Взаємозв'язок компонент напруженого і деформованого стану в об’ємі тіла. Зв'язок зміщень і деформацій.

У попередніх розділах розглядалися компоненти напружень і деформацій в елементарному об’ємі, причому вздовж ребер цього об’єму значення напруг і деформацій приймалися постійними. Однак відповідно до принципу локальності самоврівноважених навантажень при переході від одного елементарного об'єму до іншого всі параметри процесу повинні змінюватися (вони знижуються до нуля на границях фізичної зони деформації).

Під дією напруги точки в осередку деформації зміщуються відносно один одного. Кожна точка в результаті пластичної течії проходить певний шлях, який називають зсувом u (Рис.17).

Рис.17. Зміщення точ о к                         при осад ці	Рис.18. Зміна величини зсуву точок вздовж осі х

 

Розмірність зсувів - одиниця довжини (мм). Повне зміщення u можна розкласти на компоненти вздовж координатних осей (відповідно u_x, u_y, u_z). За правилом паралелепіпеда u²= u_x²+u_y²+u_z². Зміщення всіх точок деформівного об’єму є безперервні функції координат (тобто значення зміщень залежать від того, як точка розташована щодо координатних осей).

Для точки В, віддаленої від точки А на деякій відстані уздовж осі х (Рис.17), повне зміщення і його компоненти мають інше значення, ніж у точці А. Розглянемо зміну горизонтального зміщення u_x для точок, що лежать на прямій, паралельній осі х (у=пост., z=пост.). Нехай зміна зсувів u_x вздовж осі х задано якоюсь функцією u_x=φ(х) - Рис.1. Для точки А зсув вздовж осі х становить uxа, тоді для точки В, яка відступає від А вздовж осі х на нескінченно малу відстань dx, зсув u_xв буде відрізнятися від u_xа на нескінченно малу величину Δ.

З трикутника АВС випливає, що приріст Δ дорівнює dx tgα, де α - кут між горизонталлю і дотичною, проведеної в точці А до розглянутої кривої (оскільки розглядаються нескінченно малі величини, кривизною дуги АВ нехтуємо).Тангенс кута нахилу кривої чисельно дорівнює її першій похідній у цій точці.Оскільки зсув є функцією трьох координат, потрібно брати часткову похідну по тій координаті, уздовж якої точка В відстоїть від точки А, tgα=∂u_x/∂х. Отже, приріст зсуву становить Δ=(∂u_x/∂х)dx, а горизонтальне зміщення в точці В u_xв=u_xа(∂u_x/∂х)dx.

Аналогічно можна розрахувати зміну зміщень для інших компонент зміщень за об’ємом тіла. У загальному випадку компоненти зсуву в даній точці можна представити як суму зсуву в попередній точці і збільшення, яке дорівнює добутку часткову похідною зміщення по тій координаті, уздовж якої розташовані розглянуті точки, на відстань між ними. Цим відстанню є повний диференціал з даної координаті. Так, якщо точка В відстоїть від точки А за координатою, то прирощення зсуву становить (∂u_x/∂у)dу.

Часткова похідна характеризує інтенсивність зміни функції на ділянці між розглянутими точками. Якщо функція має екстремум або постійне значення, похідна і приріст функції дорівнюють нулю. Якщо функція зростає, похідна позитивна, якщо убуває - негативна. Аналогічним чином визначаються і зміни напружень при переході від точки до точки.

Взаємні зміщення точок обумовлюють формозмінення тіла. Тому між зміщеннями та деформаціями повинен існувати функціональний зв'язок. Встановимо вид зв'язку з цим. Розглянемо проекцію

 

Рис.19. До висновку зв'язку зміщень і деформацій

 

елементарного об’єму abcd на площину x0z (Рис.19). У результаті деформації об’єм зміщується в нове положення а'в'с'd'. Нехай зміщення точки а вздовж осі х в положення а' становить u_x. Тоді зміщення точки в у в' вздовж тієї ж осі складе u_x(∂u_x/∂_х)dx. Відносна лінійна деформація по осі х ε_х=(А'В''-ав)/ав. Відрізок А'В''знайдемо, віднімаючи u_x з відстані АВ (Рис.18): А'В''=dxu_x(∂ux/∂х)dx-ux= dx (∂ ux / ∂ х) dx. Оскільки ав = dx, маємо

ε_х = [dx u_x (∂ u_x/∂x)dx-u_x-dx]/dx=∂ u_x/∂х.

Аналогічно знайдемо відносну умовну деформацію вздовж осі z

ε_z = [dzu_z(∂u_z/∂z)dz-u_z-dz]/dz=∂u_z/∂z.

Проектуючи елементарний об'єм на площину х0у, аналогічно знайдемо

     ε_у = ∂u_у/ ∂ у.

Визначимо зсувні деформації в елементарному об’єму. Розглянемо кут зсуву α₁ (Рис.19). Внаслідок малості кута візьмемо чисельно близький до нього тангенс цього кута, tgα₁ = b'b''/ a'b''. Для цього визначимо зміщення точки b вздовж осі z. Якщо зсув точки a по цій осі в положення a'становить u_z, то зсув точки b з цієї ж осі в положення b' становить u_z(∂u_z/∂х)dx (диференціювання по координаті z, по якій розглядається взаємне положення точок a і b). Отжеtgα₁=[u_z+(∂u_z/∂х)dx-u_z]/[dx+(∂u_x/∂х)dx]=(∂u_z/∂х)/[1+(∂u_x/∂х)].

Оскільки (∂u_x/∂х) нескінченно мала величина, її значенням у порівнянні з одиницею можна знехтувати, тоді tgα₁=∂u_z/∂х.

Аналогічно для кута α₂ отримаємо

 tgα₂ = d'd''/a'd'' = [u_x + (∂u_x/∂z)dz – u_x]/[dz + (∂u_z/∂z)dz] = (∂u_x/∂z)/[1+ (∂u_z/∂z)] =

= ∂u_x/∂z.

Для малих кутів tgα ≈ α, повний зсув в площині xoz складе

             γ_xz = α₁ + α₂ = ∂u_z/∂х + ∂u_x/∂z.

Розглядаючи проекції елементарного об'єму в двох інших координатних площинах, отримаємо систему рівнянь, що пов'язують між собою зміщення і деформації

(63)

            ε_х = ∂u_x/∂х γ_xy = ∂u_y/∂x + ∂u_x/∂y

            ε_y = ∂u_y/∂y γ_yz = ∂u_z/∂y + ∂u_y/∂z                                      

            ε_z = ∂u_z/∂z γ_zx = ∂u_x/∂z + ∂u_z/∂x

Система (4.1) з шести рівнянь містить 9 невідомих - 6 компонент деформацій і 3 компоненти зміщень і є статично невизначеною (нагадаємо, що вирішити систему, значить знайти залежності деформацій і зсувів від координат x, y, z). Рівняння (4.1) називають геометричним и або рівняннями Коши.

 

Нерозривність деформацій

Компоненти лінійних і зсувних деформацій не можуть виникати незалежно один від одного. Для визначення залежності між ними розглянемо перші два рівняння системи (63). Перше з них продиференціюємо двічі по ∂y, друге - двічі по∂x

∂²ε_х/∂у² = ∂³u_x/∂х∂у²,       ∂²ε_у/∂х² = ∂³u_у/∂у∂х².

Складаємо ці рівняння почленно

∂²ε_х/∂у² + ∂²ε_у/∂х² = ∂³u_x/∂х∂у² + ∂³u_у/∂у∂х² = ∂²/∂х∂у [(∂u_x/∂у + ∂u_у/∂х)]

(Результат диференціювання не залежить від того, в якій послідовності воно проводиться).

Вираз в дужках вказано деформацію зсуву γxy у площині хоу (див. (63)). Розглядаючи попарно інші рівняння системи (63), отримуємо рівняння зв'язку між лінійними і зсувними деформаціями в кожній з координатних площин

               ∂²ε_х/∂у² + ∂²ε_у/∂х² = ∂² γ_xy /∂х∂у

                ∂²ε_y/∂z² + ∂²ε_z/∂y² = ∂² γ_yz /∂y∂z                                  (64)

                ∂²ε_z/∂х² + ∂²ε_x/∂z² = ∂² γ_zx /∂z∂x

З рівнянь (64) випливає, що дві лінійні деформації визначають зрушувальну деформацію у цій площині. За допомогою інших перетворень можна отримати зв'язок між кожною з лінійних деформацій і трьома зрушеннями

(∂²/∂х)(∂γ_zx /∂y + ∂γ_xy /∂z - ∂γ_yz /∂x) = 2∂²ε_х/∂у∂z

(∂²/∂y)(∂γ_xy /∂z + ∂γ_yz /∂x - ∂γ_zx /∂y) = 2∂²ε_y/∂z∂x                            (65)

(∂²/∂z)(∂γ_yz /∂x + ∂γ_zx /∂y - ∂γ_xy /∂z) = 2∂²ε_z/∂x∂y

Із системи (65) випливає, що три зсувні деформації визначають і всі три лінійні деформації. Рівняння (64) і (65) називають рівняннями нерозривності, або рівняннями спільності. Вони є математичним відображенням умови суцільності тіл, його безперервності до і після деформації. Ці рівняння не є новими, так як отримані перетворенням системи (63) і використовуються або замість рівнянь (63) при вирішенні пластичних задач, або для контролю отриманих рішень.

У рівняннях (64) і (65) можна простежити енергетичний сенс, який полягає в тому, що принцип нерозривності деформації та суцільності тіла відповідає вимозі витрати мінімальної енергії, що витрачається на деформацію. Для порушення суцільності (появи тріщин, поділу тіла на частини) потрібна велика витрата енергії, ніж на формозмінення без руйнування. Принцип мінімуму енергії деформації визначає протягом металу у всіх процесах обробки тиском. Формозміна пластично деформованих тіл відбувається таким чином, що повна енергія (робота) деформації, що витрачається в кожен момент часу, мінімальна для даних умов (форми інструменту, стану поверхонь інструмента, схеми напруженого стану та ін.) У той же час відповідно до постулату Друккеру прирощення роботи пластичної деформації в кожен момент часу має максимальне значення в порівнянні з будь-яким іншим шляхом деформування за умови зміцнення металу в результаті деформації.

 

Лекція 6

Диференціальні рівняння рівноваги в прямокутній системі координат. Плоскі задачі. Осесиметрична за дача. Рівномірна деформація