Скалярное произведение векторов

 

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- формулы для вычисления скалярного произведения векторов;

уметь:

- вычислять скалярное произведение векторов, угол между векторами.

 

Сведения из теории:

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов  и  обозначается символом  (порядок записи сомножителей безразличен, то есть ).

Если угол между векторами  и  обозначить через φ, то их скалярное произведение можно выразить формулой: .

Скалярное произведение векторов  и  можно выразить также формулой:

или .

Из формулы  следует, что , если φ – острый угол, , если φ – тупой угол;  в том и только в том случае, когда векторы  и  перпендикулярны.

Скалярное произведение  называется скалярным квадратом вектора и обозначается символом . Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля: .

Если векторы  и  заданы своими координатами:  и , то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле:

.

Отсюда следует необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов: .

Угол φ между векторами  и  задается формулой , или в координатах .

Проекция произвольного вектора S =(x, y, z) на какую-нибудь ось u определяется формулой: , где  – единичный вектор, направленный по оси u.

Если даны α, β, γ, которые оси u составляют соответствующие углы с координатными осями, то  и для вычисления вектора  может служить формула: .

Пример 1. Векторы  и  образуют угол , зная, что , , вычислить: , , , , , , .

Решение: из формулы , выразим , тогда ;т.к. , то , ;

по формуле сокращенного умножения квадрата суммы, имеем

;

аналогично

;

по формуле сокращенного умножения квадрата разности, имеем

;

раскроем скобки

 

Задачи для самостоятельного решения:

1) Векторы  и  взаимно перпендикулярны; вектор  образует с ними углы, равные ; зная, что , , , вычислить: , , .

2) Векторы ,  и  попарно образуют друг с другом углы, каждый из которых равен 60⁰. Зная, что , , , определить модуль вектора .

3) Даны векторы  и . Вычислить: , , , , , .

4) Даны точки A (-1; 3; -7), B (2; -1; 5), C (0; 1; -5). Вычислить: , , .

Контрольные вопросы:

1. Запишите формулы для вычисления скалярного произведения векторов.

2. Запишите формулу для вычисления угла между векторами.

 

Практическое занятие

Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве

 

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- определение направляющего вектора прямой;

- канонические уравнения прямой;

- параметрические уравнения прямой;

уметь:

- составлять уравнение прямой по двум точкам, по направляющему вектору.

 

Сведения из теории:

Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором этой прямой.

Направляющий вектор произвольной прямой в дальнейшем обозначается буквой , его координаты – буквами l, m, n: .

Если известна одна точка М (x ₀, y ₀, z ₀) прямой и направляющий вектор , то прямая может быть определена уравнением вида:

. В таком виде уравнение прямой называется каноническим.

Каноническое уравнение прямой, проходящей через данные точки М ₁(x ₁, y ₁, z ₁) и М ₂(x ₂, y ₂, z ₂) имеет вид: .

Обозначим буквой t каждое из равных отношений в канонических уравнениях:

,

отсюда

 – параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку М (x ₀, y ₀, z ₀) в направлении вектора .

Пример 1. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через данные точки: (1; -2; 1), (3; 1; -1).

Решение: воспользуемся формулой , тогда получим

 

Задания для самостоятельного решения:

1) Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М₁(2; 0; -3) параллельно: вектору , прямой , оси О х, оси О у, оси O z.

2) Составить канонические уравнения прямой, проходящей через данные точки: а) (3; -1; 0), (1; 0; -3); б) (0; -2; 3), (3; -2; 1); в) (1; 2; -4), (-1; 2; -4).

3) Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М ₁(1; -1; -3) параллельно: вектору ; прямой , прямой

4) Через точки М ₁(-6; 6; -5), М ₂(12; -6; 1) проведена прямая. Определить точки пересечения этой прямой с координатными плоскостями.

5) Даны вершины треугольника А (1; -2; -4), В (3; 1; -3), С (5; 1; -7). Составить параметрические уравнения его медианы, проведенной из вершины В на противоположную сторону.

Контрольные вопросы:

1. Запишите в общем виде каноническое уравнение прямой.

2. Запишите в общем виде параметрическое уравнение прямой.

 

Практическое занятие

Проекция вектора на ось

 

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- что называется числовой характеристикой проекции вектора на ось;

уметь:

- вычислять числовую проекцию вектора на ось.

 

Сведения из теории:

Числовая проекция вектора на ось – это число, которое равно произведению длины данного вектора на косинус угла между этим вектором и вектором, определяющим направление оси.

Числовую проекцию вектора  на ось L обозначают как , а числовую проекцию вектора  на ось, определяемую вектором  – .

В этих обозначениях определение числовой проекции вектора  на прямую, направленную как вектор , примет вид .

Эта формула применяется, когда известны длина вектора  и угол между векторами  и .

Пример 1. Вычислите числовую проекцию вектора  на прямую, направленную как вектор , если длина вектора  равна 8, а угол между векторами  и  равен 60⁰.

Решение: по формуле , имеем

Известно, что . Тогда формула , позволяющая найти числовую проекцию вектора на прямую, направленную как вектор , примет вид . Т. о. числовая проекция вектора на ось, направление которой совпадает с направлением вектора , – это отношение скалярного произведения векторов и к длине вектора . Полученную формулу вида  удобно применять для нахождения числовой проекции вектора на прямую, направление которой совпадает с направлением вектора , когда известны координаты векторов и .

Пример 2. Известно, что вектор  задает направление оси L. Найдите числовую проекцию вектора  на ось L.

Решение: запишем формулу  в координатной форме, тогда . Используем ее для нахождения требуемой числовой проекции вектора на ось L: .

Пример 2. Относительно прямоугольной системы координат Oxyz в трехмерном пространстве заданы два вектора  и . Найдите числовую проекцию вектора на ось L, направление которой совпадает с направлением вектора .

Решение: по координатам векторов и вычислим скалярное произведение этих векторов: .

Длина вектора по его координатам вычисляется по следующей формуле . Тогда формула для определения числовой проекции вектора  на ось L в координатах имеет вид

Подставим в полученную формулу заданные координаты:

 

Для проекции выполняются следующие теоремы:

1. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой:

= , тогда = .

2. Проекция суммы двух векторов на произвольну4ю ось равна сумме проекций этих векторов:

.

3. Проекция произведения скаляра на вектор на произвольную ось равна произведению этого скаляра на проекцию вектора:

.

Задания для самостоятельного решения:

1) Докажите, что для любых точек A, B, C, D справедливо равенство: .

2) Дано: , . Вычислите: ; , , .

3) Вектор  образует с осью О х угол α и имеет длину . Определите координаты вектора  если:

а) α=90⁰, ; б) α=180⁰, ; в) α=-90⁰, ; г) α=45⁰, .

 

Контрольные вопросы:

1. Что называется числовой характеристикой проекции вектора на ось?

 

Практическое занятие