Мы поможем в написании ваших работ!
ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
|
Векторы. Действия с векторами. Декартова система координат в пространстве
Содержание книги
- Практических работ по математике
- Критерии оценивания практических работ
- Вычисление и сравнение корней. Выполнение расчетов с радикалами
- Решение прикладных задач. Нахождение значений логарифма по произвольному основанию. Переход от одного основания к другому
- Решение логарифмических уравнений
- Геометрия раздел 3. Прямые и плоскости в пространстве
- Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол
- Задачи на подсчёт числа размещений, перестановок, сочетаний
- Признаки взаимного расположения прямых. Угол между прямыми
- Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости, расстояние между плоскостями
- Векторы. Действия с векторами. Декартова система координат в пространстве
- Скалярное произведение векторов
- Использование векторов при решении математических и прикладных задач
- Простейшие тригонометрические уравнения. Простейшие тригонометрические неравенства. Обратные тригонометрические функции
- Обратные тригонометрические функции. Арксинус, арккосинус, арктангенс. Радианный метод измерения углов вращения и связь с градусной мерой
- Основные тригонометрические тождества
- Монотонность, четность, нечетность, ограниченность, периодичность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума
- Построение и чтение графиков функций. Исследование функции. Свойства линейной, квадратичной, кусочно-линейной и дробно-линейной функций
- Степенная функция, ее график и свойства
- Непрерывные и периодические функции. Свойства и графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Обратные функции и их графики
- Геометрия раздел 8. Многогранники и круглые тела
- Усеченная пирамида. Тетраэдр
- Сечения куба, призмы и пирамиды
- Практическое занятие Представление о правильных многогранниках (тетраэдре, кубе, октаэдре, додекаэдре и икосаэдре)
- Объем и его измерение. Интегральная формула объема
- Подобие тел. Отношения площадей поверхностей и объемов подобных тел.
- Цилиндр и конус. Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Осевые сечения и сечения, параллельные основанию.
- Шар и сфера, их сечения. Касательная плоскость к сфере
- Производные основных элементарных функций. Применение производной к исследованию функций и построению графиков
- Вторая производная, ее геометрический и физический смысл.
- Раздел 10. Интеграл и его применение
- Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей
- Дискретная случайная величина, закон ее распределения
- Понятие о законе больших чисел .
- Решение практических задач с применением вероятностных методов
- Уравнения и системы уравнений
- Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств
- Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики
Цель работы:
обучающийся должен:
знать:
- правила сложения векторов;
уметь:
- строить сумму векторов по правилу треугольника, параллелограмма;
- вычислять координаты суммы векторов.
Сведения из теории:
Линейные операции над векторами
Суммой двух векторов  называется вектор, который идет из начала вектора  в конец вектора  при условии, что вектор приложен к концу вектора (правило треугольника).
Наряду с правилом треугольника часто пользуются (равносильным ему) правилом параллелограмма: если векторы и приведены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма  есть вектор, совпадающий с диагональю этого параллелограмма, идущей из общего начала и . Отсюда сразу следует, что  .
Сложение многих векторов производится при помощи последовательного применения правила треугольника, построим сумму четырех векторов  ,  ,  ,  .
Разность двух векторов  называется вектор, который в сумме с вектором  составляет вектор  . Если два вектора и приведены к общему началу, то разность их есть вектор, идущий из конца («вычитаемого») к концу («уменьшаемого»).
Два вектора равной длины, лежащие на одной прямой и направленные в противоположные стороны, называются взаимно обратными: если один из них обозначен символом , то другой обозначается символом - . Легко видеть, что  . Т. о., построение разности равносильно прибавлению к «уменьшаемому» вектора, обратного «вычитаемого».
 Три вектора в пространстве можно складывать по правилу параллелепипеда: если на трех векторах , ,  , как на ребрах, построить параллелепипед, то его диагональ, выходящая из общего начала данных векторов, и будет их суммой  = + + :
Задания для самостоятельного решения:
По данным векторам и построить каждый из следующих векторов: 1) , 2)  , 3)  , 4)  .
При сложении векторов складываются их соответствующие координаты, при вычитании вычитаются соответствующие координаты, т.е. если даны координаты векторов и , =(х 1, у 1, z 1), =(х 2, у 2, z 2) и = + ; = - , то координаты векторов и вычисляются по формулам:
=(х 1+ х 2; у 1+ у 2; z 1+ z 2),
=(x 1- x 2; y 1- y 2; z 1- z 2).
Пример 1. Вычислить координаты векторов = + ; = - , если =(-3; 5; 1), =(4; -2; 8).
Решение: по формулам =(х 1+ х 2; у 1+ у 2; z 1+ z 2) и =(x 1- x 2; y 1- y 2; z 1- z 2),
Имеем =(-3+4; 5+(-2); 1+8)=(1; 3; 9) и =(-3-4; 5-(-2); 1-8)=(-7; 7; -7).
Задания для самостоятельного решения:
Вычислить координаты векторов =  ; =  , если =(4; -3; 10), =(-4; 12; -1),  =(3; -7; -11).
Контрольные вопросы:
1. Сформулируйте правило треугольника для сложения векторов.
2. Сформулируйте правило параллелограмма для сложения векторов.
3. Запишите формулы сложения (разности) векторов в координатах.
Практическое занятие
Расстояние между точками. Действия с векторами.
|
