Наслідки з узагальненого закону пружності

Перетворимо три перші рівняння системи (5.2). Підсумуємо ліві і праві частини всіх трьох рівнянь

    Еε_х = σ_x  - μσ_y - μσ_z             

      Еε_y = σ_y  - μσ_z + σ_x         

 Еε _z = σ_z  - μ σ_x - μ σ_y

Е(ε_х + ε_y + ε_z) = (σ_x + σ_y + σ_z) - 2μ(σ_x + σ_y + σ_z).

Так як ε_х + ε_хy + ε_z = 3ε_ср, а σ_x + σ_y + σ_z = 3σ_ср, то 3Еε_ср = 3σ_ср(1 - 2μ),

Звідки

    ε_ср = σ_ср(1 - 2μ)/Е (5.3), σ_ср = Еε_ср/(1 - 2μ).                (79)

ε_х ε_хy ε_z = 3ε_ср, а σ_x σ_y σ_z = 3σ_ср, то 3Еε_ср = 3σ_ср (1 - 2μ),

ε_ср = σ_ср (1 - 2μ) / Е (5.3), σ_ср = Еε_ср / (1 - 2μ).                            (79)

З рівняння (79) випливає, що середня напруга пропорційно середньої деформації. Цей вираз можна записати, використовуючи кульові тензори напруг і деформацій

                     Т_σ^о = ЕТ_ε^о /(1 - 2μ),                                                 (80)

тобто кульовий тензор напружень пропорційний кульовому тензору деформацій. Сума трьох відносних деформацій, пропорційна середньій деформації, являє собою об'ємну деформацію. Тому вираз (80) називають законом пружн ьої зміни об’єму.

При пластичній деформації об’єм не змінюється і ε_ср = 0. Так як

Е ≠ 0, то (1 - 2μ) = 0, а μ = 0,5.

Перетворимо систему (78), виразивши компоненти напружень через компоненти деформацій. Додаючи до першого рівняння системи (78) μσ_х і віднімаючи μσ_х, отримуємо

σ_x = ε_xE + μσ_y + μσ_z + μσ_x - μσ_x = ε_xE + 3μσ_cp - μσ_x;

σ_x + μσ_x = ε_xE + 3μσ_cp; (1 + μ)σ_x = ε_xE + 3μσ_cp.

Підставляючи σ_cp з (79), отримуємо

σ_x = [1/(1 + μ)][ ε_xE + 3μEε_cp/(1 - 2μ)] = [E/(1 + μ)][ ε_x + 3με_cp/(1 - 2μ)].

З (76) виявляється, що E/(1 μ) = 2G, звідки

               σ_x = 2G[ε_x + 3με_cp/(1 - 2μ)].                                              (а)

Позначаючи λ=2μG/(1-2μ) і θ=3ε_ср, отримуємо вираз для σ_х і за аналогією для двох інших компонент тензора напружень; вирази для дотичних напружень отримуємо безпосередньо з (77)

σ_x = 2Gε_x +λθ              τ_xy =Gγ_xy

σ_y = 2Gε_y +λθ              τ_yz =Gγ_yz      .                                                                       (81)

σ_z = 2Gε_z +λθ               τ_zx =Gγ_zx

Віднімаючи попарно одне з іншого перші три рівняння (81), одержуємо після перетворень

   σ_x - σ_y = 2G(ε_x - ε_y), σ_y – σ_z = 2G(ε_y– ε_z), σ_z – σ_x = 2G(ε _z – ε_x),       (82)

і далі перетворимо до умов (83) і (84)

 (σ_x - σ_y)/(σ_y – σ_z) = (ε _x - ε_y)/(ε _y – ε_z)

     (σ_y – σ_z)/(σ_z – σ_x) = (ε _y – ε_z)/(ε _z – ε_x)  .                                     (83) 

      (σ_z – σ_x)/(σ_x – σ_y) = (ε _z – ε_x)/(ε _x – ε_y)        

  (σ_x - σ_y)/(ε _x - ε_y) = (σ_y – σ_z)/(ε _y – ε_z) = (σ_z – σ_x)/(ε _z – ε_x) = 2G.          (84)

Пропорції (83) і (84) представляють собою геометричне подобу кіл Мора для напружень в координатах σ, τ і деформацій у координатах ε, γ/2.

Для головного куба вираження (84) мають вигляд

σ₁ – σ₂ = 2G(ε₁ – ε₂); σ₂ – σ₃ = 2G(ε₂ – ε₃); σ₃ – σ₁ = 2G(ε₃ – ε₁) (84, а)

Враховуючи, що

 σ₁ – σ₂ = 2τ₁₂, σ₂ – σ₃ = 2τ₂₃, σ₃ – σ₁ = 2τ₃₁, а ε₁ – ε₂ = γ₁₂,

ε₁ –ε₂ = γ₁₂, ε₂ – ε₃ = γ₂₃, ε₃ – ε₁ = γ₃₁, маємо:

      τ₁₂=Gγ₁₂, τ₂₃=Gγ₂₃, τ₃₁=Gγ₃₁.                                       (85)

Ці співвідношення можна отримати і безпосередньо з узагальненого закону Гука. Для октаедричної площадкаи

                                 τ_окт = G γ_окт.                                                 (86)

Висловимо октаедричне дотичне напруження і октаедричні зрушення в головних осях, а G висловимо через дві інші фізичні постійні

         τ_окт = (1/3)[(σ₁ – σ₂)² + (σ₂ – σ₃)² + (σ₃ – σ₁)²],

         γ_jrn  = (2/3)[(ε₁ –ε₂)²  + (ε₂ –ε₃)²  + (ε₃ –ε₁)²],

                                 G = Е/2(1 + μ).

Підставляючи ці значення в (86), отримуємо: (1/3)[(σ₁ – σ₂)² + (σ₂ – σ₃)² + (σ₃ – σ₁)²]^0,5 = [Е/2(1 + μ)](2/3)[(ε₁ –ε₂)²  + (ε₂ –ε₃)² + (ε₃ –ε₁)² ]^0,5.

Помножуючи на 1/ , маємо

          1/  [(σ₁ – σ₂)² + (σ₂ – σ₃)² + (σ₃ – σ₁)²]^0,5 =

= [Е/( (1 + μ)](2/3)[(ε₁ –ε₂)² + (ε₂ –ε₃)² + (ε₃ –ε₁)²]^0,5.                      (87)    

    Ліва частина рівняння (87) являє собою узагальнену напругу (інтенсивність напружень) σ_i [cм. (45)], а права - інтенсивність деформацій ε_i, помножену на Е. Отже

                                              σ_и = Еε_и.                                                                                      (88)

    Вираз (88) дозволяє представити узагальнений закон пружності у вигляді, аналогічному лінійному напруженого стану σ=Еε, використовуючи скалярні величини σ_і і ε_і.

Якщо в процесі навантаження величини σ_i і ε_i для кожного наступного моменту часу перевищують їх значення для кожного попереднього моменту часу, деформація називається активною, інакше деформацію вважають пасивною.

Розглянемо далі співвідношення між девіатором напруг і деформацій. Віднімемо з лівої і правої частини рівняння (а) σ_ср=Еε_ср/(1-2μ) (79), а в правій частині модуль пружності першого роду замінимо його виразом за формулою (76).Отримаємо

σ_х - σ_ср = 2G[(ε_x  + μ3σ_ср/(1 - 2μ)] - 2G(1 + μ) ε_ср /(1 - 2μ) =

= 2G[ε_x + (3μ – 1 – μ)ε_ср/(1 - 2μ)] = 2G(ε_x - ε_ср).

Аналогічні формули можна отримати і для інших компонент нормальних напружень. Для дотичних напружень знайдемо співвідношення, перетворюючи формули (81). У результаті маємо систему рівнянь

σ_х - σ_ср = 2G(ε_x - ε_ср),            τ_xy = 2G (1/2)γ_xy,

σ_y - σ_ср = 2G(ε_y - ε_ср),            τ_yz = 2G (1/2)γ_yz,.                  (89)

σ_z - σ_ср = 2G(ε_z - ε_ср),            τ_zx = 2G (1/2)γ_zx,

Рівняння системи (89) складаються з компонент девіаторів напруг і деформацій, тому їх можна записати у вигляді

                          D_σ = 2GD_ε.                                                       (90)

Отже, девіатор напружень прямо пропорційний девіатору деформацій. Вираз (90) називають законом зміни форми.

Всі отримані в цьому параграфі вираження справедливі для пружної деформації при прямій пропорційності напруг і деформацій. Їх можна застосувати і для малих пластичних деформацій, але замість постійних значень Е і G потрібно використовувати модуль пластичності першого роду Е' і модуль пластичності другого роду G', які мають змінні значення.

Оскільки, як показано в 3.5.2, при пластичній деформації (точніше, при постійному об'ємі до і після деформації) коефіцієнт поперечної деформації μ=0,5, маємо з (5.1) G'=E'/2(1 0,5)E'/3, звідки Е'=3G'. Поширення залежностей, отриманих для пружних завдань, на пластичні засновано на уявленні

 

 

РРис.26. Початкові ділянки кривої деформація-напруга з лінійною залежністю і площадкою плинності (ліворуч) і зі значною нелінійністю (праворуч)

пластично деформованого тіла як нелінійно-пружного тіла, для якого модуль пружності змінюється в процесі деформації і, отже, є функцією деформації, тобто Е' = φ(ε).

Для лінійно пружного тіла величини Е і G дорівнюють тангенсу кута нахилу початкової ділянки кривої деформація - напруга (рис.26, ліворуч), тоді як для нелінійно пружного і пластичного тіла Е'-січний модуль, чисельно дорівнює куту нахилу прямої, проведеної з початку координат у розглянуту точку кривої розтягування (рис.26, праворуч).

Криву розтягування можна побудувати або для лінійного напруженого стану, або, як випливає з (88), замінити координати σ і ε на координати σ_і і ε_і. Зауважимо, що для лінійного напруженого стану σ_и = σ₁ (σ₃), ε_и =ε₁ (ε₃).

 

Лекція 8

 

Умови пластично ї течії. Гіпотези переходу тіла в пластичний стан. Енергетичний зміст рівняння пластичності. Частині вираження рівняння. Вплив середнього за величиною головно ї напруги. Спрощений вигляд рівняння пластичності.