Зв'язок полів ліній ковзання з полями швидкостей

З усіх можливих рішень найбільш близьким до дійсного рішенням буде те, яке, поряд з виконанням умов рівноваги, задовольняє і кінематичним умовам, тобто відповідає дійсному полю швидкостей течії в пластичної зоні. Побудована сітка ліній ковзання, що задовольняє умовам рівноваги, рівнянням зв'язку напруг і деформацій і заданим граничним умовам в напруженнях, не завжди відповідає кінематиці процесу (характером перебігу точок у зоні деформації). У цьому разі отримують занижені значення тисків («нижня оцінка»). Розглянемо співвідношення між швидкостями зміщень і сіткою ліній ковзання.

Нехай повна швидкість зміщень (похідні зміщень за часом позначимо символом усунення з точкою угорі) задана компонентами x і z в прямокутній системі координат xoz. Висловимо ту ж повну швидкість зміщень через її компоненти α і β, спрямовані вздовж пари пересічних ліній ковзання сімейств α і β (Рис.41). Лінії ковзання двох сімейств можна розглядати як нову криволінійну систему координат. З аналітичної геометрії для переходу від однієї системи координат (у даному випадку від прямокутної x0z до криволінійної α0β) використовуються формули

_α = u_x cosα + _zsinα;    (а)

_β = - u_x sinα + _z cosα. (б)

Рис3.41. Схема до висновку рівнянь Гейрінгер

    Диференціюючи ці рівняння за елементами дуг ліній ковзання сімейств α і β, перше за s_α, а друге за s_β

∂ _α/∂s_α = (∂ _х/∂s_α)cosα - _xsinα (∂α/∂s_α) + (∂ _z/∂s_α)sinα + _z cosα (∂α/∂s_α) =

    = ( _z cosα - _xsinα) ∂α/∂s_α + (∂ _x/∂s_α)cosα + (∂ _z/∂s_α)sinα.

    Но відповідно до рівняння (б) _z cosα - _xsinα = _β.

Отримуємо

    _β(∂α/∂s_α) + (∂ _x/∂s_α)cosα + (∂ _z/∂s_α)sinα.                                (в)

    З геометричних параметрів маємо ∂x = ∂S_α/cosα, ∂z = ∂S_α/sinα. Використовуючи ці співвідношення для перетворення двох останніх доданків рівняння (у), отримуємо:

    ∂ _α/∂s_α = ∂ _x/∂х + ∂ _z/∂z + _β(∂α/∂s_α).                                     (г)

    Аналогічно з рівняння (б) отримаємо   

    ∂ _β/∂s_β = - ∂ _x/∂х - ∂ _z/∂z + _α(∂α/∂s_β).                                     (д)

    Для плоскої деформації сума двох компонент деформації, а отже, і сума двох компонент швидкості деформації дорівнюють нулю відповідно до закону сталості об’єму. Тому з рівнянь (г) і (д) маємо

    ∂ _α/∂s_α = _β(∂α/∂s_α), ∂ _α/∂s_α = - _β(∂α/∂s_α).

З цих рівнянь після інтегрування одержимо

∂ _α  - _β∂α = 0. (135,а)    ∂ _β - _α∂α = 0.                 (135,б)

    Рівняння (135) являють собою також рівняння нерозривності.

Ці рівняння називають ім'ям автора Г. Гейрінгер. Рівняння ((135, а) характеризує зміну швидкості лінійних швидкостей уздовж ліній ковзання сімейства α, а рівняння ((135, б) - уздовж ліній сімейства β.

    Відповідно до (135) зміни швидкості лінійних деформацій вздовж лінії ковзання дорівнюють нулю. Компоненти швидкостей для найпростіших полів постійні. За допомогою рівнянь (135) можна побудувати план швидкостей за відомою сіткою ліній ковзання (годограф швидкостей).

Годографом швидкостей називають діаграму векторів швидкостей переміщення точок, що виходять з довільно взятої точки (полюси). Кожній точці в полі ліній ковзання відповідає точка, що відображає її на годографі. Лінії на годографі представляють собою швидкості вздовж відображуваних ліній ковзання. Графічна побудова годографа швидкостей заснована на властивості ортогональності відрізків ліній ковзання їх відображенням на годографі (відрізки ліній ковзання та вектори швидкостей зміщень взаємно перпендикулярні). Якщо поля ліній ковзання і швидкостей спільні, то сітка ліній ковзання відображає дійсну рівновагу тіла. Спільність можна перевірити, наприклад, зіставляючи кількість металу, що витісняється в протилежних напрямках, у відповідності з отриманим полем швидкостей. Для дійсного рішення ці кількості повинні бути рівні. Приклад побудови годографа швидкостей буде розглянуто нижче.

Розриви швидкостей і напруг

Відомі випадки, коли побудувати безперервне поле напруг або швидкостей не можна. Наприклад, при пружному вигині бруса напруги по його перетину змінюються від максимальних розтягуючих значень на опуклій поверхні до нуля в середніх волокнах (в нейтральному перетині) і знову зростають вже у вигляді стискаючих напруг до їх максимального значення на внутрішній увігнутій поверхні (Рис.42). Зміна напружень відбувається по прямій лінії. У міру збільшення згинального моменту напруги будуть зростати до значень σ_т. У випадку, коли весь переріз бруса перейде в пластичний стан, розподіл напруг буде змінюватися стрибком: від σ_т до - σ_т на нейтральній поверхні.

 

Рис.42. Схема дії напружень при пружній і пластичн ій деформації бруса

У тих випадках, коли не вдається побудувати поля швидкостей і напруг безперервно змінючихся за об’ємом пластичної зони, вдаються до так званих розривних рішень. Припускають, що між зонами пружної і пластичної деформації існує тонкий перехідний прошарок («мембрана»), на якій одні компоненти змінюються стрибком (терплять розрив), а інші залишаються безперервними.

В одній і тій же точці поля ліній ковзання не можуть виникнути одночасно і розриви швидкостей і розриви напруг. Розрив швидкостей може відбуватися тільки уздовж ліній ковзання або їх огинаючої. Нормальні компоненти швидкості по обидва боки повинні бути однаковими, інакше відбудеться розрив суцільності.Дотичні компоненти можуть змінюватися на величину розривності Δ (du / dt) (Рис.43), нормальні компоненти безперервні.

 

Рис.43. Розрив напружень (а) і положення

лінії розриву L при розриві швидкостей (б)

Нехай лінія ковзання α є лінією розриву. Повна швидкість зсуву du/dt в точці р при переході через цю лінію ковзання du'/dt змінюється і по величині і по напрямку (рис.44). Однак компонента, спрямована нормально до лінії ковзання du'β/dt, не змінюється, тому що це викликало б розрив суцільності. Змінюється за величиною тільки компонента, спрямована вздовж лінії ковзання du'α/dt. Завдяки цьому повна швидкість ковзання отримує значення du'/dt і виникає розрив швидкості Δ(du/dt).

Рис. 3.44. Розрив швидкостей

З рівнянь (135), записаних у розгорнутому вигляді, слідує:

 d(du_α/dt) = (du_β/dt)dα и d(du′_α∆/dt) = (du′_β/dt)dα. Так как (du_β/dt) = (du'_β/dt), то вздовж лінії ковзання сімейства α d(du_α/dt) = d(du'_α/dt), а значить

du_α/dt = du'_α/dt = = пост. Аналогічно для лінії сімейства β отримаємо du_β/dt = du'_β/dt = пост. Отже, розрив швидкості вздовж лінії ковзання залишається постійним (або рівним нулю, якщо розрив відсутній).

Лінія розриву напружень L (Рис.43) є бісектрисою кута, утвореного однойменними лініями ковзання одного сімейства - α і α ', β і β'. Кривизна ліній ковзання і кут α змінюються стрибком (Рис.43). На лінії розриву L відчувають розрив нормальні напруги σ_t, спрямовані тангенціально, тобто вздовж цієї лінії (Ріс.43, а).Нормальні напруження σ_n, перпендикулярні до лінії розриву, і дотичні напруження τ змінюються безперервно.

 

Лекція 17

Метод балансу робіт (потужностей). Визначення середнього тиску при осаді циліндра методом балансу робіт