Признаки взаимного расположения прямых. Угол между прямыми

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- формулы для вычисления расстояния между двумя точками;

- формулы для вычисления координат середины отрезка;

уметь:

- вычислять расстояние между двумя точками, координаты середины отрезка.

Сведения из теории:

Длиной отрезка АВ называется расстояние между точками А и В при заданном масштабе (отрезке единичной длины). Длину отрезка АВ будем обозначать как .

Расстояние между двумя точкамиA ₁(x ₁; y ₁) и A ₂(x ₂; y ₂) в прямоугольной системе координат выражается формулой:

Точка С называется серединой отрезка АВ, если она лежит на отрезке АВ и находится на одинаковом расстоянии от его концов, т. е.

Координаты середины отрезка на плоскости

Введем прямоугольную декартову систему координат Оxy на плоскости. Пусть нам даны две точки А (х_А; у_А) и В (х_В; у_В) и известно, что точка С – середина отрезка АВ. Найдем координаты х_С и у_С точки С.

Рассмотрим случай, когда точки А и В не совпадают и не лежат одновременно на одной из координатных осей или на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей.

Координаты середины отрезка

 

По построению:  т. о., середина отрезка АВ на плоскости с концами в точках А (х_А; у_А) и В (х_В; у_В) имеет координаты .

Пример 1. На плоскости заданы координаты двух точек А (-7; 3), В (2; 4). Найдите координаты середины отрезка АВ.

Решение: пусть точка С – середина отрезка АВ. Ее координаты равны полусуммам соответствующих координат точек А и В:

т. о., середина отрезка АВ имеет координаты .

Часто с нахождением координат середины отрезка связаны задачи, в которых фигурирует термин «медиана».

Пример 2. Найдите длину медианы АМ в треугольнике АВС, если известны координаты его вершин А (-1; 0), В (3; 2), С (9; -8).

Решение: т. к. АМ – медиана, то точка М является серединой стороны ВС. Найдем координаты середины этого отрезка по известным координатам его концов:

т. о., М (6; -3).

Осталось воспользоваться формулой для вычисления расстояния между точками А и М:

Существуют различные задачи, в которых известны координаты середины отрезка и одного из его концов, а требуется найти координаты другого конца. Рассмотрим решение одной из них.

Пример 3. В прямоугольной системе координат трехмерного пространства дан параллелепипед ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁. Известно, что C ₁(1; 1; 0), а М(4; 2; -4) – середина диагонали BD ₁. Найдите координаты точки А.

Решение: диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке, и эта точка является серединой каждой из этих диагоналей. Таким образом, мы можем утверждать, что точка М является серединой отрезка AC ₁ . Из формул для нахождения координат середины отрезка имеем:

Итак, точка А имеет координаты (7; 3; -8).

Задания для самостоятельного решения:

1) Вычислите периметр треугольника АВС, если А (4; 0), В (12; -2), С (5; -9).

2) Вычислите длину медианы АМ треугольника АВС, вершины которого имеют координаты А (0; 1), В (1; -4), С (5; 2).

3) Докажите, что треугольник АВС – равнобедренный и вычислите его площадь, если вершины которого имеют координаты А (-4; 1), В (-2; 4), С (0; 1).

4) Докажите, что четырехугольник А BCD является параллелограммом, и вычислите его диагонали, если А (1; 1), B (6; 1), C (7; 4), D (2; 4).

5) Докажите, что четырехугольник А BCD является прямоугольником, и вычислите его площадь, если А (-3; -1), B (1; -1), C (1; -3), D (-3; -3).

Контрольные вопросы:

1. Запишите формулу для вычисления координат середины отрезка.

2. Запишите формулу для вычисления расстояния между двумя точками.

 

Практическое занятие