Диференціальні рівняння рівноваги в прямокутній системі координат.

Як витікає з принципу локальності самоврівноважені навантажень, напруги безперервно змінюються за об’ємом тіла і є безперервними функціями координат. При цьому кожен елементарний об'єм повинен знаходитися в рівновазі, динамічному (з урахуванням сил інерції) або статичному (без урахування сил інерції). Розглянемо напружений стан двох сусідніх точок А і В, що перебувають на нескінченно близьких відстанях dx, dy, dz один від одного (Рис.20; куб на малюнку не матеріальна точка; він характеризує відстані між точками А і В за об’ємом). Лівий нижній куткуба відповідаєточці А, напруги в її околицях діють на невидимих площадках куба.

Рис.20. Напружен ий стан в двох сусідніх точках А і В

Нехай вони задані звичайним тензором напружень Т_σА. Тоді напружений стан точки В задано тензором Т_σВ, компоненти якого відрізняються від компонент тензора Т_σА нескінченно малими приростами, які діють на видимих площадках. Запишемо ці тензори:

                                    Т_σА = _,

Т_σВ = .

              

Приріст кожної компоненти напружень тензора Т_σВ визначені так само, як показано в розділі 3.4.1 для зміщень (частна часткової похідної функції даної напруги уздовж даної осі на диференціал з цієї ж осі). Розглянемо рівновагу сил, що діють на даний об`єм. Для того щоб від напруг перейти до сил, потрібно кожну компоненту напруг помножити на площу її дії.

Суму сил, що діють по осі х, можна скласти рис. 3.20, але найбільш просто це зробити, використовуючи тензори напруг. У верхніх рядках кожного з тензорів розташовані компоненти, що діють уздовж осі х. Другий індекс кожної компоненти відповідає площадці її дії, що дозволяє розрахувати її площу як добуток двох розмірів куба на рис.20. Врахуємо, що для рівноваги елемента необхідно, щоб компоненти кожного з тензорів були направлені в різні сторони (див. рис.20.). Отримаємо

ΣX = [σ_x + (∂σ_x/∂x)dx]dydz - σ_xdydz + [τ_xy + (∂τ_xy /∂y)dy]dzdx - τ_xydzdx +

                     + [τ_xz + (∂τ_xz /∂z)dz]dxdy - τ_xzdzdx = 0.

Розкриємо дужки і скоротимо на dxdydz, отримаємо

              ∂σ_x/∂x + ∂τ_xy /∂y + ∂τ_xz /∂z = 0.

Рівняння рівноваги сил з інших осей ΣУ = 0 і ΣZ = 0 знайдемо за двома іншими рядками тензорів. У результаті отримуємо систему з трьох диференціальних рівнянь, що містять (з урахуванням закону парності дотичних напружень) 6 невідомих - 3 нормальних і три дотичних напруги

∂σ_x/∂x + ∂τ_xy /∂y + ∂τ_xz /∂z = 0;

∂τ_yx/∂x + ∂σ_y/∂y + ∂τ_yz/∂z = 0;                                                    (66)

∂τ_zx /∂x + ∂τ_zy /∂y +∂σ_z/∂z = 0.

Рівняння (66) визначають зв'язок між приростами компонент напружень, що діють уздовж кожної осі в довільній системі координат. Їх називають статичними рівняннями рівноваги, тому що в них не враховано сил інерції. Для полегшення запам'ятовування відзначимо, що ліва частина рівнянь складається з похідних компонентів звичайного тензора напружень за індексами площадок їх дії. Рівняння (66) статично невизначні, тому що містять 6 невідомих у трьох рівняннях.

У разі необхідності використовують динамічні рівняння рівноваги, що враховують сили інерції і інші об'ємні сили

∂σ_x/∂x + ∂τ_xy /∂y + ∂τ_xz /∂z + X_ρ = ρ∂²u_x/∂t²

∂τ_yx/∂x + ∂σ_y/∂y + ∂τ_yz/∂z + Y_ρ= ρ∂²u_y/∂t²                                                 (67)       

∂τ_zx /∂x + ∂τ_zy /∂y +∂σ_z/∂z + Z_ρ= ρ∂²u_z/∂t²

У рівняннях (67) X_ρ, Y_ρ, Z_ρ-проекції об'ємної сили на осі, віднесеної до маси, ρ - щільність деформівного матеріалу. Праві частини рівнянь містять проекції сил інерції за координатним осям.

 

Плоскі задачі

Рішення об'ємних задач складне і займає багато часу. Для полегшення рішення спрощують схему процесу, приймаючи, що або одна головна напруга дорівнює нулю (плоск ий напружений стан), або одна з головних деформацій дорівнює нулю (плоск ий деформований стан). Обидва ці підходи об'єднують загальною назвою «плоскі задачі». У деяких випадках плоский стан реально має місце. Наприклад, при розтягуванні листа напругами, нормальними до його периметру (рис.21),

 

Рис.21. Схема плоско ї задачи

відсутні напруги, нормальні до його поверхні, і завдання є плоскою напруженою. Якщо плинність металу завширшки заборонено стінками інструменту, його розміри зменшуються по висоті і збільшуються по довжині. В інших випадках просто нехтують наявністю однієї з компонент напружень або деформацій, якщо їх величина помітно менше в порівнянні з іншими компонентами. Такі випадки широко поширені на практиці.

Плоскі завдання мають такі особливості:

- Компоненти напруг і деформацій не залежать від однієї з координат і залишаються постійними вздовж цієї координати;

- Єдине значення компоненти вимагає, щоб ця компонента була головною;

- Майданчики, нормальні до цієї компоненті, є головними майданчиками, на них відсутні дотичні напруги; всі компоненти дотичних напружень з індексом цієї осі дорівнюють нулю (дотичні напруги з другим індексом, відповідним даної головному майданчику, відсутні, а дотичні напруги з напрямком даної осі дорівнюють нулю внаслідок парності дотичних напружень).

- Головне нормальне напруження по цій осі або дорівнює нулю (плоске напружений стан), або дорівнює напівсумі двох інших головних напруг (плоске деформований стан).

Останнє положення випливає з аналізу девіаторной схеми напруг (див. 3.3.5). Деформація по осі 2 відсутній, якщо друга компонента девіатора дорівнює нулю, тобто σ₂ = σ_ср. Так як

σ_ср = (σ₁ + σ₂ + σ₃)/3 = (σ₁ + σ_ср + σ₃)/3, откуда σ_ср = (σ₁ + σ₃)/2.

Рішення плоских задач значно простіше в порівнянні з об'ємними. З статичних і геометричних рівнянь виключаються компоненти, що містять індекс другої осі (при вирішенні в головних осях) або індекс у (при вирішенні в довільних осях, зазвичай віссю відсутності компоненти беруть вісь у). Система диференціальних рівнянь рівноваги складається з двох рівнянь, що містять три невідомі (σ_х, σ_z, τ_xz)

∂σ_x/∂x + ∂τ_xz/∂z = 0;                                                                        (68)

∂τ_zx /∂x +∂σ_z/∂z = 0.

З шести геометричних рівнянь зберігаються лише три        

            ε_х = ∂u_x/∂х, ε_z = ∂u_z/∂z, γ_zx = ∂u_x/∂z + ∂u_z/∂x.             (69)

Тензори напруг і деформацій у головних осях мають вигляд для плоского напруженого стану

Т_σ = ; Т_ε = ; D_σ = ,         

для плоского деформованого стану

     Т_σ =  ;  Т_ε = ; D_σ =  .   

При цьому ε₁ = - ε₃, σ₂ = (σ₁ + σ₃)/2 = σ_ср.

Якщо σ₁ =-σ_3, то σ_ср=0, в цьому випадку має місце одночасно і плоске напружене і плоске деформований стан (друга компонента девіатора напруг дорівнює нулю, так як σ₂=σ_ср=0), тензор напружень дорівнює девіатора напруг. Умова ε₁=-ε₃ зберігається. Таке напружено-деформований стан називають чистим зрушенням.

 

Осесиметрична завдання

Розгляд будь-яких тіл обертання, навантаження до яких прикладено симетрично щодо їх осі симетрії, називають осесиметричними. Вирішення таких задач також простіше, ніж рішення об'ємних. Але розглядати осесиметричні задачи зручніше не в прямокутній, а в циліндричній системі координат. У цій системі положення точки визначається радіусом-вектором ρ, кутом θ і аплікатою z (Рис.22).

Рис. 3.22. Циліндрична система координат та індексація напружень у цій системі

 

 

Напружений стан в загальному вигляді описується тензором напружень

                            Т_σ = .                                         (70)

Напруга σ_ρ називають радіальним, σ_θ - тангенціальним, σ_z - осьовим.

Для осесиметричного напруженого стану внаслідок симетрії тіла і зовнішніх навантажень направлення всіх радіусів рівноправні. Тому складові напруг і деформацій не залежать від кута θ, площадки θ є головними, дотичні компоненти, що містять індекс θ, дорівнюють нулю (одні тому що площадка головна, інші за законом парності дотичних напружень). Звідси тензор напружень для осесиметричної задачі в циліндричній системі координат має вигляд

                               Т_σ = .                                              (71)

Для виведення диференціальних рівнянь рівноваги розглянемо елементарний об'єм з розмірами dρ, dθ, dz (Рис.23), у якого компоненти напружень на невидимих гранях визначають напружений стан точки А, а на видимих - точки В. Тензори напруг Т_σА і Т_σВ мають вигляд

Т_σА = , Т_σВ = .

Рис. 3.23. Рівновага елементарного об'єму

         для осесиметричної задачі   

 

Складемо рівняння рівноваги сил, що діють на елементарний об'єм, показаний на Рис.23 Попередньо запишемо вираження, що визначають площі його граней, враховуючи, що довжина дуги дорівнює добутку радіуса на кут, що відповідає цій дузі. Шукані площі показані на Рис.24:

   площа аbcd = F_ρ = ρdθdz (ρdθ – довжина дуги bс);

   площа а'b'c'd' = F_{(ρ + dρ)} = (ρ + dρ)dθdz ((ρ + dρ)dθ – довжина дуги b'с');

   площа аbb'a' = площі dcc'd' = F_θ = dρdz;

   площа bcc'b' = площі add'a' = F_z = (ρ + dρ/2)dθdρ ≈ ρdθdρ.

Рис.24. Проекції елементарного об'єму на площині ρ0θ и ρ0 z.

 

Складемо рівняння рівноваги сил, що діють на елемент вздовж осі ρ. У рівняння увійдуть не тільки сили, створені компонентами, що стоять у верхніх рядках тензорів Т_σА і Т_σВ, але і проекції напруги σ_θ на вісь ρ-2_σθsin(θ/2) (коефіцієнт 2, так як таких проекцій дві - рис.24. Обидві проекції спрямовані проти позитивного напрямку осі ρ і мають знак мінус, як і компоненти тензора Т_σА. Множачи компоненти напружень на площу їх дії, отримуємо

ΣΡ = [σ_ρ + (∂σ_ρ/∂ρ)dρ] (ρ + dρ)dθdz - σ_ρρ dθdz + [τ_ρz + (∂τ_ρz/∂z) dz] ρdθdρ –

- τ_ρzρdθdρ - 2σ_θ sin(dθ/2)dρdz = 0.

    Розкриваючи дужки і приймаючи, що sin(dθ/2) ≈ dθ/2, маємо

σ_ρρdθdz +σ_ρdρdθdz + [(∂σ_ρ/∂ρ)dρ]ρdθdz + (∂σ_ρ/∂ρ)dρ²dθdz - σ_ρρ dθdz +

+ τ_ρzρdθdρ + (∂τ_ρz/∂z)dzρdθdρ - τ_ρzρdθdρ - 2σ_θ (dθ/2) dρdz = 0.

    Після приведення подібних доданків, виключення (∂σ_ρ/∂ρ)dρ²dθdz як нескінченно малою вищого порядку, і скорочення на dρdθdz, отримаємо

           σ_ρ + (∂σ_ρ/∂ρ)ρ + (∂τ_ρz/∂z)ρ - σ_θ = 0.                             (72, а)

    Складемо рівняння рівноваги сил, що діють на елементарний об'єм по осі z (см. Рис.23, чи нижче строки тензорів Т_σА і Т_σВ)         

 [(τ_zρ+ ∂τ_zρ/∂ρ)dρ](ρ + dρ)dθdz - τ_zρ ρdθdz + [σ_z+ (∂σ_z/∂z)dz] ρdθdρ – σ_zρdθdρ = 0.

Розкриємо дужки

τ_zρρdθdz + τ_zρdρdθdz + (∂τ_zρ/∂ρ)dρ(ρ)dθdz + (∂τ_zρ/∂ρ)dρ²dθdz - τ_zρρdθdz +

σ_zρdθdρ + (∂σ_z/∂z)dz ρdθdρ - σ_zρdθdρ = 0.

Після приведення подібних, виключення нескінченно малою вищого порядку (∂τ_zρ/∂ρ)dρ²dθdz і скорочення на dρdθdz, отримаємо

                 τ_zρ+ (∂τ_zρ/∂ρ)ρ + (∂σ_z/∂z)ρ = 0.                                          (72, б)

Після перетворення рівнянь (72, а) і (72, б) отримуємо систему з двох диференціальних рівняння з чотирма невідомими (σ_ρ, σ_θ, σ_z і τ_zρ = τ_ρz)

∂σ_ρ/∂ρ + ∂τ_ρz/∂z + (σ_ρ - σ_θ)/ρ = 0;                                                     (73)

 ∂τ_zρ/∂ρ + ∂σ_z/∂z + τ_zρ/ρ = 0.

Для визначення зв'язку між зміщеннями та деформаціями по осі θ розглянемо лінійний елемент ab, який в результаті деформації зміщується в положення a'b' (рис.25). Відносна умовна деформація по осі θ складе

ε_θ = (a'b' – ab)/ab = [(ρ - u_ρ)dθ – ρdθ]/ρdθ = u_ρ/ρ.   

 

Рис.25. Деформації і зміщення вздовж осі

            θ в осесиметричній задачі

 

Зв'язок між зміщеннями та деформаціями по осях ρ і z і в площині ρ0z має вигляд, аналогічний рівнянню (69). Разом з попереднім рівнянням маємо

 

ε_ρ = ∂u_ρ/∂ρ, ε_θ = u_ρ/ρ, ε_z =∂u_z/∂z, γ_ρz = ∂u_z/∂ρ+ ∂u_ρ/∂z.                   (74)   

Система (74) являє собою геометричні рівняння для осесиметричної задачі. Вона містить 6 невідомих - 4 деформації і два зміщення і є статично невизначеної. Решта зсувні деформації, як і дотичні напруження, дорівнюють нулю.

Рівняння нерозривності деформації має вигляд

∂ε_θ/∂ρ = (ε_ρ - ε_θ)/ρ.                                                                            (75)

 

Рівномірна деформація

У тому випадку, коли функції зсувів лінійні, величина відносних умовних деформацій постійна, тому що перші похідні рівнянь прямих постійні. Деформація, яка відповідає таким функціям зсувів, називається рівномірною.

Для елементарного об'єму деформація завжди вважається рівномірною. Для реальних процесів обробки деформація може бути прийнята рівномірною за відсутності тертя або при нехтуванні його дією зважаючи малості (гладка поверхня інструменту, високо ефективна змащення). Іноді гіпотезу про відсутність тертя можна прийняти і в інших випадках, коли тертя слабко впливає на напружений і деформований стан. Таке припущення дозволяє значно спростити хід розв'язання і отримати результат, близький до дійсного.

При рівномірній деформації всі елементи тіла отримують однакову деформацію, рівну деформації всього деформівного обсягу. Площини і волокна при однорідній деформації не викривляються, геометрично подібні елементи зберігають подобу після деформації, хоча їх форма змінюється. Більш докладно характеристики деформації наведені в гл.4

Лекція 7

Зв'язок напружень та деформацій. Узагальнений закон пружності. Наслідки з узагальненого закону пружності.