Енергетичний зміст рівняння пластичності

Зміна форми тіла завжди починається з пружною деформаціэю. Зовнішні сили, прикладені до тіла, роблять певну роботу, зміщуючи атоми з положень стійкої рівноваги. Ця робота накопичується в металі у вигляді потенційної енергії, яка повертає атоми в вихідні положення після зняття навантаження. Розглянемо величину затрачуваної при пружній деформації енергії (роботи).

Нехай одиничний об'єм, ребра якого дорівнюють одиниці довжини, знаходиться в напруженому стані. Сили, що діють на його грані, чисельно рівні головним нормальним напруженням (якщо розглядається головна система координат). Так, якщо F₁ - площа грані 1, то сила вздовж осі 1 Q₁=σ₁F₁=σ₁x1x1=σ₁. Робота сили Q₁А₁=0,5Q₁Δl. Тут Δl - шлях, пройдений силою Q1, а коефіцієнт 0,5 прийнятий тому, що сила Q1 зростає від нуля до даного значення по прямій, і робота дорівнює площі трикутника 0АB на рис.26. Оскільки відносне подовження по осі 1 складає ε₁=Δl/l₀ =Δl/1, то чисельно ε₁=Δl. Отже, робота переміщення межі 1 уздовж осі 1 чисельно дорівнює А₁= 0,5σ₁ε₁. Аналогічний вираз отримаємо і для розрахунку роботи напружень по інших осях. У загальному випадку пружний потенціал (вся витрачена на деформацію робота) складає в тензорному вигляді

                                  А = 0,5Т_σТ_ε,                                             (94)

або в розгорнутому вигляді

                         А = 0.5(σ₁ε₁ + σ₂ε₂ + σ₃ε₃).                                   (95)

Теоретично елементарний об'єм (або тіло) може витримувати будь-які гідростатичні (кульові) напруги, не змінюючи своєї форми, якщо девіатор напруг дорівнює нулю. Зміна форми настає тільки внаслідок дії девіаторной схеми напруг. Отже, для визначення енергії (роботи) формозміни потрібно з пружного потенціалу А відняти роботу, що витрачається на пружну зміну об’єму А_об. Воно визначається добутком кульового тензора напружень на кульовий тензор деформацій

                           А_об  = 0.5 Т°_σТ°_ε.                                             (96)

Вираження (96) у розвернутому вигляді

                  А_об = 0.5(σ_срε_ср + σ_срε_ср + σ_срε_ср).                              (97)

Висловимо компоненти деформацій у формулі (97) через компоненти напружень, використовуючи узагальнений закон пружності (78)

А = (1/2Е){σ₁[σ₁ – μ(σ₂ + σ₃)] + σ₁[σ₂ – μ(σ₃ + σ₁)] + σ₁[σ₃ – μ(σ₁ + σ₂)] } =

             = (1/2Е)[(σ₁² + σ₂²  + σ₃²) - 2μ(σ₁² + σ₂²  + σ₃²)].

Для визначення А_об зауважимо, що ε_ср = (1/3)(ε₁ + ε₂ + ε₃) =
= (1/3Е)[σ₁ – μ(σ₂ + σ₃) + σ₂ – μ(σ₃ + σ₁) + σ₃ – μ(σ₁ + σ₂)],

 а σ_ср = (1/3)(σ₁ + σ₂ + σ₃).

Отже,

А_об = (3/2)(1/3Е)(1/3)(σ₁ + σ₂ + σ₃)[(σ₁ + σ₂ + σ₃) - 2μ(σ₁ + σ₂ + σ₃)] =

= (1/6Е) (σ₁ + σ₂ + σ₃)[(σ₁ + σ₂ + σ₃)² - 2μ(σ₁ + σ₂ + σ₃)²].

Питома потенційна енергія формозміни А_ф визначиться як різниця повної роботи деформації А і роботи пружного зміни об’єму А_об:

А_ф = А - А_об = (1/2Е)[σ₁² + σ₂² + σ₃² - 2μ(σ₁σ₂ + σ₂σ₃ + σ₃σ₁)] –

         - (1/6E)[(σ₁ + σ₂ + σ₃)² - 2μ(σ₁ + σ₂ + σ₃)²] =

= (1/6E)(3σ₁² + 3σ₂² + 3σ₃² - 6μσ₁σ₂  - 6μσ₂σ₃  - 6μσ₃σ₁ –

- σ₁² - σ₂² - σ₃² - 2σ₁σ₂  - 2σ₂σ₃  - 2σ₃σ₁ + 2μσ₁² + 2μσ₂² + 2μσ₃² +

                               + 4μσ₁σ₂  + 4μσ₂σ₃  + 4μσ₃σ₁ =

= (1/6E)[(2σ₁² + 2σ₂² + 2σ₃² - 2σ₁σ₂  - 2σ₂σ₃  - 2σ₃σ₁) + μ(2σ₁² + 2σ₂² + 2σ₃² - 

                                      -2σ₁σ₂  - 2σ₂σ₃  - 2σ₃σ₁)].

    Отримуємо

    А_ф = [(1 + μ)/6Е][(σ₁ – σ₂)² + (σ₂ – σ₃)² + (σ₃ – σ₁)²].

    Для лінійного напруженого стану σ₂=σ₃=0,  і робота формозміни для цього випадку А_{ф лин} =[(1+μ)/6Е]σ₁². При пластичній деформації σ₁=σ_т і А_флин=[(1+μ)/6Е]σ_т². Оскільки накопичена в тілі енергія не залежить від схеми напруженого стану, вона повинна бути однією і тією ж для забезпечення пластичної деформації, тобто А_{ф лин} = А_ф

    [(1 + μ)/6Е][(σ₁ – σ₂)² + (σ₂ – σ₃)² + (σ₃ – σ₁)²] = [(1 + μ)/6Е]σ_т²

    Після скорочення на [(1+μ)/6Е] і добування кореня з лівої і правої частини маємо в лівій частині інтенсивність напружень

    (1/ )[(σ₁ – σ₂)² + (σ₂ – σ₃)² + (σ₃ – σ₁)²]^0,5 = σ_т, тобто умова Губера-Мізеса (93). Отже, цю умову можна трактувати так: пластичний стан в точці тіла настає тоді, коли біля точки буде накопичено певну кількість потенційної енергії, постійне для даного металу (сплаву) у даних умовах деформації (ступеня і швидкості деформації і температури, мікроструктури) незалежно від схеми напруженого стану. Тому умова (93) відображає енергетичний зміст рівняння пластичності. Особливості деформації конкретного сплаву в кожному випадку характеризуються експериментально визначається величиною σ_т.

 

Частинні вираження рівняння

Рівняння (93) є найбільш повним і коротким виразом рівняння пластичності. Його можна записати в декількох різних за формою, але однакових за змістом варіантах:

в головних осях, звівши обидві частини в квадрат

 (σ₁ – σ₂)² + (σ₂ – σ₃)² + (σ₃ – σ₁)² = 2σ_т²,                                                               (98)

у довільній прямокутній системі координат

 (σ_x – σ_y)² + (σ_y – σ_z)² + (σ_z – σ_x)² + 6(τ_xy² + τ_yz² + τ_zx²) = 2σ_т²,             (99)

у довільній циліндричній системі координат

     (σ_ρ – σ_θ)² + (σ_θ – σ_z)² + (σ_z – σ_ρ)² + 6τ_zρ²  = 2σ_т².                                               (99, a)

При вирішенні плоских і осесиметричних задач вид рівнянь (93) спрощується. При плоскому напруженому стані σ_у = 0, вісь у - головна,

τ_xy = τ_yz = 0. Підставляючи ці значення в рівняння (99), отримуємо:

    (σ_x – 0)² + (0 – σ_z)² + (σ_z – σ_x)² + 6(0 + 0 + τ_zx²) = 2σ_т².

    σ_x² + σ_z² + σ_z² – 2σ_zσ_x + σ_x² + 6τ_zx² = 2σ_т².

                     σ_x² + σ_z² – 2σ_zσ_x + 3τ_zx² = 2σ_т².                                                                         (100)

    В головних осях

                       σ₁² + σ₃² – 2σ₃σ₁ = 2σ_т².                                              (101) 

    Для плоского деформованого стану маємо σ_y = (σ_x + σ_z) / 2, τ_xy = τ_yz = 0. Підставляючи ці значення в (99), маємо

    [σ_x – (σ_x + σ_z)/2]² + [(σ_x + σ_z)/2 – σ_z]² + (σ_z – σ_x)² + 6τ_zx² = 2σ_т²

Підставляючі ці значення в (99), Маємо

(σ_x - σ_z)²  + 4τ_zx² = (4/3)σ_т².

Позничимо σ_т/ = k, где k – оп і р пластич н ому зсуву (чи просто опір зсуву). Тоді               (σ_x - σ_z)²  + 4τ_zx² = 4k².                                                                              (102)

    в головних осях

                       (σ₁ – σ₃)² = 4k², 

 σ₁ – σ₃ = 2k.                                                                (103)

Так як τ_max = (σ₁ – σ₃)/2, то

                                 τ_max = k.                                                              (104)

    Максимальне значення дотичного напруження не може перевищувати значення k, яке воно досягає при пластичному плині. Умова (104) є частинний вид рівняння пластичності. Як і σ_т, k - величина, постійна для даного сплаву і умов деформації. Розмірність k така ж, як у σ_т – МПа (Н/ мм², кг/мм²).

    У циліндричній системі координат для осесиметричної задачі рівняння (99, а) зберігає свій вигляд

              (σ_ρ – σ_θ)² + (σ_θ – σ_z)² + (σ_z – σ_ρ)² + 6τ_zρ²  = 2σ_т².                (105)

У головних осях τ_zρ = 0, тому маємо (в індексах головних осей)

    (σ₁ – σ₂)² + (σ₂ – σ₃)² + (σ₃ – σ₁)² = 2σ_т².

Рівняння аналогічно рівнянню (98). Якщо σ_ρ = σ_θ, то в довільних осях маємо

(σ_z – σ_ρ)² + 3τ_zρ²  = σ_т² = 3k.                                                (106)

У головних осях

                           σ₁ – σ₃ = k.                                                   (107)