Понятие о законе больших чисел .

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- определение дискретной случайной величины;

уметь:

-  строить многоугольник (полигон) распределения дискретной случайной величины;

-  составлять закон распределения дискретной случайной величины.

 

Сведения из теории:

Случайное событие может состоять, в частности, в появлении некоторого числа, значение которого не может быть однозначно определено условиями его возникновение. Такие события называют случайными величинами. В этой трактовке мы сохраняем классический подход к понятию случайного события. Однако требование корректности в построении математических теорий заставляет нас вновь обратиться к аксиоматическому подходу, сохранив классические модели в качестве наглядных образцов из сферы практических приложений.

Математически корректно определить случайную величину как числовую функцию, заданную в пространстве элементарных событий.

 

Предположим вначале, что пространство элементарных событий является конечным множеством. Соответствующую ему случайную величину называют дискретной: она может принимать лишь конечное число значений, каждому из которых может быть сопоставлена вероятность его появления в опыте. Поэтому дискретные случайные величины можно задать таблицей вида:

 

X	х 1	х 2	…	хп
P	p1	p2	…	рп

 

Здесь буквой Х обозначена случайная величина, х₁, х₂, …, х_п – перечень всех ее возможных значений, а p ₁,…, р_п – соответствующие им вероятности. Такую таблицу называют законом распределения дискретной случайной величины.

События Х = х _i, (i =1, 2,,3, …, n) являются несовместными и единственно возможными, т. е. они образуют полную систему событий. Поэтому сумма их вероятностей равна единице: р₁ + р₂ + р₃ +…+ р _n =1.

Пример 1. Разыгрываются две вещи стоимостью по 5 руб. и одна вещь стоимостью 30 руб. Составить закон распределения выигрышей для человека, купившего один билет из 50.

Решение: искомая случайная величина Х представляет собой выигрыш и может принимать значения: 0, 5, 30 руб. Первому результату благоприятствует 47 случаев, второму результату – 2 случая и третьему – 1 случай. Найдем их вероятности: Р (х₁)=47/50=0,94; Р (х₂)=2/50=0,04; Р (х₃)=1/50=0,02.

Тогда закон распределения случайной величины имеет вид:

 

Х i	0	5	30
pi	0,94	0,04	0,02

В качестве проверки найдем р₁ + р₂ + р₃ =0,94+0,04+0,02=1.

Задания для самостоятельного решения:

1 вариант 1) Построить многоугольник (полигон) распределения дискретной случайной величины X, заданной законом распределения: X 2 4 5 6 р 0,3 0,1 0,2 0,4 2) Стрелок делает по мишени три выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3. Построить ряд распределения числа попаданий.	2 вариант 1) Построить многоугольник (полигон) распределения дискретной случайной величины X, заданной законом распределения: X 10 15 20 р 0,1 0,7 0,2 2) Составить таблицу распределения вероятностей случайного числа очков, выпавшего на верхней грани игрального кубика при одном подбрасывании.
3 вариант 1) Построить многоугольник (полигон) распределения дискретной случайной величины X, заданной законом распределения: X 10 20 30 40 р 0,3 0,1 0,2 0,4 2) Игральную кость бросают дважды. Случайная величина Х – сумма очков при обоих подбрасываниях. Составить таблицу распределения вероятностей.	4 вариант 1) Построить многоугольник (полигон) распределения дискретной случайной величины X, заданной законом распределения: X 5 10415 15 20 р 0,1 0,3 0,2 0,4 2) В коробке находятся 7 карандашей, из которых 4 – красные. Наудачу берут три карандаша. Какой закон распределения имеет случайная величина, означающая число извлеченных красных карандашей?
5 вариант 1) Построить многоугольник (полигон) распределения дискретной случайной величины X, заданной законом распределения: X 2 4 5 6 р 0,1 0,2 0,5 0,2 2) Составить таблицу распределения вероятностей случайного числа очков, выпавшего на верхней грани игрального кубика при одном подбрасывании.	6 вариант 1) Построить многоугольник (полигон) распределения дискретной случайной величины X, заданной законом распределения: X 1 2 3 4 р 0,2 0,4 0,1 0,3 2) Стрелок делает по мишени два выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3. Построить ряд распределения числа попаданий.
7 вариант 1) Построить многоугольник (полигон) распределения дискретной случайной величины X, заданной законом распределения: X 1 4 7 10 р 0,3 0,4 0,2 0,1 2) В коробке находятся 9 карандашей, из которых 4 – синие. Наудачу берут три карандаша. Какой закон распределения имеет случайная величина, означающая число извлеченных синих карандашей?	8 вариант 1) Построить многоугольник (полигон) распределения дискретной случайной величины X, заданной законом распределения: X 10 30450 5 р 0,3 0,5 0,2 2) Игральную кость бросают трижды. Случайная величина Х – сумма очков при трех подбрасываниях. Составить таблицу распределения вероятностей.
9 вариант 1) Построить многоугольник (полигон) распределения дискретной случайной величины X, заданной законом распределения: X 2 4 5 6 р 0,3 0,1 0,2 0,4 2) Стрелок делает по мишени четыре выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,2. Построить ряд распределения числа попаданий.

 

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение случайного события.

2. Что называется случайной величиной?

3. Поясните закон распределения дискретной случайной величины.

 

Практическое занятие