности функции, т.е. предварительно провести ее исследование.

Схема исследования функций:

1. Найти область определения и область значений данной функции.

2. Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование, т.е. является ли функция четной (нечетной), периодической.

3. Вычислить координаты графика функции с осями координат.

4. Найти промежутки знакопостоянства функции.

5. Выяснить, на каких промежутках функция убывает, а на каких возрастает.

6. Найти точки экстремума, вид экстремума (минимум или максимум) и вычислить значения функции в этих точках.

7. Исследовать поведение функции в окрестности характерных точек, не входящих в область определения (например, точка х =0 для функции f (x)=1/ x), и при больших (по модулю) значениях, аргумента.

Необходимо заметить, что этот план имеет примерный характер.

Задания для самостоятельного решения:

Построить график функции f, если известны ее свойства:

1.	Свойство функции	1 вариант	2 вариант	3 вариант	4 вариант
	Область определения Область значений	[-6; 6]   [-2; 5]	[-5; 4]   [0; 6]	[-4; 4]   [-3; 6]	[-5; 3]   [0; 5]
2	Точки пересечения графика:
	а) с осью О х	(-4; 0), (-2; 0)	(0; 0)	(-4; 0), (-1; 0), (2,5; 0)	(3; 0)
	б) с осью О у	(0; 2,5)	(0; 0)	(0; -2)	(0; 4,5)
3	Промежутки знакопостоянства:
	а) f (x)>0	[-6; -4), (-2; 6]	[-5; 0), (0; 4]	(-4; -1), (2,5; 4]	[-5; 3)
	б) f (x)<0	(-4; -2)	-	(-1; 2,5)	-
4	Промежутки:
	а) возрастания	[-3; 1], [4; 6]	[-5; -2], [0; 4]	[-4; -2], [1; 4]	[-3; 1]
	б) убывания	[-6; -3], [1; 4]	[-2; 0]	[-2; 1]	[-5; -3], [1; 3]
5.1	Точки максимума, максимум функции	x max=1 y max=3	x max=-2 y max=2	x max=-2 y max=2	x max=1 y max=5
5.2	Точки минимума, минимум функции	x min1=-3, y min1=-2; x min2=4 y min2=1	x min=0 y min=0	x min=1 y min=-3	x min=-3 y min=2
6	Дополнительные точки графика	(-6; 3), (6; 5)	(-5; 0,5), (4; 6)	(4; 6)	(-5; 3)

Контрольные вопросы:

1. Перечислите свойства функций.

2. Перечислите основные этапы исследования функции.

Практическое занятие