Степенная функция, ее график и свойства

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- свойства степенной функции с различными показателями степени;

уметь:

- строить график степенной функции с различными показателями степени.

 

Сведения из теории:

Степенная функция с натуральным показателем

Функция у = х ⁿ, где n – натуральное число, называется степенной функцией с натуральным показателем. При n =1 получаем функцию у = х.

Прямая пропорциональность

Прямой пропорциональностью называется функция, заданная формулой у = kxⁿ, где число k называется коэффициентом пропорциональности.

Перечислим свойства функции у = kx:

1. Область определения функции – множество всех действительных чисел.

2. y = kx – нечетная функция, т.к. f (- х)= k (- х)=- kx =- k (х)=- f (х).

3. При k >0 функция возрастает, а при k <0 убывает на всей числовой прямой.

При n =2 получаем функцию y = х ². Перечислим свойства функции y = х ²:

1. Область определения функции – вся числовая прямая.

2. y = х ² – четная функция, т.к. f (- х)=(- x)² = x ²= f (х).

3. На промежутке [0; +∞) функция возрастает. На промежутке (- ; 0] функция убывает.

4. Графиком функции y = х ² является парабола.

При n = 3 получаем функцию у = х ³, ее свойства:

1. Область определения функции – вся числовая прямая.

2. у = х ³ – нечетная функция, т.к. f (- х)=(- x)³ =- х ³=- f (x).

3. Функция у = х ³ возрастает на всей числовой прямой.

4. График функции у = х ³ называется кубической параболой.

Пусть n – произвольное четное натуральное число, большее двух: n =4, 6, 8,.... В этом случае функция у = х ⁿ обладает теми же свойствами, что и функция у = х ². График такой функции напоминает параболу у = х ², только ветви графика при | n |>1 круче идут вверх, чем больше n, а при | n | <1 «теснее прижимаются» к оси х, чем больше n. Пусть n – произвольное нечетное число, большее трех: n =5, 7, 9,....

В этом случае функция у = х ⁿ обладает теми же свойствами, что и функция у = х ³. График такой функции напоминает кубическую параболу (только ветви графика тем круче идут вверх, вниз, чем больше n). Отметим также, что на промежутке (0; 1) график степенной функции у = х ⁿ тем медленнее отдаляется от оси О х с ростом х, чем больше n.

Степенная функция с целым отрицательным показателем.

Рассмотрим функцию у = х ^{- n}, где n – натуральное число. При n =2 получаем у = х ^{- 2} или у = . Свойства этой функции:

1. Функция определена при всех х 0.

2. у =  – четная функция.

3. у =  – убывает на (0; +∞) и возрастает на (-∞; 0).

Теми же свойствами обладают любые функции вида y = х^{- n} при четном n, большем двух.

Функции вида , ,  обладают теми же свойствами, как и функция .

 

Степенная функция с положительным дробным показателем

Рассмотрим функцию у = х ^r, где r – положительная несократимая дробь. Перечислим некоторые свойства этой функции:

1. Область определения – луч [0; +∞).

2. Функция ни четная, ни нечетная.

3. Функция у = х ^r возрастает на [0; +∞).

На рисунке слева изображен график функции . Он заключен между графиками функций у = х ² и у = х ³, заданных на промежутке [0; +∞). Подобный вид имеет график любой функции вида у = х ^r, где . На том же рисунке посередине изображен график функции . Подобный вид имеет график любой степенной функции у = х ^r, где .

 

Степенная функция с отрицательным дробным показателем

Рассмотрим функцию у = х^{- r}, где r – положительная несократимая дробь. Перечислим свойства этой функции:

1. Область определения – промежуток (0; +∞).

2. Функция ни четная, ни нечетная.

3. Функция у = х^{- r} убывает на (0; +∞).

Пример 1. Построить график функции .

Решение: построим таблицу значений данной функции:

х			1	4	9
у	3	2	1

Нанесем полученные точки на координатную плоскость и соединим их плавной кривой:

Подобный вид имеет график любой функции у = х^{- r}, где r – отрицательная дробь.

Задания для самостоятельного решения:

Постройте график функции и опишите ее свойства:

1 вариант .	2 вариант .	3 вариант .
4 вариант .	5 вариант .	6 вариант .
7 вариант .	8 вариант .	9 вариант .

Контрольные вопросы:

1. Что называется степенной функцией?

2. Перечислите виды степенных функций.

3. Перечислите свойства функции для различных показателей степени.

Практическое занятие

Примеры зависимостей между переменными в реальных процессах из смежных дисциплин. Определение функций.

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- основные свойства логарифмов;

уметь:

-строить график логарифмической функции с разными основаниями.

 

Сведения из теории:

Пусть а – положительное число, а ≠1. Функцию, заданную формулой y = log_ax называют логарифмической функцией с основанием а. Перечислим основные свойства логарифмической функции:

1. Область определения – множество всех положительных чисел R ₊, т.е. D (log_a)=(0; +∞).

2. Область значений – множество всех действительных чисел R, т.е. Е (log_a)=(-∞; +∞).

3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает при a >1 или убывает при 0< а <1.

Для построения графика заметим, что значение 0 логарифмическая функция принимает в точке 1; log_a 1=0 при любом a >1, т.к. а ⁰=1. Вследствие возрастания функции при a >1 получаем, что при х >1 логарифмическая функция принимает положительные значения, а при 0< х <1 – отрицательные. Если 0< а <1,то логарифмическая функция убывает на R ₊, поэтому функция принимает положительные значения при 0< х <1, а при х >1 – отрицательные. Опираясь на все вышесказанное строим графики логарифмической функции y = log_ax при a >1 и при 0< а <1.

Справедливо следующее утверждение: графики показательной и логарифмической функций, имеющих одинаковое основание, симметричны относительно прямой у = х.

Пример 1. Решить графически уравнение lоg₂ х =- х +1.

Решение: построим графики функций у =lоg₂ х и у =- х +1 в одной координатной плоскости:

Графики этих функций пересекаются в точке с абсциссой х =1. Проверка показывает, что х =1 – корень данного уравнения.

Задания для самостоятельного решения:

Решите графически уравнение:

1 вариант .	2 вариант .	3 вариант .
4 вариант .	5 вариант .	6 вариант .
7 вариант .	8 вариант .	9 вариант .

Контрольные вопросы:

1. Что называется логарифмической функцией?

2. Перечислите свойства логарифмической функции.

 

Практическое занятие