Деформації в оточенн і матеріальної точки

Під терміном «оточенні» розуміємо сукупність всіх площадок в елементарному кубі.

Компоненти тензорів напружень та деформацій з однаковими індексами, найбільш тісно пов'язані один з одним, стоять на однакових позиціях. Подоба тензорів напружень Т_σ і деформацій Т_ε веде до повної аналогії між математичними розрахунками взаємозв'язку напруг і деформацій. Всі формули, отримані для розрахунку напружень на похилих площадках, можна використовувати для розрахунку деформації, якщо замінити в них нормальні напруги на лінійні умовні деформації, а дотичні напруги - половинними зрушеннями з тими ж індексами.

У кожній точці існують головні осі деформації (в ізотропному тілі вони збігаються з головними осями напруг), вздовж яких ребра відчувають тільки лінійні деформації і не викривляються (зрушення відсутні). Деформований стан характеризується трьома інваріантами деформацій (у довільній і головною системах координат)

            ε_ин1= ε_x + ε_y + ε_z = ε₁ + ε₂ + ε₃ = 0.                                            (53)

 ε _ин2 = ε_xε_y  + ε_yε_z + ε_zε_x – (γ_xy² + γ_yz² + γ_zx²)/4 = ε₁ε₂  + ε₂ε₃ + ε₃ε₁ = пост₂. (54)

  ε_ин3 = ε_xε_yε_z + γ_xyγ_yzγ_zx/4  - (σ_xγ_yz²  + σ_yγ_zx² + σ_zγ_xy)/4 = ε₁ε₂ ε₃ = пост₃. (55)

Індекси головних лінійних деформацій, як і напруженням, присвоюють за умовою ε₁≥ε₂≥ε₃. Так як найбільшому за абсолютною величиною стискаючій (негативній) напрузі σ₃ відповідає максимальна деформація ε₁, то перша і третя осі напруг і деформацій можуть не збігатися.

Лінійна деформація, нормальна до октаедричній площадці, є середньою деформацією і дорівнює нулю:

    ε_окт = (ε_x + ε_y + ε_z)/3 = (ε₁ + ε₂ + ε₃)/3 = ε _ин1/3 = ε _ср.                      (56)

Зсувні деформації на октаедричній площадці в головних осях

    γ_окт = (2/3)[(ε ₁ – ε₂)² + (ε ₂ – ε₃)² + (ε ₃ – ε₁)²]^0,5.                              (57)

    У довільній системі координат

 γ_окт = (2/3)[(ε _x – ε_y)² + (ε _y – ε_z)² + (ε _z – ε_x)² + (3/2)(γ_xy² + γ_yz² + γ_zx²)]^0,5. (57, a)

    Для головних зрушень на діагональних площадках за аналогією з (29) маємо

          γ₁₂ = ε₁ – ε₂ , γ₂₃ = ε₂ – ε₃, γ₃₁ = ε₃ – ε₁.                                                     (58)

    Максимальний зсув γ_мах = ± (ε₃ – ε₁).

    Інтенсивність деформації виражається пропорційно октаедричних зрушень

                        ε_и = [3/(2 )(1 + μ)] γ_окт.                                                                           (59)

    Таким чином, під інтенсивністю деформації розуміють вираз

ε_и = [ /2(1 + μ)][(ε _x – ε_y)² + (ε _y – ε_z)² + (ε _z – ε_x)² + (3/2)(γ_xy² + γ_yz² + γ_zx²)]^0,5 = = [ /2(1 + μ)][(ε ₁ – ε₂)² + (ε ₂ – ε₃)² + (ε ₃ – ε₁)²]^0,5.                         (60)

    Тут μ - коефіцієнт Пуассона або коефіцієнт поперечної дефрмаціі (див. 5.1).

Від інтенсивності деформації слід відрізняти інтенсивність зсувної деформації γ_i (позначають також Г), що має інший чисельний коефіцієнт, рівний для пластичної деформації (2/3)^0,5

γ_и = (2/3)^0,5[(ε _x – ε_y)² + (ε _y – ε_z)² + (ε _z – ε_x)² + (3/2)(γ_xy² + γ_yz² + γ_zx²)]^0,5 =

       = (2/3)^0,5[(ε ₁ – ε₂)² + (ε ₂ – ε₃)² + (ε ₃ – ε₁)²]^0,5.                              (61)

Тензор деформації, як і тензор напружень, можна розкласти на кульовий тензор і девіатор

                            Т_ε = Т_ε^º + D_ε                                                               (62)

    Тут      Т_ε^º  = , D_ε = .  

    Очевидно, що перший інваріант девіатора деформації, який характеризує зміну об’єму в оточенні матеріальної точки, дорівнює нулю (сума компонент, що стоять по великій діагоналі тензора)

    (ε_x - ε_ср) + (ε_y - ε_ср) + (ε_z - ε_ср) = ε_x + ε_y + ε_z = 0.

    Девіатор деформації характеризує зміну форми тіла. При пластичній деформації девіатор збігається з тензором деформації, оскільки кульовий тензор деформації завжди дорівнює нулю внаслідок сталості об’єму. При пружній деформації об’єм навантаженого тіла змінюється і кульової тензор відмінний від нуля. Розкладання повного тензора деформації на кульову і девіаторную частини полегшує аналіз закономірностей деформації.

Швидкість деформації

Для більшості процесів формозміни важливі не тільки напружений і деформований стан, але і швидкості зміни параметрів процесу в часі, особливо деформацій. Швидкістю деформації називають зміну компонент відносної деформації в одиницю часу t. Для змінних процесів знаходять перші похідні деформації за часом

                           ξ = dε/dt.

    Аналогічно знаходяться компоненти швидкості зсувних деформацій Розмірність швидкості деформації - секунда в мінус першого ступеня (безрозмірна величина ділиться на час, с^-1). Компоненти швидкості деформації утворюють симетричний тензор другого рангу, за зовнішнім виглядом аналогічний тензора деформації, що включає перші похідні за часом всіх дев'яти компонент деформації.

Для швидкостей деформації можна виділити головні осі, за якими діють головні швидкості лінійних деформацій, а швидкості зрушень відсутні. За формулами, аналогічним формулами (53) - (55), знаходять інваріанти тензора швидкостей деформації, за іншими - компоненти швидкості деформації на октаедричній і діагональних площадках, значення інтенсивностей швидкості деформації ξ_і. Тензор швидкості деформації можна розкласти на кульовий тензор і девіатор швидкості деформації.

Для рівномірно протікають процесів швидкості деформації визначаються за умовою  ξ_i=ε_i/t.

    У ряді випадків задачі теорії пластичності вирішуються з використанням швидкостей зміни компонент напружень за часом. У цьому випадку тензор швидкостей напруг аналогічний тензору напружень, але включає перші похідні дев'яти компонент напружень за часом. Всі отримані раніше співвідношення можна за аналогією уявити для швидкостей напруг.