Деформований стан точки. Компоненти деформації. Тензор малої деформації.

Зміна форми частинки чи тіла (деформація) може бути представлено компонентами, що характеризують зміна розмірів вздовж координатних осей і зміна кутів між ребрами на координатних площадках. Для елементарного паралелепіпеда є шість компонентів деформації - три лінійні (зміна довжини ребер вздовж трьох осей) і три зсувних (зміна кутів між ребрами на трьох координатних площадках; зсувні деформації іноді називають кутовими). На Рис.13 вказані ці компоненти деформації.

Рис. 3.13 Компоненти деформації

 

Лінійні деформації характеризують абсолютними і відносними показниками. Показники абсолютної деформації по кожній з координатних осей, мм

                 Δl = l₁ - l₀ – вздовж осі х;                                         (47)

                         Δb = b₁ - b₀ – вздовж осі у;                                         (48)

                                         Δh = h₁ - h₀ – вздовж осі z;                                                                   (49)

(знак Δ позначає зміну величини, а не окрему букву).

    Тут l₀, b₀, h₀ – начальні, l₁, b₁, h₁ – кінцеві розміри елементарного об’єму вздовж осей х, y, z відповідно. Абсолютні показники недостатні для характеристики деформації, вплив якої сильно залежить від початкових розмірів. Більш поширені відносні показники деформації. Їх розраховують щодо початкових розмірів, хоча можна було б віднести абсолютні деформації і до кінцевих розмірів. Оскільки знаменник показника теоретично не обгрунтований, їх називають відносними умовними деформаціями і позначають буквою ε з індексом тієї осі, вздовж якої відбувається зміна розміру:

    ε_x = Δl/l₀, ε_y = Δb/b₀ ,  ε_z = Δh/h₀.                                                                        (50)

Відносні деформації - безрозмірні величини.

При збільшенні довжини ребра деформацію вважають позитивною, при зменшенні - негативною. Позитивному зрушенню відповідає зменшення кута між позитивними напрямками осей координат. При лінійних деформаціях пружно змінюється об’єм і форма частки (пружно або пластично), при зсувних змінюється тільки форма. На головних площадках зрушення відсутні.

Якщо розглянути куб з розмірами ребер, рівними одиниці, то зміна об’єму в результаті деформації θ складе:

θ = (1+ ε_x) (1 + ε_у) (1 + ε_z) – 1 = 1 + ε_x + ε_y + ε_z + ε_xε_y + ε_yε_z+ ε_zε_x + ε_xε_yε_z – 1=

          = ε_x + ε_y + ε_z + ε_xε_y + ε_yε_z+ ε_zε_x + ε_xε_yε_z.

Враховуючи, що розглядаються малі деформації, можна знехтувати добутком показників. Тоді зміна об’єму становитиме

                   θ = ε_x + ε_y + ε_z.

Відповідно до гіпотези суцільності об'єм при деформації не змінюється, отже

                   ε_x + ε_y + ε_z = 0.                                                           (51)

Сума показників, взятих уздовж кожної осі, дорівнює нулю, знак однієї з деформацій завжди протилежний знаку двох інших. Одні ребра подовжуються, інші при цьому коротшають незалежно від знаку і схеми дії прикладених напружень.

Для позначення зсувних деформацій γ на площадкау потрібно використовувати два індекси. Перший показує, від якої осі відхилилося ребро, другий - у напрямку якої осі (Рис.14). Так, зрушення на Рис.14, а слід позначити γ_xz, а такий же за величиною зрушення, показаний на Рис.14,б

 - γ_zx.

Рис.14. Представлення зсувних деформацій

 

Можна прийняти і протилежний підхід до індексації зрушень, тоді треба змінити і порядок розташування індексів дотичних напружень; прийнята система індексації повинна дотримуватися у всіх випадках.

Найбільш зручно розглядати тіж зрушення на даній площадці у вигляді суми двох половинних кутів (Рис.14, в)

             γ_xz = γ_zx = γ_xz/2 + γ_zx/2.

Завдяки такому підходу отримуємо 9 компонент деформації - три лінійних і 6 зсувних. Лінійні деформації відповідають нормальним напруженням, зсувні - дотичним, всі вони мають однакові між собою індекси, а зрушення попарно рівні між собою, як і дотичні напруги з однаковими індексами. Розташуємо всі компоненти деформації у вигляді таблиці, аналогічно тензору напружень.

    T_ε =                                                          (52)

Ця таблиця представляє собою симетричний тензор малих деформацій другого рангу. Так як тензор симетричний, можна використовувати спрощену запис 

           T_ε =                                                 (52, а)