Визначення поля напружень при впровадженні пуансона в півпростір методом ліній ковзання

Розглянемо процес впровадження пуансона (індентора) у півпростір. Останній термін передбачає, що розміри тіла по ширині і висоті не обмежені (Ріс.39, а). Приймемо, що на контакті відсутні дотичні напруги, і він є головною площадкою. Для досліджуваного процесу це відповідає дійсним умовам на контакті. Відповідно до прийнятих умовами лінії ковзання обох сімейств виходять на контакт під кутом π/4.

Рис.39. Поля ліній ковзання на початку (а), в середині (б)

і в кінці впровадження (в)

Межі зони деформації в даному процесі невідомі. Для побудови сітки ліній ковзання необхідно логічне обгрунтування її побудови та зразкове уявлення про форму зони деформації. Очевидно, що її межі перевищують протяжність контакту, і частина металу завдяки суцільності тіла деформується без контакту з інструментом. Тому лінії ковзання одного сімейства повинні, починаючись від контакту, приходити на вільну поверхню праворуч від пуансона, а іншого сімейства - зліва. Крім того, потрібно передбачити безперервність ліній ковзання обох сімейств у зоні деформації. Можливо кілька варіантів побудови сітки ліній ковзання. Задача може бути вирішена наступним чином. Припустимо, що під контактом існує зона однорідного напруженого стану. Вона описується найпростішим полем. Для побудови поля проведемо прямі ac і bc під кутом π/4 до контакту, що обмежують трикутник abc під пуансоном. Для того, щоб лінії безперервно тривали правіше і лівіше пуансона і виходили на вільну поверхню також під кутом π/4, побудуємо зліва і справа ще два трикутники adg і bfe. Усередині всіх трьох трикутників маємо найпростіші поля. Для того, щоб замкнути лінії ковзання, між трикутниками маємо прості поля з концентричних кіл і радіусів з центрами в точках a і b. Отримуємо замкнуту сітку ліній ковзання, що відповідає всім властивостям ліній ковзання і визначальний кордон пластичної зони. Точки a і b є особливими точками.

Знайдемо тиск на контакті. Вибираємо дві точки на одній і тій же лінії ковзання - одну N на контакті, де будемо шукати величину напружень σ_zN (тиску), іншу M на вільній поверхні, де напруження, нормальні до поверхні, σ_zM = 0. У точці М можна визначити значення середньої напруги. Звернемося до рівняння пластичності в точці М. Для плоскої задачі, що вирішується в головних осях, воно має вигляд σ1 - σ3 = 2k. Необхідно встановити, яке з напруг максимально. Напруження вздовж осі х - стискаючі, негативні, тому вони мінімальні. Отже, σ_zМ = σ₁, σ_xМ = σ₃. Отримуємо σ_zМ - σ_xМ = 2k, або 0 - σ_x = 2k. Звідси σ_x = - 2k. Знаходимо середнє напруження в точці М

         σ_срМ = (σ_хМ + σ_zМ)/2 = (- 2k + 0)/2; σ_срМ = - 2k/2 = - k.

    Далі визначаємо кут повороту лінії ковзання при переході від точки М до точки N. Як видно на Рис.39, при русі дотичної від точки М до горизонталі вона повертається на кут 45º (π/4), а при подальшому русі до точки N ще на такий же кут. Повний поворот дотичній становить ω_MN = π/2. Підставляємо отримані значення σ_срМ і ω_MN в рівняння (127)

                           - k  - σ_{ср N} = 2к π/2.                                           (a)  

    Знак правої частини позитивний, так як σ_срМ < σ_срN (абсолютне значення σ_срN більше, но воно негативно). Звідси

    σ_срN = (σ_хN + σ_zN)/2 = - 2к π/2 – 2k. σ_хN + σ_zN = - 4к π/2 – 4k.    (б)

Звертаємося до рівняння пластичності в точці N. Оскільки σ_хN за абсолютною величиною менше σ_zN, але обидва напруги стискаючі, негативні, то σ_хN = σ₁, а σ_zN = σ₃. Рівняння пластичності має вигляд

                        σ_хN -σ_zN = 2k.                                                             (в)

    Віднімаючи з рівняння (б) рівняння (в), отримуємо

                        σ_zN = - 2k(π + 1) – 2k,

                            σ_zN = - 2k(1 +π/2); σ_хN = - kπ.

 З умови  σ_уN = (σ_хN + σ_zN)/2 отримаємо σ_уN = - k(1 + π).

    Всі напруги в точці N визначені, знайдена форма зони деформації на початковій стадії впровадження пуансона в півпростір. Після початку процесу відбувається впровадження пунсони в півпростір (Ріс.39, б). Для визначення напружень на контакті необхідно побудувати нову сітку ліній ковзання. Побудова проводиться аналогічно. Один трикутник найпростішого поля - під контактом, два інших, подібних першому, на похилих ділянках вільної поверхні, що примикають до контакту. Тепер поворот ліній ковзання збільшується на кут γ, що визначає нахил граней до горизонталі. Розміри зони простого поля концентричний кіл (центрованого поля) збільшується на кут γ. Кут повороту ω_MN = π/2γ. Після рівнів викладок отримуємо

                                  σ_zN = - 2k(1 + π/2 + γ).

    Подальше впровадження пуансона призводить до того, що вільні поверхні, що примикають до пуансону, розташовуються майже вертикально (Ріс.39, в). Процес побудови сітки ліній ковзання повторюється, один трикутник найпростішого поля розташовується під пуансоном, два подібних йому - на прилеглих до пуансону вільних поверхнях. Зона центрованого поля досягає значення π, кут нахилу вільних поверхонь γ =π/2. Кут повороту ліній ковзання ω_MN = π. Тепер напруги на контакті складуть

                               σ_уN = - 2k(1 + π/2 + π/2) = - 2k(1 + π) = - 2k 4,14        

Відповідно до методики розрахунку цей тиск - максимально можлив при впровадженні пуансона в незміцьнюєму середу. Таким чином, тиск на початку процесу складають - 2kх2,57, їх максимальне значення в міру впровадження зростає до - 4,14х2k. У той же час для осаду зразка, ширина якого не перевищує ширини пуансона (в даному випадку бойка) тиск при заданих умовах деформації (τ = 0) одно - 2k, тобто приблизно в 2,5... 4,1 рази менше. Така відмінність тисків викликане сильним впливом тих областей металу, які деформуються поза контактом з інструментом, обмежують протягом металу в горизонтальному напрямку, створюючи стискаючі напруги σ_х. Такі області отримали назву «зовнішні зони». Їх вплив на процеси пластичної деформації великий і має враховуватися поряд із впливом сил тертя.

Метод ліній ковзання не завжди дозволяє отримати однозначне рішення, як у випадку роздачі товстостінній труби. Для тієї ж самої задачі впровадження пуансона в півпростір можна побудувати іншу сітку ліній ковзання (Ріс.39). Експерименти за осадкою показують, що на деякій частині контакту з інструментом метал знаходиться в пружному стані. Розглянемо сітку, яка передбачає наявність пружної зони. Розташуємо на контакті два трикутники 0А і 0bd, в яких розміщуються найпростіші поля ліній ковзання, і два подібних трикутника aef і bgh на вільних поверхнях, що примикають до контакту. Між кожною парою трикутників розмістимо центровані поля afc і bdg. В останньому випадку пластична зона має менші розміри, складається з двох областей, дотичних тільки на контакті, її ширина дорівнює подвоєній ширині пуансона, тоді як у попередньому рішенні вона становила потрійну ширину пуансона. Незважаючи на зміну розмірів і форми пластичної зони, тиску залишаться колишніми, так як кути повороту ліній ковзання не змінюються.

 

Рис.40. Поле ліній ковзання

при впровадженні пуансона в півпростір

з пружною зоною в центрі контакту

(Рішення Холла)

Використання методу ліній ковзання дозволило теоретично визначити протяжність і форму пластичної області при впровадженні пуансона. Іншими методами цього отримати не можна. Але метод не дозволяє однозначно встановити розміри пластичної зони. Експерименти показують, що пружна область має найбільшу ширину на контакті і звужується в глибині зразка. Метод недостатньо точним і при визначенні тисків. Теоретичний аналіз (наприклад, рішення диференціальних рівнянь для осаду у розділі 3.7.2) та експерименти показують, що тиск нерівномірно розподілені по контакті, тоді як при вирішенні методом ліній ковзання вони однакові по ширині контакту. Для будь-якої точки на контакті кут повороту лінії ковзання при її виході на вільну поверхню один і той же.

У всіх розглянутих випадках впровадження пуансона в півпростір передбачалося, що метал розділений на дві зони - пружну, в яку лінії ковзання не можуть бути продовжені, і пластичну. Така схема, не враховує перехідних областей, називається жесткопластіческой. Межами між жорсткими (пружними) і пластичними зонами служать лінії ковзання або тих, що їх огинають. Положення меж визначається методикою побудови сітки ліній ковзання.

 

Лекція 16

Зв'язок полів ліній ковзання з полями швидкостей. Р озриви швидкостей і напруг.