Уравнения и системы уравнений

Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические уравнения и системы. Основные приемы их решения (разложение на множители, введение новых неизвестных, подстановка, графический метод). Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические неравенства. Основные приемы их решения.

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- способы решения уравнений;

уметь:

- решать уравнения различными способами.

Сведения из теории:

Метод разложения на множители

Суть данного метода в том, чтобы путем равносильных преобразований представить левую часть исходного уравнения, содержащую неизвестную величину в какой-либо степени, в виде произведения двух выражений, содержащих неизвестную величину в меньшей степени. При этом справа от знака равенства должен оказаться ноль. Проще всего уяснить эту идею на конкретном примере.

Пример 1. Решите уравнение методом разложения на множители: .

Решение: осуществим разложение на множители (представим исходное выражение в виде произведения). Для этого вынесем переменную  за скобки:

.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Следовательно,  или .

Из последнего уравнения получаем:  или .

Задача для самостоятельного решения №1. Решите уравнение методом разложения на множители: .

Метод замены переменной

Суть данного метода в том, чтобы удачным образом заменить сложное выражение, содержащее неизвестную величину, новой переменной, в результате чего уравнение принимает более простой вид. Далее полученное уравнение решается относительно новой переменной, после чего происходит возврат к исходной переменной. Все эти идеи проще осознать на конкретном примере.

Пример 2. Решите уравнение методом замены переменной: .

Решение: такие уравнения называются биквадратными. Перепишем его в виде:

.

Введем новую переменную .Тогда исходное уравнение примет следующий простой вид:

.

Решая полученное квадратичное уравнение, получаем, что:

 или .

Возвращаемся теперь к старой переменной (обратная замена):

 или .

Решений у первого уравнения нет, поскольку не существует такого действительного числа, квадрат которого был бы отрицателен. Второе уравнение имеет два корня .

Ответ: .

Задача для самостоятельного решения №2. Решите уравнение методом замены переменной: .

 

Пример 3. Решите уравнение методом замены переменной: .

Решение: обращаем внимание на то, что  не является корнем данного уравнения. Следовательно, без потери или приобретения лишних корней можно разделить числитель и знаменатель обеих дробей на . Тогда уравнение принимает вид: .

Введем новую переменную: . Тогда уравнение примет вид: .

Выполнив элементарные преобразования: приведем дроби к общему знаменателю, приведем подобные слагаемые, получим: .

Дробь равна нулю, если нулю равен ее числитель, а знаменатель при этом не равен нулю. То есть уравнение равносильно следующей системе:

.

Решив первое уравнение системы, имеем: t =16 или t =9.

Переходя к обратной подстановке, получаем:

1. , что при  равносильно уравнению , решая которое, получаем  или .

2.  что при  равносильно уравнению , у которого решений нет, поскольку его дискриминант отрицателен.

Ответ: , .

 

Задача для самостоятельного решения №3. Решите уравнение методом разложения на множители: .

Контрольные вопросы:

1. В чем суть решения уравнения методом разложения на множители?

2. В чем суть решения уравнения методом замены переменной?

 

Практическое занятие