Решение прикладных задач. Нахождение значений логарифма по произвольному основанию. Переход от одного основания к другому

 

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- определение логарифма;

- свойства логарифмов;

уметь:

- вычислять логарифмы по любому основанию.

Сведения из теории:

Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени (х), в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b, т.е. log_ab = x → a^x = b.

При работе с логарифмами применяются следующие их свойств, вытекающие из свойств показательной функции:

1. а ^logab = b (где b >0, a >0 и a ≠0) называют основным логарифмическим тождеством.

При любом a >0 (a ≠0) и любых положительных х и у выполняются равенства:

2. log_a 1=0.

3. log_a а =1.

4. Логарифм произведения равен сумме логарифмов: log_ax у = log_ax + log_a у.

5. Логарифм частного равен разности логарифмов: log_a (x /у)= log_ax - log_a у.

6. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени: log_ax^k = klog_ax.

 

Основные свойства логарифмов широко применяются в ходе преобразования выражений, содержащих логарифмы. Среди них формула перехода к новому основанию: log_ax = log_bx / log_ba. Эта формула верна, если обе ее части имеют смысл, т.е. при x >0, a >0 и a ≠0, b >0 и b ≠1).

По правилу логарифмирования степени и основному логарифмическому тождеству получаем: log_bx = log_b (а ^{loga х}), откуда log_bx = log_ax · log_ba. Эту формулу так же можно использовать для упрощения выражений.

С помощью формулы перехода можно найти значение логарифма с произвольным основанием а, имея таблицы логарифмов, составленные для какого-нибудь одного основания b. Наиболее употребительны таблицы десятичных и натуральных логарифмов (десятичными называют логарифмы по основанию 10 и обозначают lg, а натуральными логарифмами называют логарифмы по основанию е ~2,72 и обозначают ln).

Пример1. Вычислите log _0,37.

Решение: воспользуемся формулой перехода к новому основанию и перейдем к основанию 10:

log_ax = log_bx / log_ba

log _0,37= log ₁₀7 / log ₁₀0,3= lg 7/ lg 0,3.

Пользуясь калькулятором или специальными таблицами, например, таблицей В.М. Брадиса, находим значение lg 7=0,8451.

Используя 5 и 3 свойства логарифмов, вычисляем

lg 0,3= lg (3/10)= lg 3- lg 10=0,4771-1=-0,5229.

Итак, log _0,37=0,8451/(-0,5229)=-1,6162.

Пример 2. Вычислите: (lg 72- lg 9)/(lg 28- lg 7).

Решение: используя 5 и 6 свойства логарифмов, вычисляем

lg 72- lg 9= lg (72/9)= lg 8= lg 2³=3 lg 2;

lg 28- lg 7= lg (28/7)= lg 4= lg 2²=2 lg 2.

Итак,

(lg 72- lg 9)/(lg 28- lg 7)=(3 lg 2)/(2 lg 2)=3/2=1,5.

 

Задания для самостоятельного решения:

1 вариант 1) Вычислите log 0,25. 2) Дано: . Вычислите: .	2 вариант 1) Вычислите log 3 0,1. 2) Вычислите: .
3 вариант 1) Вычислите log0 ,74. 2) Вычислите:	4 вариант 1) Вычислите log 0,29. 2) Вычислите: .
5 вариант 1) Вычислите log 0,370. 2) Вычислить:	6 вариант 1) Вычислите log 0,320. 2) Вычислите: .

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение логарифма числа.

2. Перечислите свойства логарифмов.

 

Практическое занятие