Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- алгоритм нахождения угла между плоскостями;

уметь:

- строить прямые, плоскости в пространстве.

Сведения из теории:

Алгоритм нахождения угла между плоскостями

1) Найти прямую а – линию пересечения плоскостей  и . 2) Из любой точки А плоскости  провести перпендикуляр АК к прямой а. 3) Из точки А плоскости  провести перпендикуляр АМ к плоскости . 4) По теореме о трех перпендикулярах . Следовательно,  – линейный угол двугранного угла между плоскостями  и .

Задания для самостоятельного решения:

Вариант 1		Вариант 2
№1. Отрезок АМ является перпендикуляром к плоскости прямоугольника АВСД. Угол между прямой МС и этой плоскостью равен 30 градусов, АД= , СД=2. а) Найти АМ. б) Найти двугранный угол МСДА. №2. В ромбе АВСД АВ=10см, угол ВАД= , ВЕ - перпендикуляр к плоскости АВС. Двугранный угол ЕАДВ равен . а)Найдите расстояние от точки Е до плоскости АВС. б) Угол между прямой АЕ и плоскостью ромба. №3. AF перпендикулярна (ABC- равнобедренный). Найдите расстояние от F до CB.		№1. В треугольнике АВС угол В прямой, ВС=2. Проекцией этого треугольника на некоторую плоскость является треугольник ВСД, АД= , двугранный угол АВСД равен 45 градусов. а) Найти АВ. б) Найти угол между прямой АС и плоскостью ВСД №2. В параллелограмме АВСД АВ=20см, угол ВАД= ВАД= , ВМ - перпендикуляр к плоскости АВС. Угол между прямой МА и плоскостью АВС равен . а) Найдите расстояние от точки М до плоскости АВС. б) Вычислите двугранный угол МАДВ. №3. AF перпендикулярна (ABC). Найдите расстояние от F до CB. Угол С=90^0.

Практическое занятие

Перпендикулярность двух плоскостей

 

№1. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если…

№2. Если одна из параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то ….

№3. Точка Е не принадлежит плоскости прямоугольника АВСD, ВЕ АВ, ВЕ ВС. Тогда прямая и плоскость ВСЕ:

а) параллельны, б) перпендикулярны, в) скрещиваются, г) прямая лежит в плоскости, д) перпендикулярны, но не пересекаются.

№4. Запишите:
1) рёбра, перпендикулярные к плоскости (DCC ₁)
2) плоскости, перпендикулярные ребру BB ₁

№5. Определите взаимное расположение:
1) прямой CC ₁ и плоскости (DСВ)
2) прямой D ₁ C ₁ и плоскости (DCB)

№6. Через вершину острого угла прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С проведена прямая AD, перпендикулярная плоскости треугольника. Найдите расстояния от точки D до вершин B и C, если AC=a, BC=b, AD=c.

Практическое занятие

Геометрические преобразования пространства: параллельный перенос, симметрия относительно плоскости

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- определение параллельного переноса и его свойства;

- формулы для параллельного переноса;

уметь:

- выполнять геометрические преобразования пространства: параллельный перенос, симметрия относительно плоскости.

 

Сведения из теории:

Параллельный перенос и его свойства

Наглядно параллельный перенос определяется как преобразование, при котором точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Такое определение не является математически строгим, потому что в нем употребляется выражение «в одном и том же направлении», которое само нуждается в точном определении. В связи с этим параллельному переносу мы дадим другое, отвечающее тому же наглядному представлению, но уже строгое определение.

Введем на плоскости декартовы координаты х, у. Преобразование фигуры F, при котором произвольная ее точка (х; у) переходит в точку (х + а; у + b), где а и b одни и те же для всех точек (х; у), называется параллельным переносом. Параллельный перенос задается формулами x '= x + а, у = у + b.

Эти формулы выражают координаты х ', у ' точки, в которую переходит точка (х; у) при параллельном переносе.

Параллельный перенос

 

Параллельный перенос есть движение

Действительно, две произвольные точки А (х ₁; у ₁) к В (х ₂; у ₂) переходят при параллельном переносе в точки А '(х ₁+ а; у ₁+ b), В '(х ₂+ а; y ₂+ b).

Поэтому

АВ ²=(х ₂- х ₁)²+(у ₂- у ₁)²,

A ' В '²=(х ₂- х ₁)²+(у ₂- у ₁)².

Отсюда АВ = А ' В '. Т. о., параллельный перенос сохраняет расстояния, а значит, является движением, что и требовалось доказать.

Название «параллельный перенос» оправдывается тем, что при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.

Параллельный перенос

Симметрия относительно плоскости

Симметрия относительно плоскости – это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону плоскости, всегда будет соответствовать точка, расположенная по другую сторону плоскости, а отрезки, соединяющие эти точки, будут перпендикулярны плоскости симметрии и делятся ею пополам.

Следует отметить, что две симметричные фигуры или две симметричные части одной фигуры при всем их сходстве, равенстве объемов и площадей поверхностей, в общем случае, неравны, т.е. их нельзя совместить друг с другом. Это разные фигуры, их нельзя заменить друг другом, например, правая перчатка, ботинок и т.д. не годятся для левой руки, ноги. Предметы могут иметь одну, две, три и т.д. плоскостей симметрии.

Например, прямая пирамида, основанием которой является равнобедренный треугольник, симметрична относительно одной плоскости Р. Призма с таким же основанием имеет две плоскости симметрии. У правильной шестиугольной призмы их семь. Тела вращения: шар, тор, цилиндр, конус и т.д. имеют бесконечное количество плоскостей симметрии.

Плоскости симметрии

 

Изображение плоскостей симметрии

 

На чертежах плоскости симметрии изображаются тонкими штрихпунктирными линиями, являющимися как бы следами этих плоскостей. Если такой след совпадает с другой линией чертежа, например, с контурной, то она проводится в виде тонких штрихов, выводимых за контур изображения на 5 – 8 мм. На чертеже наносятся следы только тех плоскостей симметрии, которые перпендикулярны плоскости проекций данного изображения.

При наличии нескольких подобно расположенных плоскостей симметрии, как у призмы, на чертеже изображается только одна взаимно перпендикулярная пара следов, по возможности тех, которые параллельны плоскостям проекций.

Для геометрических тел с плоскостями симметрии, параллельными их основаниям, например для призм, следы плоскостей симметрии на чертежах показывать не принято.

 

Задания для самостоятельного решения:

Решите задачи:

1) Докажите, что при движении параллельные прямые отображаются на параллельные прямые.

2) Докажите, что при движении: а) параллелограмм отображается на параллелограмм; б) трапеция отображается на трапецию; в) ромб отображается на ромб; г) прямоугольник отображается на прямоугольник, а квадрат – на квадрат.

3) На сторонах AB и CD параллелограмма ABCD построены квадраты (плоскости квадратов перпендикулярны плоскости параллелограмма). Используя параллельный перенос, докажите, что отрезок, соединяющий центры этих квадратов, равен и параллелен стороне AD.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение параллельного переноса и перечислите его свойства.

2. Запишите формулы для параллельного переноса.

 

Практическое занятие

Параллельное проектирование

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- свойства параллельного проектирования;

уметь:

- строить фигуры с помощью параллельного проектирования.

 

Сведения из теории:

Параллельное проектирование

Пусть даны плоскость α и прямая l, пересекающая плоскость а. Возьмем произвольную точку пространства A ₁ и проведем через эту точку прямую l ₁, параллельную l. Прямая l ₁ пересечет плоскость α в некоторой точке A. Полученная таким образом точка A называется проекцией точки A на плоскость α при проектировании параллельно прямой l. Обычно кратко говорят, что точка A есть параллельная проекция точки A ₁.

Параллельной проекцией пространственной фигуры Φ ₁ называется множество Φ параллельных проекций всех точек данной фигуры.

Свойства параллельного проектирования

1)   Проекция прямой есть прямая.

2)   Проекции параллельных прямых параллельны.

3) Отношение проекций двух параллельных отрезков равно отношению проектируемых отрезков.

Ортогональное проектирование

Частным случаем параллельного проектирования является ортогональное проектирование.

Пусть даны плоскость α и прямая l, перпендикулярная α. Возьмем произвольную точку пространства A ₁ и проведем через нее прямую l ₁ параллельную l (и, следовательно, перпендикулярную плоскости α). Прямая l ₁ пересечет плоскость α в некоторой точке A.

Полученная точка A называется ортогональной проекцией точки A ₁ на плоскость α.

Ортогональной проекцией фигуры Φ ₁ на плоскость α называется множество Φ ортогональных проекций всех точек данной фигуры Φ ₁. Как частный случай параллельного проектирования, ортогональное проектирование обладает всеми свойствами параллельного проектирования.

Свойство ортогональной проекции плоского многоугольника

Площадь s ортогональной проекции плоского многоугольника на плоскость α равна площади S проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла γ между плоскостью многоугольника и плоскостью α:

s = S ·cos(γ).

Пример 1. Через сторону основания правильной треугольной призмы проведена плоскость под углом γ=30⁰ к плоскости ее основания. Найти площадь образующегося сечения, если сторона основания равна 6 см.

Решение: т.к. призма правильная, то ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Следовательно, плоскость основания есть проекция плоскости сечения.

Т.к. в основании правильный треугольник, то его площадь равна: .

Используя свойство ортогональной проекции, имеем: .

Зная, что сторона основания равна 6 см и угол γ=30⁰, вычислим площадь:

.

 

Задания для самостоятельного решения:

Решите задачи:

1) Каковы проекции двух прямых на плоскость, если: а) прямые пересекаются; б) прямые скрещиваются; в) прямые параллельны.

2) На модели куба ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ укажите проекции на плоскость грани АА ₁ В ₁ В отрезков C ₁ D ₁, AD, C ₁ D и DB ₁, треугольников C ₁ CD и ACD, квадрата B В ₁ С ₁ C.

3) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а острый угол 60⁰. Найдите площадь проекции этого треугольника на плоскость, составляющую с плоскостью треугольника угол 30⁰.

4) Стороны треугольника равны 3,9 см, 4,1 см и 2,8 см. Найдите площадь его проекции на плоскость, составляющую с плоскостью треугольника угол 60⁰.

Контрольные вопросы:

1. Что называется параллельной проекцией?

2. Перечислите свойства параллельного проектирования.

3. Что называется ортогональной проекцией фигуры?

 

Практическое занятие