Задачи на подсчёт числа размещений, перестановок, сочетаний

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- определение вероятности;

- теоремы сложения, умножения вероятностей;

уметь:

- вычислять вероятность событий, число размещений и перестановок.

Сведения из теории:

Соединения, их виды

Группы, составленные из каких – либо элементов, называются соединениями. Различаю три основных вида соединений: размещения, перестановки и сочетания.

Размещениями из n элементов по m в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения.

Число размещений из n элементов по m обозначается и вычисляется по формуле: .

П ерестановками из n элементов называются такие соединения из всех n элементов, которые отличаются друг от друга порядком расположения элементов.

Перестановки представляют частный случай размещений из n элементов по n в каждом. Число всех перестановок из n элементов равно произведению последовательных чисел от 1 до n включительно:

,

n!-читается «n -факториал», причем 0!=1 и 1!=1.

Используя приведенные выше определения имеем формулы: ,

при решении задач часто используется равенство: .

Сочетаниями из n элементов по m в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

Число сочетаний из n элементов по m обозначается и вычисляется по формуле: , которую можно записать также в виде  

или .

Кроме того, при решении задач используются следующие формулы, выражающие основные свойства сочетаний:

,

Пример 1. Найти число размещений из 10 элементов по 4.

Решение: по формуле .

Пример 2. Решить уравнение: .

Решение: используя формулу для вычисления числа размещений имеем:

.

Разделим обе части на одинаковые выражения, получим: ,

и решим получившееся квадратное уравнение: .

Пример 3. Решите систему: .

Решение: решим второе уравнение:

.

т. к. , то –11 не удовлетворяет условию задачи. Подставив х =12 в первое уравнение системы, получим .

Используя основное свойство сочетаний, имеем: ,  тогда .

Пример 4. Сколькими способами из восьми кандидатов можно выбрать три лица на три должности?

Решение: условию задачи соответствуют размещения 3 из 8, имеем:   .

Случайные события

Изучение каждого явления в порядке наблюдения или производства опыта связано с осуществлением некоторого комплекса условий (испытаний). Всякий результат или исход испытания называется событием.

Если событие при заданных условиях может произойти или не произойти, то оно называется случайным.

В том случае, когда событие должно непременно произойти, его называют достоверным, а в том случае, когда оно заведомо не может произойти, невозможным.

События называются несовместными, если каждый раз возможно появление только одного из них. События называются совместными, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при том же испытании.

События называются противоположными, если в условиях испытания они, являясь единственными его исходами, несовместны.

Вероятность события рассматривается как мера объективной возможности появления случайного события.

Классическое определение вероятности.

Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных исходов m, к числу всех возможных исходов n: .

Вероятность любого события не может быть меньше нуля и больше единицы, т. е. .

Невозможному событию соответствует вероятность Р (А)=0, а достоверному – вероятность Р (А)=1.

 

Пример 5. В лотерее из 1000 билетов 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Какова вероятность, что этот билет выигрышный?

Решение: количество благоприятных событий, удовлетворяющих условию задачи m =200.Число всех возможных вариантов n =1000.

По определению вероятности: Р (А)=200/1000=0,2.

Пример 6. Из урны, в которой находятся 5 белых и 3 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что этот шар черный?

Решение: общее число шаров m =8, из них черных n =3, по определению: Р (А)=3/8=0,375.

Пример 7. Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 черных шара, вынимают наудачу два шара. Найти вероятность того, что оба шара окажутся черными?

Решение: общее число возможных случаев n равно числу сочетаний из 20 (12+8) элементов по два:     число благоприятных исходов m равно числу сочетаний из 8 элементов по два:   .

По определению: Р (А)=28/190=0,147.

Пример 8. В партии из 18 деталей находятся 4 бракованных. Наугад выбирают 5 деталей. Какова вероятность того, что из этих 5 деталей две окажутся бракованными?

Решение: число всех равновозможных независимых исходов n равно числу сочетаний из 18 по 5:  

Подсчитаем число благоприятных исходов m. Среди 5 взятых наугад деталей должно быть 3 качественных и 2 бракованных. Число способов выборки двух бракованных деталей из 4 имеющихся бракованных равно числу сочетаний из 4 по 2: .

Число способов выборки трех качественных деталей из 14 имеющихся равно числу сочетаний из 14 по 3: .

Любая группа качественных деталей может комбинироваться с любой группой бракованных, поэтому общее число комбинаций m равно:

,

по определению: Р (А)=2184/8568=0,255.

Задания для самостоятельного решения:

Решить следующие задачи, используя определение сочетаний, их видов:

1 вариант 1) Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 8, 9 так, чтобы в каждом числе не было одинаковых цифр? 2) Из 6 открыток надо выбрать 3. Сколькими способами это можно сделать? 3) Решите уравнение: .	2 вариант 1) Сколькими способами могут разместиться 5 человек вокруг круглого стола? 2) Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трех горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал семи различных цветов? 3) Решите уравнение: .
3 вариант 1) Из 10 кандидатов нужно выбрать 3 человека на конференцию. Сколькими различными способами это можно сделать? 2) Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, 7 так, чтобы в каждом числе не было одинаковых цифр? 3) Решите уравнение: .	4 вариант 1) Бригадир должен отправить на работу бригаду из 3 человек. Сколько таких бригад можно составить из 8 человек? 2) На собрании должны выступить 5 человек (А, Б, В, Г, Д). Сколькими способами их можно разместить в списке выступающих, если А должен выступать первым? 3) Решите уравнение: .
5 вариант 1) Сколькими способами можно расставить на полке 6 книг? 2) Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «журнал»? 3) Решите уравнение: .	6 вариант 1) Сколькими способами можно составить список из 6 человек? 2) Сколькими способами собрание, состоящее из 18 человек, может из своего состава выбрать председателя собрания и секретаря? 3) Решите уравнение: .
7 вариант 1) Среди перестановок из цифр 1, 2, 3, 4, 5 сколько таких, которые не начинаются цифрами 3 или 5? 2) Из города А в город В ведут 6 дорог, а из города В в город С –3 дороги. Сколькими способами можно попасть из города А в город С? 3) Решите систему: .	8 вариант 1) В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий сыграно в этом турнире? 2) Имеется 8 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну перчатку на правую руку так, чтобы эти перчатки были разных размеров? 3) Решите систему: .
9 вариант 1) Группа учащихся изучает семь учебных дисциплин. сколькими способами можно составить расписание занятий на понедельник, если в этот учебный день должно быть четыре различных урока? 2) Сколько матчей будет сыграно в футбольном чемпионате с участием 16 команд, если каждые две команды встречаются между собой один раз? 3) Вычислить: .

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение соединения, их виды?

2. Приведите формулы для вычисления разных видов соединений.

3. Дайте определение случайного события, их виды. Приведите примеры.

4. Дайте классическое определение вероятности.

Практическое занятие.

Решение задач на перебор вариантов

Решить следующие задачи, используя определение сочетаний, их видов:

Задача 1. Майор Зимин ежедневно формирует наряд для поддержания общественного порядка в городе. Наряд состоит из двух человек: старшего наряда и дежурного. В расположении майора находится 20 полицейских. На сколько дней подряд майор Зимин составит график?

Задача 2. В отделении сержанта Сбруева проходят службу 4 новобранца: Белкин, Пенкин, Свечкин и Овечкин. В свободное от нарядов время сержант обучает их, как рассчитаться по порядку. По команде «В одну шеренгу становись!» солдаты выстраиваются справа от Сбруева и по команде «По порядку номеров рассчитайсь!» производят расчет: «первый-второй-третий-четвертый-пятый». После этого сержант перестраивает но­вобранцев по-новому и расчет повторяется. Сколько раз может Сбруев повторить это упражнение, используя только разные способы построения солдат?

Задача 3. Сколькими способами можно выбрать из пяти разных книг какие-либо две и подарить их двум полицейским, в день милиции в городе Брюково?

Задача 4. При окончании деловой встречи специалисты обменялись визитными карточками. Сколько всего визитных карточек перешло из рук в руки, если во встрече участвовали 6 специалистов?

Задача 5. При встрече каждый из друзей пожал другому руку. Сколько всего было рукопожатий, если встретились 6 друзей?

Задача 6. В меню столовой предложено на выбор 2 первых блюда, 6 вторых и 4 третьих блюда. Сколько различных вариантов обеда, состоящего из первого, второго и третьего блюда, можно составить?

Задача 7. На прививку в медпункт отправились 7 друзей. Сколькими разными способами они могут встать в очередь у медицинского кабинета?

Практическое занятие