Визначення зміщень і деформацій при осад і з використанням прямого методу Рітца

Розглянемо задачу осаду смуги великої довжини в паралельних бойках, аналогічну з постановки задачі Л. Прандтля. Завдяки симетрії тіла розглянемо праву верхню чверть осередку деформації. Для спрощення записів приймемо, що висота смуги дорівнює 2h, а ширина 2b, тоді висота правої чверті складе h, а ширина b (Рис.47). Оскільки в кінцевій формулі входять співвідношення цих величин, прийняті позначення не позначаться на результатах розрахунку.

Рис.47. Схема осаду смуги

при вирішенні з використанням

        методу Рітца

Робота зовнішніх сил складається з роботи активних сил і роботи сил тертя. Робота активних сил не варіюється, так як вона здійснюється на зсуві Δh, яке жорстко задано (на контакті при z=hu_z=Δh/2.) Тому варійована частина роботи зовнішніх сил складається з роботи сил тертя

                              A_t = - t_cp u_tdF.                                                   (158)

Для плоскої деформованої задачи рівняння (158) має включати тільки зміщення u_x вздовж осі х, так як для плоскої деформації u_у = 0, а напрями u_z і сил тертя ортогональні. Знак мінус взято тому, що сили тертя реактивні і пролежні зсуву. Нехай напруги тертя виражені в частках від подвоєного опору зрушення

 t = fσ2k і k = пост. Тоді отримаємо

                                     A_t = -2f_σk _{х при х = h} dx.                                  (159)

    Варіація роботи зовнішніх сил на можливих зсувах дорівнює

2f_σkδ _{х при х = h} dx. Варіація роботи внутрішніх опорів на можливих зсувах дорівнює kδ γ_и dxdz (u_y = 0). Згідно з принципом можливих зсувів

                           - 2f_σkδ _{х при х = h}dx + kδ γ_и dxdz = 0.                 (160)

    Для рішення рівняння (160) задамо функцію зсувів. Експериментальні дані показують, що прямолінійні вертикальні і горизонтальні волокна зразка в результаті деформації викривляються і за формою наближаються до параболи. Уявімо зсув U_Х у вигляді двочлена (параболи третього ступеня)

                  u_x = a₁x + a₂x(1 – 3z²/h²)(1 – x²/3b²).                         (161)

Рівняння легко диференціювати й інтегрувати, при цьому частина чисельних коефіцієнтів скоротиться. Можливе використання й інших за формою запису рівнянь.

Визначимо лінійні відносні деформації, враховуючи, що

ε_x = ∂u_x/∂x, ε_y = 0, ε_z = - ε_x.

ε_x = ∂u_x/∂x = a₁ + a₂(1 – 3z²/h²)(1 – x²/b²).                                        (162)

    ε_z = - ε_x  = - [a₁ + a₂(1 – 3z²/h²)(1 – x²/b²)].                                    (163)

    Визначимо вертикальне зміщення u_z, враховуючи, що ε_z = ∂u_z/∂z

    u_z = ε_z∂z = - [a₁ + a₂(1 – 3z²/h²)(1 – x²/b²)] ∂z =

- [a₁z + a₂z(1 – z²/h²)(1 – x²/b²)] + φ(x) + C.

Так як інтегрується часткова похідна, необхідно припустити наявність у шуканої функції uz невідомої функції від другої змінної х і довільної сталої С. Визначимо їх з граничних умов. При z=0 і х=0 (у центрі зразка) u_z=0, звідки невідомі φ (x) і C дорівнюють нулю. Отже

                  u_z = - [a₁z + a₂z(1 – z²/h²)(1 – x²/b²)].                               (164)

З рівняння (164) можна безпосередньо знайти параметр а₁ завдякі вдало вибраному вигляду піхходящої функції. На контактній поверхні при z=hu_z=-Δh/2, тому

- ∆h/2 = - [a₁h + a₂h(1 – h²/h²)(1 – x²/b²)], откуда ∆h/2 = a₁h, и a₁ = ∆h/2h.

Для визначення параметра а₂ необхідно вирішити рівняння

- ∂/∂а₂(2f_σk _{х при х = h} dx) + ∂/∂а₂(k γ_и dxdz) = 0.                  (165) 

Якщо ліву і праву частини розділити на k, то отримаємо

- ∂/∂а₂(2f_{σ х при х = h} dx) + ∂/∂а₂( γ_и dxdz) = 0.                      (166)   

Обчислимо перший доданок рівняння (166). Визначимо за формулою (161) значення u_x на контакті, враховуючи, що a₁ = ∆h/2h

u_{x при z = h} = (∆h/2h)x + a₂x(1 – 3h²/h²)(1 – x²/3b²) = (∆h/2h)x – 2a₂x + 2x³a₂/3b².

    Підставимо отримане значення u_x в перший доданок рівняння (166)

      ∂А_t /k∂a₂ = 2f_σ(∂ /∂a₂) _{х при z= h} dx = 2f_σ (∂u_{х при z = h} /∂a₂)dx =

    = 2f_σ (- 2x + 2x³/3b)dx - = 2f_σ(- 2 xdx + 2/3b² _x³dx) =

                            2f_σ(b²/ 6 - b²) = 2f_σ 0,833b².

    Обчислимо другий доданок рівняння (166). Для цього визначимо інтенсивність деформації зсуву

     γ_и = {(2/3)[(ε_x - ε_y)² + (ε_y – ε_z)² + (ε_z – ε_x)² + (3/2)(γ_xy² + γ_yz² + γ_zx²)]}^0,5.

    Так як для плоскої деформації ε_y = 0, γ_xy = γ_яy = 0, ε_х = - ε_z, то

    γ_и = {(2/3)[(ε_x² + ε_x² + 4ε_x² + (3/2)(γ_zx²)]}^0,5 = (4ε_x² + γ_zx²)^0,5.              (167)

    Зсувна деформація

      γ_zx = ∂u_z/∂x + ∂u_х/∂z = - (ba₂xz/h²)(1 – x²3b²) + (2a₂xz/b²)(1 –z²/h²) =

                         = (2a₂xz/b²h²)[(h² – z²) – (3b² – x²)].                           (168)

    Підставляя ε_х (162) и γ_zx (168) в рівняння (167), отримаємо

γ_и = {4[(∆h/2h) + a₂(1 – 3z²/h²)(1 – x²/b²)]² + {2a₂xz/b²h²)[(h² – z²) –

- (3b² –x²)]²}^0,5.

    Інтегрування другого доданку рівняння (166) після підстановки в нього значення γ_і, що є коренем квадратним з многочлена, неможливо. Використовуємо наближене рішення. Підставимо другий доданок у вигляді (∂γ_і/∂а₂) dxdz. Позначаючи γ_и = [φ(x, y, z)]^0,5 і диференціюючи по а₂, отримаєм

    ∂γ_и/∂a₂ = (∂/∂a₂) [φ(x/b, z/h, a₂)]/2[φ(x/b, z/h, a₂)]^0,5 = (∂γ_и²/∂a₂)/ 2γ_и.

    Замінимо значення γ_і в знаменнику його середнім значенням γ_іСР і винесемо його за знак інтеграла. Середнє значення інтенсивності деформації зсуву близько до значення деформації зсуву при рівномірній деформації, тобто при γz_x=0, і, як випливає з (167), γ_{і ср}≈(4ε_х²) ^0,5≈2ε_х. При рівномірній деформації εx постійно для всього осередку деформації, в тому числі для контакту, де z=h. Використовуючи (167), отримуємо γ_{і ср} =2ε_х=2а₁= =2Δh/2h, тоді другий доданок рівняння (166) набуває вигляду

                 (1/4∆h/2h) (∂γ_и²/∂a₂)dxdz.

    Після диференціювання по dа₂, інтегрування і перетворень маємо

         ∂A_д/k∂a₂ = [2/(∆h/2h)]a₂bh(0,213 +0,648b²/h² + 0,026h²/b²).

    Прирівнюючи один одному обидва доданки рівняння (166), знаходимо значення другого змінними параметрами

      а₂ = [0,833(∆h/2h)f_σ(b/h)]/(0,213 + 0,643b²/h² + 0,026h²/b²).

    Таким чином, а₂ виражений через розміри смуги h і b, обтиснення Δh/2h і показник тертя f_σ. Підставляючи значення а₁ і а₂ у відповідні формули, знайдемо зміщення і деформації в будь-якій точці за об’ємом тіла.

Визначимо форму бічної поверхні смуги після осаду з обтисненням Δh. Половина ширини смуги після деформації

                                           b₁ = b + u_x.

    На контакті при x = b, z = h половина ширини складе

b₁ = b + u_{x при z = h} = b + a₁b + a₂b(1 -3h²/h²)(1 – b²/3b²) = b[1 + a₁ – (4/3)a₂]

  На боковій поверхні смуги по середині висоти (при x = b і z = 0)

b₁ = b + u_{x при z = 0} = b + a₁b + a₂b(1 -3х0/h²)(1 – b²/3b²) = b[1 + a₁ + (2/3)a₂].

    Аналогічно можна знайти ширину при будь-якому іншому значенні z і побудувати криву обмежуючи бічну поверхню смуги, визначити форму, яку набуває вертикальне в початковому стані волокно на будь-якій відстані від центру. Використовуючи рівняння (166) для розрахунку вертикальних зсувів, можна знайти зміну форми горизонтальних волокон внаслідок деформації.

 

Лекція 22

Метод кінцевих елементів 1.

Теория пластических деформаций металлов. Под ред. Е.П.Унксова. – М. Машиностроение, 1983.-598 с. (стр. 76 –84)

 

Лекція 23

Метод кінцевих елементів 2.

Теория пластических деформаций металлов. Под ред. Е.П.Унксова. – М. Машиностроение, 1983.-598 с. (стр. 85 –98)

Лекція 24

Аналіз методів рішення пластичних за дач

Основне призначення теорії пластичного плину твердих тіл - розрахунок розподілу напружень, деформацій і зсувів за об’ємом зони деформації. З цією метою розроблені різні методи рішення пластичних задач, найбільш поширені розглянуті вище. У зв'язку зі складністю повного вирішення об'ємної задачи підхід полягає у зверненні до плоских і осесиметричних задач. У цьому випадку система рівнянь, що підлягають вирішенню, зменшується до 2... 3. Усі розглянуті методи, крім варіаційного, дозволяють отримати формули для розрахунку напружень, при цьому всі без винятку використовують різні спрощення постановки задач.

Рішення диференціальних рівнянь рівноваги дозволяє знайти поле напружень по перерізу, однак при осаді в умовах плоскої деформації в довільній системі координат прийнято постійним зміну дотичного напруження уздовж осі х. Це призвело до появи стискаючих напруг на бічній вільної поверхні, яких там бути не може. При вирішенні осесиметричної задачі для вирішення в головних осях довелося приймати допущення про те, що одночасно задача є плоско - деформованою, для кожного з цих випадків потрібно використовувати різні види рівняння пластичності. Метод ліній ковзання дозволяє визначити можливу форму осередку деформації і тиску, проте погано відбиває розподіл напружень та за контактом і за перерізом, не має однозначних рішень, і є дуже наближеним. Використання стандартних полів ліній ковзання зумовлює такий розподіл напружень по перерізу зони деформації, яка явно не відповідає дійсному. Знайдена з рішення форма пружної зони не відповідає експерименту.

Методи балансу робіт і потужностей, як і метод верхньої оцінки, більш прості в рішенні, ніж інші, з їх допомогою можна знайти величину середнього тиску, але вони не дозволяють визначити розподіл напружень по перерізу зони деформації. Жоден з названих методів не дозволяє знайти поле зміщень і деформацій. Цю задачу вирішує варіаційний метод. Основні недоліки варіаційного методу - складність вибору відповідної функції, громіздкість рішення, детермінованість кінцевого результату при розрахунку зміщень і деформацій, що визначається видом прийнятої підходящої функції. Якщо задано параболічний розподіл зміщень по осі, вона буде залишатися такою при будь-якій зміні умов деформації. Тому для конкретного процесу деформації необхідно задавати певну відповідну функцію і встановлювати межі застосування отриманого рішення. Зазначені обмеження стосуються і до всіх розглянутих вище методів розв'язання задач з визначення напружень.

Усі розглянуті методи в результаті рішення дозволяють отримати формули для розрахунку напружень і деформацій в залежності від розмірів осередка деформації та фізичних констант (механічних властивостей матеріалу, показників тертя). Зауважимо, що в більшості випадків механічні характеристики металу та умови тертя приймають постійними (за деякими винятками, які ускладнюють рішення). Межі застосування отриманих теоретично формул встановлюють експериментально. У ряді випадків отримані рішення дозволяють отримати цілком прийнятні для практики результати.

Потужними методами вирішення пружних і певною мірою пластичних завдань є методи кін цевих та граничних елементів. Вони використовують варіаційні принципи забезпечення мінімуму роботи деформації і дозволяють знайти розподіл кінематичних і силових параметрів не тільки по перерізу, а й за об’ємом зони деформації. Рішення проводиться з використанням ЕОМ, вимагає складного програмування і не дозволяє отримати кінцеві розрахункові формули. Рішення в кожному випадку проводиться для конкретного процесу з використанням стандартного пакета програм. Прийнятність того чи іншого пакету програм у кожному випадку вимагає індивідуальної перевірки.