Інтенсивність дотичних напружень і узагальнен а напруга

Вище було зазначено, що деформація здійснюється під дією дотичних напружень. Величина τ_окт є усередненою характеристикою всіх дотичних напружень для даного напруженого стану. Вона дорівнює середньому квадратичному значенню дотичних напружень, обчисленому на поверхні сфери, навколо елементарного об'єму. Позитивну скалярну величину, чисельно рівну октаедричному дотичному напруженню, називають інтенсивністю дотичних напружень і позначають τ_и (іноді її позначають Т).

У головній системі координат

Τ_и  = (1/3) [(σ₁ – σ₂)² + (σ₂ – σ₃)² + (σ₃ – σ₁)²]^0,5.                                            (42)

У довільній системі координат

Τ_и = (1/3)[(σ_x – σ_y)² + (σ_y – σ_z)² + (σ_z – σ_x)² + 6(τ_xy² + τ_yz² +  τ_zx²)]^0,5. (43)

    Іноді інтенсивність дотичних напружень визначають за висловом, що відрізняється від (42) чисельним множником

      τ_и  = () [(σ₁ – σ₂)² + (σ₂ – σ₃)² + (σ₃ – σ₁)²]^0,5.                      (44)

Якщо перед радикалом варто множник, величину називають узагальненою напругою або інтенсивністю напруг σ_i

У головній системі координат

      σ_и  = ()[(σ₁ – σ₂)² + (σ₂ – σ₃)² + (σ₃ – σ₁)²]^0,5.                                        (45)

У довільній системі координат

σ_и  = ()[(σ_x – σ_y)² + (σ_y – σ_z)² +(σ_z – σ_x)² + 6(τ_xy² + τ_yz² +  τ_zx²]^0,5. (45,а)

Значення σ_і і τ_і - позитивні інваріантні скалярні величини, що дозволяють одним числом характеризувати будь-напружений стан, тому вони мають велике значення в теорії пластичності. Нагадаємо, що обидві ці величини пропорційні дотичній октаедричній напрузі і або рівні йому, або відрізняються числовими множниками. Ці множники вибираються таким чином, щоб спростити запис отриманих надалі результатів.

 

Діаграми Мора.

Діаграми напруг за О.Мором дозволяють у графічному вигляді представити на площині всю сукупність напруг, що діють на будь-яких площадках (напружений стан точки). Обгрунтуємо їх будову, використовуючи такі формальні перетворення у головних осях.

Сума квадратів нормального і дотичного напруг дають повну напругу на площадку

                     σ² + τ² = σ₁²а₁² + σ₂²а₂² + σ₃²а₃².                            (а)

Нормальное напруження на площадці

                      σ = σ₁а₁² + σ₂а₂² + σ₃а₃².                                        (б)

Обидві частини рівняння (а) помножимо на (σ₂ + σ₃) і почленно віднімемо з рівняння (б). До лівої і правої частини отриманого рівняння додамо ліву і праву частини рівняння для напрямних косинусів

                          1 = а₁² + а₁² + а₁² ,                                                (1)

Попередньо помноживши обидві частини рівняння (а) на σ₂σ₃. Отримаємо:

σ2 + τ²  - σ(σ₂ + σ₃) + σ₂σ₃ = σ₁²а₁² + σ₂²а₂² + σ₃²а₃² –

     - (σ₂ + σ₃)(σ₁а₁² + σ₂а₂² + σ₃а₃²) + σ₂σ₃(а₁² + а₁² + а₁²)                       (в)

Додаючи до обох частин рівності (у)[(σ₂+σ₃)/2]², після простих перетворень отримаємо

  [σ – (σ₂ +σ₃)/2]² + τ² = [(σ₂ - σ₃)/2]² + а₁²(σ₁ - σ₃) (σ₁ – σ₂).           (46, а)

       Розглянемо ці перетворення.

Сума квадратів нормального і дотичного напружень на похилій площадці дає квадрат повної напруги

       σ² + τ² = σ₁²а₁² + σ₂²а₂² + σ₃²а₃²                                                                                                                             (а)

Возмем рівняння для розрахунку нормального напруження на похилій площадці (16)

        σ = σ₁а₁² + σ₂а₂² + σ₃а₃²

та помножимо його на (σ₂ + σ₃); отримане рівняння (б)

       σ(σ₂ + σ₃) = σ₁а₁²(σ₂ + σ₃) + σ₂а₂²(σ₂ + σ₃) + σ₃а₃²(σ₂ + σ₃)                                       (б)

           почленно віднімемо з рівняння (а)           

σ² + τ²  - σ(σ₂ + σ₃) = σ₁²а₁² + σ₂²а₂² + σ₃²а₃² – σ₁а₁²(σ₂ σ₃) + σ₂а₂²(σ₂ + σ₃) + σ₃а₃²(σ₂ + σ₃). (в)

       Повернемося до рівняння (5)

       1 = а₁²+ а₂²+ а₃².

           Помножимо його на σ₂σ₃ і почленно додамо до рівняння (в)

         σ² + τ²  - σ(σ₂ + σ₃) + σ₂σ₃= σ₁²а₁² + σ₂²а₂² + σ₃²а₃² – σ₁а₁²(σ₂σ₃) -

                  - σ₂а₂²(σ₂ + σ₃) - σ₃а₃²(σ₂ + σ₃) + σ₂σ₃(а₁²+ а₂²+ а₃²).                                    (г)

До обох частин рівняння (г) додамо складова [(σ₂+σ₃)/2]², після деяких перестановок доданків отримуємо

       σ² - σ(σ₂ + σ₃) + σ₂σ₃ +  [(σ₂ + σ₃)/2]² + τ² = σ₁²а₁² + σ₂²а₂² + σ₃²а₃² – σ₁а₁²(σ₂ + σ₃) -

                  - σ₂а₂²(σ₂ + σ₃) - σ₃а₃²(σ₂ + σ₃) + σ₂σ₃(а₁²+ а₂²+ а₃²) + [(σ₂ + σ₃)/2]².

Після розкриття дужок, і перенесення σ₂σ₃ в праву частину маємо

             σ² - σ(σ₂ + σ₃) +  [(σ₂ + σ₃)/2]² + τ² = - σ₂σ₃ + σ₁²а₁² + σ₂²а₂² + σ₃²а₃² -

– σ₁σ₂а₁²  – σ₁σ₃а₁² – σ₂²а₂² – σ₂σ₃а₂² - σ₂σ₃а₃²- σ₃²а₃² + σ₂σ₃а₁² + σ₂σ₃а₂² + σ₂σ₃а₃² +

– + [(σ₂ + σ₃)/2]².

Три перших доданків лівій частині представляють собою квадрат різниці

  [σ - (σ₂ + σ₃)/2]², права частина після перетворень дорівнює

  σ₁²а₁² – σ₁σ₂а₁²  – σ₁σ₃а₁² + σ₂σ₃а₁² + [(σ₂ - σ₃)/2]² =  [(σ₂ - σ₃)/2]² + а₁²(σ₁ - σ₃) (σ₁ – σ₂),

остаточно [σ - (σ₂ + σ₃)/2]² + τ² =  [(σ₂ - σ₃)/2]² + а₁²(σ₁ - σ₃) (σ₁ – σ₂), тобто отримали рівняння (46, а).

    Після аналогічних перетворень отримаємо ще два рівняння

[σ – (σ₃ +σ₁)/2]² + τ² = [(σ₃ – σ₁)/2]² + а₂²(σ₂ – σ₁) (σ₂ – σ₃).    (46, б)

[σ – (σ₁ +σ₂)/2]² + τ² = [(σ₁ – σ₂)/2]² + а₃²(σ₃ – σ₂) (σ₃ – σ₁).    (3,46, в)

    З аналітичної геометрії відомо рівняння кола

                  (x – x₀)² + (y – y₀)² = R².

    Порівняння його з рівняннями (46) показує, що вони також описують кола, центри яких розташовані на осі абсцис і відстоять від початку координат на (σ +σ₃)/2, (σ +σ₃)/2, (σ +σ₃)/2 відповідно для рівнянь (46,а), (46,б), (46,в). Праві частини цих рівнянь, що представляють собою квадрат радіусу кола, містять змінне значення одного з направляючих косинусів. Тому рівняння (46) описують сімейства концентричних кіл. Визначимо напрями зміни розмірів цих кіл.

У випадку, якщо спрямовує косинус (окремо) дорівнює нулю, радіуси кіл, описаних рівняннями (46) дорівнюють полуразность відповідних головних напруг: R₁=(σ₂–σ₃)/2, R₂=(σ₁–σ₃)/2,  R₃=(σ₁–σ₂)/2. У рівняннях (а) і (в) співмножники направляючого косинуса мають однакові знаки (нагадаємо умова індексації головних напруг: σ₁≥σ₂≥σ₃), в рівнянні (б) - протилежні. Отже, радіуси кіл (а) і (в) при збільшенні значень напрямних косинусів будуть збільшуватися, а радіуси кіл (б) зменшуватися.

Проводячи окружності по рівняннях (46) в координатах σ-τ при нульових значеннях напрямних косинусів, отримуємо діаграму Мора (Рис.12). Радіуси кіл чисельно рівні головним дотичним напруженням. Їх центри відстоять від осі τ на відстанях (σ₂+σ₃)/2, (σ₃+σ₁)/2, (σ₁+σ₂)/2. У залежності від знаків головних напружень діаграма може мати різні положення щодо осі τ. Пари кореспондуються значення σ і τ лежать або на самих колах, або всередині заштрихованого криволінійного трикутника, обмежених проведеними колами (наприклад, для точки Р). Поза цього трикутника напружень немає. При необхідності шляхом геометричних побудов можна визначити нормальне і дотичне напруження на похилій площадці за заданими кутах нахилу або вирішити зворотну задачу. На рис. 3.12 вказані також кути нахилу α і значення напрямних косинусів для характерних точок діаграми Мора.

            Рис. 3.12. Диаграмма Мора

Лекція 4

Деформований стан точки. Компоненти деформації. Тензор мал ої деформації. Деформації в околицях матеріальної точки. Швидкість деформації. Схеми дії напруг і деформацій