І нваріанти тензора напружень

Якщо для однієї і тієї ж матеріальної точки, що знаходиться в напруженому стані, провести кілька систем координат, то компоненти тензора напружень щоразу будуть брати нові чисельні значення. Однак напружений стан не залежить від вибору системи координат, отже, сам тензор змінитися не повинен. Очевидно, якісь математичні співвідношення компонент тензора повинні залишатися незмінними (інваріантними).

Для визначення таких співвідношень розглянемо в довільній системі координат одну з головних площадкаів в якості похилій. На цьому площадкау діє тільки одне головне напруга σ, отже, воно є і повною напругою. Його проекції на довільні осі складуть

S_x=σa_x, S_y=σa_y, S_z=σa_z.

Користуючись співвідношеннями (9), можна записати

(20)

 

 

σa_x = σ_хa_x + τ_xya_y  + τ_xza_z;

σa_y = τ_yxa_x  + σ_ya_y + τ_xza_z;

σa_z  = τ_zxa_x + τ_zya_y  + σ_za_z.

чи

(20,a)

(σ_x – σ)a_x + τ_xya_y  + τ_xza_z = 0;

τ_yxa_x + (σ_y – σ)a_y + τ_yza_z = 0;

τ_zxa_x + τ_zya_y  + (σ_z – σ)a_z = 0.

Отримали лінійну однорідну систему рівнянь. Так як всі напрямні косинуси не можуть одночасно дорівнювати нулю, то визначник системи повинен бути рівним нулю, тобто 

             = 0.                                (21)

 

Розгортаючи визначник в рядок, після перетворень отримаємо

σ³  - σ²(σ_x + σ_y + σ_z) + σ(σ_xσ_y + σ_yσ_z +σ_zσ_x - τ_xy²  - τ_yz² – τ_zx²) –

                 - (σ_xσ_yσ_z + 2τ_xyτ_yzτ_zx - σ_xτ_yz² - σ_yτ_zx² – σ_zτ_xy²) = 0.              (22)

Кубічне рівняння (22) має три корені, кожен з яких дає одне з трьох значень головних напружень σ. Хоча компоненти тензора змінні, корені рівняння (22) повинні залишатися незмінними, оскільки головні напруги мають єдине значення для даного напруженого стану. Однозначність рішення забезпечується в тому випадку, якщо коефіцієнти рівняння (22) будуть постійними при перетвореннях (поворотах) системи координат. Інакше кажучи, вирази, які стоять у квадратних дужках, повинні зберігати постійне значення при поворотах системи координат. Співвідношення між компонентами напружень, які не змінюються при повороті системи координат, називають інваріантами. Відповідно до коефіцієнтів рівняння (22) розрізняють

перший, або лінійний інваріант:

    σ_ін1 = σ_x + σ_y + σ_z  = σ₁ + σ₂ + σ₃ = пост₁                                                                   (23)

    другий, чи квадратичный инвариант:

σ_ін2 = σ_xσ_y + σ_yσ_z+σ_zσ_x-τ_xy²-τ_yz²–τ_zx²= σ₁σ_y2 + σ₂σ_з +σ₃σ₁ = пост₂ .            (24)

    третий, чи кубічний інваріант:

    σ_ін3 = σ_xσ_yσ_z +2τ_xyτ_yzτ_zx - σ_xτ_yz² - σ_yτ_zx² – σ_zτ_xy² = σ₁σ₂σ₃ = пост₃.   (25)

    Інваріанти (23) - (25) записані спочатку в довільній, а потім у головній системах координат. При переході до головної системи дотичні компоненти напружень звертаються в нулі, а літерні індекси замінюємо числами.

Інваріанти - найбільш важливі характеристики напруженого стану. Вони дозволяють визначити, чи належать два тензора з різними компонентами, до одного й того ж або до різних напружених станів. За допомогою інваріантів вираження, отриманих у головних осях, можна перетворити для довільних осей. Це дозволяє вирішувати задача в головних осях, що значно спрощує викладення.

Вирішивши рівняння системи (20) спільно з рівнянням (5), можна знайти значення напрямних косинусів головних площадкаів.

 

Головні дотичні напруги

Нормальні напруження біля матеріальної точки теоретично не обмежені за абсолютною величиною і за поєднання знаків (має лише дотримуватися певне співвідношення між компонентами напружень і механічними властивостями оброблюваного матеріалу, як буде показано нижче). Визначимо, яким може бути найбільше значення дотичних напружень. Для цього спочатку треба визначити площадкаи, на яких значення дотичних напружень екстремальні (максимальні або мінімальні). На головних площадках дотичні напруження відсутні, але з'являються на похилих площадках всередині головного куба. Очевидно, чим більше видалена похила площадка від головних площадок, тим більше величина діючих на ній дотичних напружень.

Досліджуємо на екстремум рівняння для розрахунку дотичних напружень у головних осях (17)

    τ²  = σ₁²a₁² + σ₂²a₂² + σ₃²a₃² – (σ₁a₁² + σ₂a₂² + σ₃a₃²)² .                                  (17)

    Висловимо один з направляючих косинусів через два інших, використовуючи рівняння (5)

а₃² = 1 – а₁²  - а₂² і підставимо його в рівняння (17)

τ² = σ₁²a₁² + σ₂²a₂² + σ₃²(1 – а₁² - а₂²) – [σ₁a₁² + σ₂a₂² + σ₃(1 – а₁² - а₂²)]². (26)

    Для визначення значень напрямних косинусів площадкаів, на яких діють екстремальні дотичні напруги, необхідно першу похідну рівняння (26) прирівняти нулю. Оскільки положення таких площадок визначається трьома напрямними косинусами, необхідно розглянути часткові похідні по кожному з них.

Візьмемо часткову похідну рівняння (26) за а₁ і прирівняємо нулю

(∂τ²/∂а₁) = 2σ₁²a₁ - 2σ₃²a₁ - 2 [σ₁a₁² + σ₂a₂² + σ₃(1 – а₁²  - а₂²)](2σ₁а₁ – 2σ₃а₃) = 0.

    Скорочуючи на 2(σ₁ – σ₃) і виносячи а₁ за дужки, отримуємо

            (σ₁ + σ₃ - 2σ₁a₁² - 2σ₂a₂² - 2σ₃ + 2σ₃a₁² + 2σ₃a₂²)а₁ + 0.

    Скорочувати на а₁ не можна, так як загубиться корінь а₁ = 0. Групуємо, міняємо знак і скорочуємо на 2

    [(σ₁ - σ₃)a₁² + (σ₂ - σ₃)a₂² – (σ₁ - σ₃)/2]a₁ = 0.                                  (27)

    Диференціюючи рівняння (26) за а₂, після аналогічних перетворень отримуємо

    [(σ₁ - σ₃)a₁² + (σ₂ - σ₃)a₂² – (σ₂ - σ₃)/2]a₂ = 0.                                  (28)

Якщо в рівняннях (27) і (28) покласти а₁=0 і а₂=0, то, використовуючи (5), знайдемо першу групу напрямних косинусів: а₁=0, а₂=0 і а₃=±1. Отримаємо площадку, нормаль до якої утворює прямі кути з двома осями і паралельна третьій осі. Це головна координатна площадка 102 (Рис.9), нормаллю до неї є вісь 3. На ній дотичні напруження відсутні (мінімальні). Виключаючи з рівняння (26) інші напрямні косинуси і проводячи аналогічні перетворення, отримаємо ще дві групи напрямних косинусів: а₁=0, а₂=±1, а₃=0 і а₁=±1, а₂=0, а₃=0, що відповідають двом іншим головним площадкам

 

Рис. 3.9. Г оловна площадка 102	Рис.10. Д іагональна площадка 23

 

Розглянемо інші групи площадок. Покладемо а₁=0, а₂≠0. Тоді з рівняння (28) маємо

 [(σ₁ - σ₃)0 + (σ₂ - σ₃)a₂² – (σ₂ - σ₃)/2] = 0; (σ₂ - σ₃)a₂² = (σ₂ - σ₃)/2; a₂²=½, a₂=± . З рівняння (5) отримуємо значення а₃=± . Таке значення косинусу відповідає куту 45º. Отримали групу напрямних косинусів а₁=0, а₂=± , а₃=± . Отже шукана площадка проходить під кутом 45º до осей 2 і 3 та паралельна осі 1 (перпендикуляр до площадкаа проходить під прямим кутом до першої осі, Рис.10). Площадки, що проходять через діагоналі паралельних граней головного куба, називають діагональними і позначають індексами тих двох осей, до яких вона проходить під кутом 45º. У даному випадку це площадка 23. Аналогічно знайдемо ще дві групи напрямних косинусів: а₁=± , а₂=0, а₃=±  і а₁=± , а₂=± , а₃=0. Ці групи характеризують дві інші площадки - 31 і 12.

У таблиці 3.1 приведені всі 6 груп напрямних косинусів, що визначають положення площадкаів з екстремальними значеннями дотичних напружень. Перші три групи визначають головні площадки, на яких дотичні напруги відсутні (мінімальні), інші три групи - діагональні площадкаи, на яких дотичні напруги досягають максимальних значень (Рис.11). Для напруженого стану, заданого еліпсоїдом обертання, дотичні напруги на двох діагональних площадках також дорівнюють нулю.

Дотичні напруги на діагональних площадках називають головними дотичними напруженнями.

 

Рис3.11. Діагональні площадкаи

Таблиця 3.1

    Значення напрямних косинусів екстремальних площадок

напрямні косинуси	Групи значень напрямних косинусів
	1	2	3	4	5	6
а1	0	0	±1	0	±	0
а2	0	±1	0	±	0	±
а3	±1	0	0	±	±	±

 

Знайдемо величину головних дотичних напружень, підставляючи в рівняння (17) значення напрямних косинусів, взятих з табл. 3.1:

τ₁₂ = (σ₁ – σ₂)/2, τ₂₃ = (σ₂ – σ₃)/2, τ₃₁ = (σ₃ – σ₁)/2.                             (29)

Індекси дотичного напруження показують, до яких осей площадка його дії нахилена під кутом 45º (див. Рис.10). Чисельно головні дотичні напруження дорівнюють половині різниці головних нормальних напруг. Найбільше за абсолютною величиною дотичне напруження дорівнює половині різниці екстремальних головних напруг σ₁ и σ₃, тобто

                             τ_мах = τ₃₁ = ±(σ₃ – σ₁)/2.

З рівнянь (29) випливає, що сума трьох головних дотичних напружень дорівнює нулю:

                                  τ₁₂ + τ₂₃ + τ₃₁ = 0,                                    (30)

отже, знаки двох напруг протилежні знаку третього. Якщо σ₁=σ₂=σ₃, то всі дотичні напруження дорівнюють нулю (раніше було відзначено, що при кульовому напруженому стані всі площадки - головні). Визначимо величину нормальних напружень на діагональних площадках, підставляючи значення напрямних косинусів з табл. 3.1 в рівняння (16). Отримаємо:

    σ₁₂ = (σ₁ + σ₂)/2; σ₂₃ = (σ₂ + σ₃)/2; σ₃₁ = (σ₃ + σ₁)/2,              (31)

то є нормальні напруги на діагональних площадках рівні напівсумі відповідних головних нормальних напружень.