Напруження на похилій площадці. Рівновага тетраедра

Нехай напружений стан точки задано дев'ятьма компонентами напружень на кожній грані об'єму. Знайдемо повне, нормальне і дотичне напруження на будь-як ій площадці всередині цього об'єму, не рівнобіжною координатним площинам (похила). Похила площадка задана, якщо відомі напрямні косинуси - косинуси кутів між нормаллю N, опущеною з начала координат на площадку, і кожної з координатних осей (Рис.6). Для спрощення записів позначимо cosαx = ax, cosαy = ay, cosαz = az. З аналітичної геометрії відомо, що напрямні косинуси пов'язані співвідношенням

                       a_x² + a_у² + a_z² = 1.                                                                              (5)

Отже, положення площадки визначено, якщо відомі тільки два направляючих косинуса.

Проведемо в довільній системі координат похилу майданчик ABC, задану трьома напрямними косинусами. Вона утворює спільно з трьома площадками, відсікається нею на координатних площинах (виділені штрихуванням на Рис.6), чотиригранник (тетраедр) 0ABC (Рис.7). Цей тетраедр зливається з точкою 0 при нескінченному убуванні розмірів його ребер.

Рис.6. Кути, що визначають напрямні косинуси	Рис.7. Напруження, що діють на похилій площадці

 

Нехай площа похилої площадки дорівнює F. Тоді площі відсікаються нею координатних площадок (її проекції на координатні площини) складуть відповідно Fx=Fax, Fy=Fay, Fz=Faz. Для визначення сил, що діють на координатні грані тетраедра, помножимо кожну з дев'яти компонент напружень на площу її дії. На похилій площадці діє повна напруга S, яку можна розкласти на компоненти вздовж координатних осей - Sx, Sy, Sz (Рис.7). Сили, що створюються цими компонентами повної напруги на похилій площадці, врівноважують сили, що діють на координатних площадках. Складемо рівняння рівноваги сил уздовж кожної осі. Оскільки сили взаємно врівноважуються, напрями і, отже, знаки сил, що діють на похилій площадці, протилежні напрямками та знаків сил, що діють на координатних площадках,

ΣX=S_xF - σ_хF_x - τ_xyF_y - τ_xzF_z = 0

(8)

ΣY=S_yF - τ_yxF_x  - σ_yF_y - τ_yzF_z  = 0

ΣZ=S_zF - τ_zxF_x - τ_zyF_y - σ_zF_z = 0

У системі (8) X, Y, Z - сили, що діють уздовж відповідної координатної осі.

Підставляючи значення Fx = Fax, Fy = Fay, Fz = Faz, скорочуючи на F, після перенесення значень Sx, Sy, Sz в ліву частину рівнянь, одержимо

S_x = σ_ха_x + τ_xyа_y + τ_xzа_z

S_y = τ_yxа_x + σ_yа_y + τ_yzа_z                                                                                                 (9)

S_z = τ_zxа_x + τ_zyа_y + σ_zа_z

Повна напруга на похилій площадці знаходимо як діагональ паралелепіпеду

      S² = S_x² + S_у² + S_z².                                                         (10)

Для визначення нормальної напруги на похилій площадці σ спроектуємо на нормаль N компоненти повної напруги і складемо отримані проекції

      σ = S_xа_х + S_уа_у + S_zа_z.                                                      (11)

Підставляючи значення компонент із системи (9) та враховуючи закон парності дотичних напружень, отримуємо значення нормальної напруги на будь-який похилій площадці

       σ=σ_xa_x² + σ_ya_y² + σ_za_z² + 2τ_xya_xa_y + 2τ_yza_ya_z + 2τ_zxa_za_x.                (12)

    Дотичне напруження на похилій площадці знаходимо за правилом паралелограма

                               τ²  = S² - σ².                                             (13)          

Таким чином, знаючи компоненти напружень на координатних площадках, можна знайти повне, нормальне і дотичне напруження, що діють на будь-який похилій площадці, заданої хоча б двома напрямними косинусами. Третій спрямовує косинус визначається за рівнянням (5).

Головні напруги

Рівняння (12) показує, що величина нормальної напруги залежить від положення похилої площадки, тобто від значень напрямних косинусів. Компоненти напружень на координатних площадках не змінюються, вони є постійними коефіцієнтами в рівнянні (12), а напрямні косинуси - змінними. Якщо позначити а_х як х, а_у як у, а_z як z, а компоненти напружень як постійні коефіцієнти а_ij, то рівняння (12) запишеться у вигляді

А² =а₁₁x² + а₂₂y² + а₃₃z²  +  а₁₂xy + а₂₃yz + а₃₁zx,                        (a)

де А² - параметр, що визначає масштаб напруг. З аналітичної геометрії відомо, що такий тип рівнянь описує поверхню другого порядку (еліпсоїд, параболоїд, куля і т.д.), центр якої суміщений з початком координат (відсутні доданки, що містять змінні величини в першого ступеня). Якщо осі координат вибрати не довільно, а поєднати з трьома ортогональними радіусами поверхні другого порядку, то коефіцієнти перед добутками змінних а₁₂, а₂₃, а₃₁ звернуться в нулі. Цими коефіцієнтами в рівнянні (12) є дотичні компоненти тензора напружень. Система, на площадках як их відсутні дотичні напруги, називається головною системою координат. У кожній точці (в кожному елементарному об'ємі) є єдина головна система координат, всі інші системи називають довільними, на їх координатних площадках діють як нормальні, так і дотичні напруження. На головних площадках діють тільки нормальні напруги. Їх називають головними нормальними напруженнями. Для того, щоб відрізнити головну систему від довільної, її осі позначають цифрами 1,2,3, тими ж індексами позначають і головні нормальні напруження і головні площадки. Для спрощення аналізу перших вісь завжди направляють вздовж найбільшого, а третю - вздовж найменшого з головних напружень (з урахуванням їх знака), тобто σ₁≥σ₂≥σ₃.

Формули для розрахунку напружень на похилих площадках, розглянутих у головній системі координат, значно спрощуються, оскільки в них відсутні дотичні напрудення.

Компоненти повної напруги вздовж координатних осей (замість індексів x, y, z використовуємо індекси 1, 2, 3 відповідно) виражаються формулами

S₁ = σ₁a₁, S₂ = σ₂a₂, S₃ = σ₃a₃.                                                 (14)

Повне напруження

S² = σ₁²a₁² + σ₂²a₂² + σ₃²a₃².                                                         (15)

Нормальне напруження

σ = σ₁a₁² + σ₂a₂² + σ₃a₃².                                                           (16)

Дотичне напруження

τ² = σ₁²a₁² + σ₂²a₂² + σ₃²a₃² – (σ₁a₁² + σ₂a₂² + σ₃a₃²)².                  (17)

 

Еліпсоїд напруг

Визначимо конкретний вид поверхні другого порядку, яка характеризує напружений стан точки в головних осях. З рівнянь (14) отримуємо а₁ = S₁/σ₁, а₂ = S₂/σ₂, а₃ = S₃/σ₃. Враховуючи, що сума напрямних косинусів дорівнює одиниці, маємо

 (S₁/σ₁)² + (S₂/σ₂)² + (S₃/σ₃)² = 1.                                                  (18)

Для даної точки значення головних напружень σ₁, σ₂, σ₃ постійні, а повні напруги S₁, S₂, S₃ змінні і залежать від положення площадок, на яких вони діють, тобто рівняння (18) можна записати у вигляді

 (x/a)² + (y/b)² + (z/c)² = 1.                                                               (a)

Рівняння (а), яке випливає з аналітичної геометрії, являє собою рівняння еліпсоїда, півосі якого рівні головним напруженням (Рис.8), а довжина будь-якого відрізка від центру еліпсоїда до його поверхні являє собою повне напруження на даній похилій площадці. Ці напруги завжди менше найбільшого і більше найменшого з головних напружень.

 

Рис.8. Еліпсоїд напруг

 

Напружений стан, який описується еліпсоїдом напруг, називають об'ємним. У загальному випадку він описується трьома різними під величиною і за знаком головними напруженнями. Якщо дві головних напруги рівні між собою за величиною і за знаком, еліпсоїд напруг стає еліпсоїдом обертання. Якщо рівні між собою всі три головних напруги, еліпсоїд перетворюється в кулю, а напружений стан називають кульовим. При кульовому напруженому стані будь-яка система координат стає головною, а дотичні напруження відсутні на всіх площадках. Елементарний об’єм перебуває у стані рівномірного розтягування або стиснення.

Якщо одне з головних напружень відсутнє, еліпсоїд перетворюється в еліпс, а напружений стан називають плоским (дві, що залишилися напруги лежать в одній площині). Якщо відсутні дві головних напруги, еліпс стягується у відрізок прямої, а напружений стан називають лінійним (напруга діє по лінії). Таким чином, розрізняють три види напруженого стану - лінійне, плоске й об'ємне.

Лекція 3

Поняття про тензор напруження. Інваріанти тензора напруження. Головні дотичні напруження. Кульовий тензор і девіатор напруг. Октаедричні напруги. Інтенсивність дотичних напружень і узагальнене напругу. Діаграми Мора.

Поняття тензора напружен ня

Фізичні величини, які виражаються одним числом, називають скалярами. Величини, які характеризуються не тільки чисельним значенням, але й напрямком, називають векторами. Величини, значення та напрямки яких змінюються в багатовимірному просторі, називають тензорами. Тензорне числення - найбільш загальний вигляд математичних перетворень. З точки зору тензорного аналізу скаляри представляють собою тензори нульового рангу, вектори - тензори першого рангу. Величина, що змінюється в тривимірному просторі (вздовж трьох координатних осей), являє собою тензор другого рангу. Якщо величина змінюється не тільки по трьох напрямках, але залежить ще від часу, вона описується тензором третього рангу і т.д. З геометричної точки зору тензор другого рангу описує поверхню другого порядку. Оскільки напружений стан описується поверхнею другого порядку, воно являє собою симетричний тензор другого рангу. Симетрія тензора обумовлена законом парності дотичних напружень. У просторі тензор другого рангу описується трьома повними напругами або дев'ятьма їх компонентами - трьома компонентами нормальних і шістьма компонентами дотичних напружень. Тому таблиця в параграфі 3.2.1 представляє собою симетричний тензор другого рангу, який позначимо так

                           Т_σ =                                                                                         (19)

Внаслідок симетрії можна використовувати спрощену форму запису

                      Т_σ =                                                                                 (19,а)

Точки в тензорі (19, а) мається на увазі значення попарно рівних один одному дотичних напружень, але ніяк не нулі.

У головній системі координат тензор для тієї ж точки запишеться у вигляді

                  Т_σ =                                                     (19,б)          

З тензорами можна проводити різні математичні операції, в тому числі звичайні. Для складання двох тензорів необхідно скласти компоненти, що займають однакові позиції (з урахуванням їх знака), при множенні тензора на скаляр на нього множать всі компоненти тензора, при множенні двох тензорів перемножують їх компоненти, які стоять на однакових позиціях. Перераховані дії справедливі для тензорів одного і того ж рангу. Більш складні операції з тензорами в даному курсі не використовуються.