Умови пластично ї течії. Гіпотези переходу тіла в пластичний стан .

При лінійному напруженому стані пластична течыя починається, коли напруга досягне значення межі текучості σ_т (рис.26). Визначення умов початку пластичної деформації при складному напруженому стані - одна з найважливіших задач дисципліни.

Зміна форми тіла відбувається за напрямками головних дотичних напружень (напрямками дії максимальних різниць головних нормальних напруг). Якщо величина такої різниці буде недостатньо велика, зміна форми буде пружною і після зняття навантаження тіло відновить вихідні розміри під дією накопиченої в ньому потенційної енергії (пружного потенціалу). Отже, необоротна зміна форми настане, якщо величина дотичних напружень буде достатньою для переміщення атомів з вихідних у нові положення стійкої рівноваги. Ця величина не залежить від схеми напруженого стану і величини кожного з головних напружень окремо. Характерні (особливі) значення дотичних напружень діють на діагональних площадках (максимальні) і октаедричних (середні для даної точки).

Нехай перехід в пластичний стан визначається максимальною дотичною напругою τ₃₁ = τ_max= (σ₃-σ₁)/2. Одне і те ж значення це напруга має мати місце при будь-якому напруженому стані. При лінійному σ₃=0, тоді τ_max=-σ₁/2. Але при лінійному напруженому стані для пластичноъ течії необхідно, щоб σ₁=σ_т. Звідси для будь-якого напруженого стану отримуємо чисельне значення максимального дотичного напруження τ_max=(σ₃-σ₁)/2=-σ₁/2=-σ_т/2. Зауважимо, що σ_т не змінна напруга, а число, величина якого відома для кожного деформівного сплаву. Отримуємо (σ₃-σ₁)/2=-σ_т/2. Змінюючи знаки і скорочуючи на ½, отримуємо рівняння пластичності

                                 σ₁ – σ₃ = σ_т.                                               (91)

Це рівняння іноді називають по іменах запропонувавших його вчених Кулона, Сен-Венана, Тріска.

З рівняння (91) випливає, що пластична деформація настає в тому випадку, коли різницю найбільшого і найменшого головних нормальних напруг досягне значення межі текучості σ_т. Експерименти показують, що в деяких процесах це умова виконується досить суворо, в більшості випадків спостерігаються невеликі відхилення від нього.

Інший підхід запропонували Губер і Мізес, вважаючи, що відповідальним за перехід до пластичного течії є не максимальне, а середнє (октаедричній) дотичне напруження. Маємо

τ_окт = (1/3)[(σ₁ – σ₂)² + (σ₂ – σ₃)² + (σ₃ – σ₁)²]^0,5 .

Для лінійного напруженого стану

τ_окт = (1/3) [(σ₁ – 0)² + (0 – 0)² + (0 - σ₁)²]^0,5 = ( /3)σ₁.

Для пластичного течії необхідно, щоб σ₁ = σ_т. Тоді

τ_окт = ( /3)σ_т. Таке ж значення має приймати дотична октаедрична напруга при будь-якому напруженому стані, тобто

τ_окт = (1/3)[(σ₁ – σ₂)² + (σ₂ – σ₃)² + (σ₃ – σ₁)²]^0,5 = ( /3)σ_т, откуда

(1/ )[(σ₁ – σ₂)² + (σ₂ – σ₃)² + (σ₃ – σ₁)²]^0,5 = σ_т.                        (92)

Оскільки ліва частина рівняння (92) являє собою інтенсивність напружень (45), то умова (92) можна записати більш короткою і в той же час у найбільш загальній формі, так як інтенсивність напружень можна виразити не тільки в головних, але і в довільних осях (див. (45, а))

                                           σ_и = σ_т .                                                                       (93)

Умова (93) називають рівнянням пластичності. Його можна інтерпретувати так: пластична деформація в точці тіла відбувається в тому випадку, коли інтенсивність напружень досягає значення межі текучості, точніше, того значення напруги, яке зумовлює пластичне течію в будь-яких температурно-швидкісних і деформаційних умовах для даного сплаву при лінійному напруженому стані. Воно добре відповідає практично всім випадкам деформації ізотропних середовищ. Відмінності між результатами, отриманими за (91) і (93), не перевищує 15%.

Умова (93) відрізняється від (91) перш за все тим, що в ньому враховується вплив усіх трьох головних напружень, тоді як (91) не враховує вплив напруги σ₂. Умова (93) показує, за яких співвідношеннях між компонентами напружень і міцністю металу (його межею текучості) настає пластична деформація. Якщо σ_i <σ_т, то деформація є пружною, при σ_i=σ_т - пластичної; умова σ_i> σ_т неможливо, так як напруги не можуть перевищувати здатність металу чинити опір прикладеному навантаженню.