Властивості і типові поля ліній ковзання

У пластичній зоні лінії ковзання безперервні. Вони утворюють два сімейства ортогональних кривих. Оскільки діагональні площадкаи, на яких діють максимальні дотичні напруження, проходять під кутом 45º до головних площадок, лінії ковзання перетинають траєкторії головних напруг під цим же кутом π/4. Зміна середньої напруги вздовж лінії ковзання пропорційно її повороту. Якщо лінії ковзання прямі, середня напруга уздовж них не змінюється. Кут між дотичними до двох лініях ковзання одного сімейства в точках їх перетину з лініями ковзання іншого сімейства залишається постійним (рис.35).

 

Рис.35. Кути між дотичними до ліній ковзання   сімейства α в точках перетину їх лініями ковзання сімейства β

Для доказу останньої властивості розглянемо криволінійний чотирикутник abcd (рис.35). Різницю середніх напруг в двох точках a і c можна отримати, рухаючись з точки c в точку a або через точку b, або через точку d:

    σ_{ср а} - σ_{ср с} = (σ_{ср а} - σ_{ср b}) + (σ_{ср b} - σ_{ср c}) = 2k(α_a + α_c - 2α_b),

    σ_{ср а} - σ_{ср с} = (σ_{ср а} - σ_{ср d}) + (σ_{ср d} - σ_{ср c}) = 2k(2α_a – α_a – α_c).

З цих двох рівнянь отримуємо

                  α_a – α_b = α_d – α_c = θ,

де θ – кут між двома дотичними, проведеними до ліній сімейства α в точках перетину їх лініями ковзання сімейства β.

З цієї властивості ліній ковзання виходить, що якщо який-небудь відрізок лінії ковзання одного сімейства є відрізок прямої, то й всі інші відрізки ліній ковзання цього сімейства, що відсікаються одними і тими ж лініями ковзання іншого сімейства, будуть також відрізками прямих однакової довжини.

При переміщенні точки вздовж лінії ковзання одного сімейства радіуси кривизни ліній ковзання іншого сімейства в точках перетину з даною лінією ковзання змінюються на величину пройдених відстаней. Для доказу розглянемо нескінченно малий криволінійний чотирикутник abcd (рис.36), у якого боку зважаючи на їх малості можна вважати дугами кіл. Довжина дуги ab становить R_βdθ_α, довжина дуги cd=(R_βdS_α)dθ_α. З іншого боку, радіус кривизни дуги cd більше радіуса кривизни дуги ab на величину dR_β, тобто, О'с=R_β dR_β, звідси довжина дуги cd може бути записана як (R_β dR_β)dθ_α. Так як на підставі попереднього властивості кути при вершинах О'с і Ос залишаються постійними, отримуємо dR_β = dS_α

Рис.36. Зміна радіусів кривизни ліній ковзання

 

З наведеної властивості випливає, що центри кривизни дуг ліній ковзання одного сімейства утворюють евольвенти для даної лінії ковзання іншого сімейства, яку вони перетинають, а огинаюча лінія ковзання одного сімейства є геометричним місцем повернення точок ліній ковзання іншого сімейства. Огинаюча одного сімейства є граничною лінією (лінією розриву), через яку не можна продовжити лінії ковзання іншого сімейства.

Лінії ковзання виходять на поверхню тіла під певним кутом. На вільній поверхні дотичних напружень немає, і лінії ковзання виходять на неї під кутом π/4. Це ж випливає з рівняння (а) попереднього параграфа, з якого τ=-kcos2α=0, звідки 2α=π/2, α=π/4. Так само вони виходять і на контакт, якщо на ньому відсутні дотичні напруги, і він є головною площадкаю. Якщо на контакті дотичні напруження максимальні (τ = k), то з (а) слід - kcos2α = k, cos2α=-1, звідки 2α=0, і α=0. Значить, контактна поверхня в цьому випадку є обвідною ліній ковзання одного сімейства (вони паралельні контактної поверхні) і геометричним місцем повернення ліній ковзання іншого сімейства (вони перпендикулярні контакту). При проміжних значеннях дотичних напружень на розглянутій площадці (0<τ<k) лінії ковзання одного сімейства будуть виходити на неї під кутом, великим π/4, а лінії ковзання іншого сімейства - меншим π/4. При відомій величині τ ці кути можна визначити за рівнянням (а)-(у). Осі симетрії тіл завжди лежать на головних площадках і лінії ковзання перетинають їх під кутом π/4.

Розглянемо можливі поля ліній ковзання, які використовуються при побудові сітки ліній ковзання. Ці поля складаються з ортогональних ліній (взаємно перпендикулярних кривих). Найпростіш і поля утворено двома родинами прямих ліній (рис. 37,а). Оскільки вздовж прямих ліній ковзання середня напруга не змінюється, таке поле характеризує однорідне напружений стан, компоненти напружень у всіх точках однакові. У прямолінійному кордону при τ=0 поле ліній ковзання є найпростіше поле, лінії якого виходять на кордон під кутом π/4.

 

Рис.37.Характерн і поля л і ний ковзання

    Прост и м называють поле, у якого лінії ковзання одного сімейства прямі, а іншого - криві, до них ортогональні (рис.37,б,в). При переміщенні вздовж прямих ліній середня напруга залишається незмінною, а при русі вздовж кривих ліній вона змінюється пропорційно куту поворота лінії. Частинним і найбільш використовуваним випадком простого поля є центрироване поле, утворене концентричними колами і пучком радіусів (рис.37,в). Перехід від одного радіуса до іншого здійснюється по кривій і тому уздовж кожного радіусу діє інше за величиною середнє нормальне напруження. Усі прямі лінії (радіуси) сходяться в центрі концентричних кіл. Це призводить до того, що в одній і тій же точці повинні існувати різні за величиною напруги. Тому центр такого поля 0 є особливою точкою, в якій визначити напруги неможливо. Центроване поле широко використовується при побудові сітки ліній ковзання.

Складним називають поле, утворене двома родинами кривих. Ними можуть бути логарифмічні спіралі (рис.37, г), циклоїди (рис.37, д). Їх основна особливість - взаємна ортогональность обох сімейств. У цих полях можуть з'являтися особливі точки (рис.37, д). У вільній або тій, що перебуває під рівномірним навантаженням радіусу кривизни сітка ліній ковзання складається з логарифмічних спіралей. У загальному випадку сітка ліній ковзання у вільній або тій, що перебуває під рівномірним навантаженням кордону визначається формою самого кордону.

Для побудови сітки ліній ковзання по всій області, що пластично деформується доводиться складати комбінації з двох або трьох видів можливих полів. При цьому кордонами окремих зон є лінії ковзання, загальні для суміжних полів. Компоненти напружень поперек кордону повинні бути неперервні. Перехід від найпростішого до складного поля можливий тільки через просте поле.

 

Лекц і я 14

Визначення  поля на вантаження в то встостінній труб і за допомогою метод у л і н і й ковзанн я.