Теория пластического течения твердых тел

Теория пластического течения твердых тел

(курс лекций)

 

Лекция 1

Основные гипотезы и допущения. Силы и напряжения. Напряженное состояние точки. Напряжения на координатных площадках.

Лекція 2

Напруження на похилій площадці. Рівновага тетраедра. Головні напруги. Еліпсоїд напруг.

 

Головні напруги

Рівняння (12) показує, що величина нормальної напруги залежить від положення похилої площадки, тобто від значень напрямних косинусів. Компоненти напружень на координатних площадках не змінюються, вони є постійними коефіцієнтами в рівнянні (12), а напрямні косинуси - змінними. Якщо позначити а_х як х, а_у як у, а_z як z, а компоненти напружень як постійні коефіцієнти а_ij, то рівняння (12) запишеться у вигляді

А² =а₁₁x² + а₂₂y² + а₃₃z²  +  а₁₂xy + а₂₃yz + а₃₁zx,                        (a)

де А² - параметр, що визначає масштаб напруг. З аналітичної геометрії відомо, що такий тип рівнянь описує поверхню другого порядку (еліпсоїд, параболоїд, куля і т.д.), центр якої суміщений з початком координат (відсутні доданки, що містять змінні величини в першого ступеня). Якщо осі координат вибрати не довільно, а поєднати з трьома ортогональними радіусами поверхні другого порядку, то коефіцієнти перед добутками змінних а₁₂, а₂₃, а₃₁ звернуться в нулі. Цими коефіцієнтами в рівнянні (12) є дотичні компоненти тензора напружень. Система, на площадках як их відсутні дотичні напруги, називається головною системою координат. У кожній точці (в кожному елементарному об'ємі) є єдина головна система координат, всі інші системи називають довільними, на їх координатних площадках діють як нормальні, так і дотичні напруження. На головних площадках діють тільки нормальні напруги. Їх називають головними нормальними напруженнями. Для того, щоб відрізнити головну систему від довільної, її осі позначають цифрами 1,2,3, тими ж індексами позначають і головні нормальні напруження і головні площадки. Для спрощення аналізу перших вісь завжди направляють вздовж найбільшого, а третю - вздовж найменшого з головних напружень (з урахуванням їх знака), тобто σ₁≥σ₂≥σ₃.

Формули для розрахунку напружень на похилих площадках, розглянутих у головній системі координат, значно спрощуються, оскільки в них відсутні дотичні напрудення.

Компоненти повної напруги вздовж координатних осей (замість індексів x, y, z використовуємо індекси 1, 2, 3 відповідно) виражаються формулами

S₁ = σ₁a₁, S₂ = σ₂a₂, S₃ = σ₃a₃.                                                 (14)

Повне напруження

S² = σ₁²a₁² + σ₂²a₂² + σ₃²a₃².                                                         (15)

Нормальне напруження

σ = σ₁a₁² + σ₂a₂² + σ₃a₃².                                                           (16)

Дотичне напруження

τ² = σ₁²a₁² + σ₂²a₂² + σ₃²a₃² – (σ₁a₁² + σ₂a₂² + σ₃a₃²)².                  (17)

 

Еліпсоїд напруг

Визначимо конкретний вид поверхні другого порядку, яка характеризує напружений стан точки в головних осях. З рівнянь (14) отримуємо а₁ = S₁/σ₁, а₂ = S₂/σ₂, а₃ = S₃/σ₃. Враховуючи, що сума напрямних косинусів дорівнює одиниці, маємо

 (S₁/σ₁)² + (S₂/σ₂)² + (S₃/σ₃)² = 1.                                                  (18)

Для даної точки значення головних напружень σ₁, σ₂, σ₃ постійні, а повні напруги S₁, S₂, S₃ змінні і залежать від положення площадок, на яких вони діють, тобто рівняння (18) можна записати у вигляді

 (x/a)² + (y/b)² + (z/c)² = 1.                                                               (a)

Рівняння (а), яке випливає з аналітичної геометрії, являє собою рівняння еліпсоїда, півосі якого рівні головним напруженням (Рис.8), а довжина будь-якого відрізка від центру еліпсоїда до його поверхні являє собою повне напруження на даній похилій площадці. Ці напруги завжди менше найбільшого і більше найменшого з головних напружень.

 

Рис.8. Еліпсоїд напруг

 

Напружений стан, який описується еліпсоїдом напруг, називають об'ємним. У загальному випадку він описується трьома різними під величиною і за знаком головними напруженнями. Якщо дві головних напруги рівні між собою за величиною і за знаком, еліпсоїд напруг стає еліпсоїдом обертання. Якщо рівні між собою всі три головних напруги, еліпсоїд перетворюється в кулю, а напружений стан називають кульовим. При кульовому напруженому стані будь-яка система координат стає головною, а дотичні напруження відсутні на всіх площадках. Елементарний об’єм перебуває у стані рівномірного розтягування або стиснення.

Якщо одне з головних напружень відсутнє, еліпсоїд перетворюється в еліпс, а напружений стан називають плоским (дві, що залишилися напруги лежать в одній площині). Якщо відсутні дві головних напруги, еліпс стягується у відрізок прямої, а напружений стан називають лінійним (напруга діє по лінії). Таким чином, розрізняють три види напруженого стану - лінійне, плоске й об'ємне.

Лекція 3

Поняття про тензор напруження. Інваріанти тензора напруження. Головні дотичні напруження. Кульовий тензор і девіатор напруг. Октаедричні напруги. Інтенсивність дотичних напружень і узагальнене напругу. Діаграми Мора.

Поняття тензора напружен ня

Фізичні величини, які виражаються одним числом, називають скалярами. Величини, які характеризуються не тільки чисельним значенням, але й напрямком, називають векторами. Величини, значення та напрямки яких змінюються в багатовимірному просторі, називають тензорами. Тензорне числення - найбільш загальний вигляд математичних перетворень. З точки зору тензорного аналізу скаляри представляють собою тензори нульового рангу, вектори - тензори першого рангу. Величина, що змінюється в тривимірному просторі (вздовж трьох координатних осей), являє собою тензор другого рангу. Якщо величина змінюється не тільки по трьох напрямках, але залежить ще від часу, вона описується тензором третього рангу і т.д. З геометричної точки зору тензор другого рангу описує поверхню другого порядку. Оскільки напружений стан описується поверхнею другого порядку, воно являє собою симетричний тензор другого рангу. Симетрія тензора обумовлена законом парності дотичних напружень. У просторі тензор другого рангу описується трьома повними напругами або дев'ятьма їх компонентами - трьома компонентами нормальних і шістьма компонентами дотичних напружень. Тому таблиця в параграфі 3.2.1 представляє собою симетричний тензор другого рангу, який позначимо так

                           Т_σ =                                                                                         (19)

Внаслідок симетрії можна використовувати спрощену форму запису

                      Т_σ =                                                                                 (19,а)

Точки в тензорі (19, а) мається на увазі значення попарно рівних один одному дотичних напружень, але ніяк не нулі.

У головній системі координат тензор для тієї ж точки запишеться у вигляді

                  Т_σ =                                                     (19,б)          

З тензорами можна проводити різні математичні операції, в тому числі звичайні. Для складання двох тензорів необхідно скласти компоненти, що займають однакові позиції (з урахуванням їх знака), при множенні тензора на скаляр на нього множать всі компоненти тензора, при множенні двох тензорів перемножують їх компоненти, які стоять на однакових позиціях. Перераховані дії справедливі для тензорів одного і того ж рангу. Більш складні операції з тензорами в даному курсі не використовуються.

 

Головні дотичні напруги

Нормальні напруження біля матеріальної точки теоретично не обмежені за абсолютною величиною і за поєднання знаків (має лише дотримуватися певне співвідношення між компонентами напружень і механічними властивостями оброблюваного матеріалу, як буде показано нижче). Визначимо, яким може бути найбільше значення дотичних напружень. Для цього спочатку треба визначити площадкаи, на яких значення дотичних напружень екстремальні (максимальні або мінімальні). На головних площадках дотичні напруження відсутні, але з'являються на похилих площадках всередині головного куба. Очевидно, чим більше видалена похила площадка від головних площадок, тим більше величина діючих на ній дотичних напружень.

Досліджуємо на екстремум рівняння для розрахунку дотичних напружень у головних осях (17)

    τ²  = σ₁²a₁² + σ₂²a₂² + σ₃²a₃² – (σ₁a₁² + σ₂a₂² + σ₃a₃²)² .                                  (17)

    Висловимо один з направляючих косинусів через два інших, використовуючи рівняння (5)

а₃² = 1 – а₁²  - а₂² і підставимо його в рівняння (17)

τ² = σ₁²a₁² + σ₂²a₂² + σ₃²(1 – а₁² - а₂²) – [σ₁a₁² + σ₂a₂² + σ₃(1 – а₁² - а₂²)]². (26)

    Для визначення значень напрямних косинусів площадкаів, на яких діють екстремальні дотичні напруги, необхідно першу похідну рівняння (26) прирівняти нулю. Оскільки положення таких площадок визначається трьома напрямними косинусами, необхідно розглянути часткові похідні по кожному з них.

Візьмемо часткову похідну рівняння (26) за а₁ і прирівняємо нулю

(∂τ²/∂а₁) = 2σ₁²a₁ - 2σ₃²a₁ - 2 [σ₁a₁² + σ₂a₂² + σ₃(1 – а₁²  - а₂²)](2σ₁а₁ – 2σ₃а₃) = 0.

    Скорочуючи на 2(σ₁ – σ₃) і виносячи а₁ за дужки, отримуємо

            (σ₁ + σ₃ - 2σ₁a₁² - 2σ₂a₂² - 2σ₃ + 2σ₃a₁² + 2σ₃a₂²)а₁ + 0.

    Скорочувати на а₁ не можна, так як загубиться корінь а₁ = 0. Групуємо, міняємо знак і скорочуємо на 2

    [(σ₁ - σ₃)a₁² + (σ₂ - σ₃)a₂² – (σ₁ - σ₃)/2]a₁ = 0.                                  (27)

    Диференціюючи рівняння (26) за а₂, після аналогічних перетворень отримуємо

    [(σ₁ - σ₃)a₁² + (σ₂ - σ₃)a₂² – (σ₂ - σ₃)/2]a₂ = 0.                                  (28)

Якщо в рівняннях (27) і (28) покласти а₁=0 і а₂=0, то, використовуючи (5), знайдемо першу групу напрямних косинусів: а₁=0, а₂=0 і а₃=±1. Отримаємо площадку, нормаль до якої утворює прямі кути з двома осями і паралельна третьій осі. Це головна координатна площадка 102 (Рис.9), нормаллю до неї є вісь 3. На ній дотичні напруження відсутні (мінімальні). Виключаючи з рівняння (26) інші напрямні косинуси і проводячи аналогічні перетворення, отримаємо ще дві групи напрямних косинусів: а₁=0, а₂=±1, а₃=0 і а₁=±1, а₂=0, а₃=0, що відповідають двом іншим головним площадкам

 

Рис. 3.9. Г оловна площадка 102	Рис.10. Д іагональна площадка 23

 

Розглянемо інші групи площадок. Покладемо а₁=0, а₂≠0. Тоді з рівняння (28) маємо

 [(σ₁ - σ₃)0 + (σ₂ - σ₃)a₂² – (σ₂ - σ₃)/2] = 0; (σ₂ - σ₃)a₂² = (σ₂ - σ₃)/2; a₂²=½, a₂=± . З рівняння (5) отримуємо значення а₃=± . Таке значення косинусу відповідає куту 45º. Отримали групу напрямних косинусів а₁=0, а₂=± , а₃=± . Отже шукана площадка проходить під кутом 45º до осей 2 і 3 та паралельна осі 1 (перпендикуляр до площадкаа проходить під прямим кутом до першої осі, Рис.10). Площадки, що проходять через діагоналі паралельних граней головного куба, називають діагональними і позначають індексами тих двох осей, до яких вона проходить під кутом 45º. У даному випадку це площадка 23. Аналогічно знайдемо ще дві групи напрямних косинусів: а₁=± , а₂=0, а₃=±  і а₁=± , а₂=± , а₃=0. Ці групи характеризують дві інші площадки - 31 і 12.

У таблиці 3.1 приведені всі 6 груп напрямних косинусів, що визначають положення площадкаів з екстремальними значеннями дотичних напружень. Перші три групи визначають головні площадки, на яких дотичні напруги відсутні (мінімальні), інші три групи - діагональні площадкаи, на яких дотичні напруги досягають максимальних значень (Рис.11). Для напруженого стану, заданого еліпсоїдом обертання, дотичні напруги на двох діагональних площадках також дорівнюють нулю.

Дотичні напруги на діагональних площадках називають головними дотичними напруженнями.

 

Рис3.11. Діагональні площадкаи

Таблиця 3.1

    Значення напрямних косинусів екстремальних площадок

напрямні косинуси	Групи значень напрямних косинусів
	1	2	3	4	5	6
а1	0	0	±1	0	±	0
а2	0	±1	0	±	0	±
а3	±1	0	0	±	±	±

 

Знайдемо величину головних дотичних напружень, підставляючи в рівняння (17) значення напрямних косинусів, взятих з табл. 3.1:

τ₁₂ = (σ₁ – σ₂)/2, τ₂₃ = (σ₂ – σ₃)/2, τ₃₁ = (σ₃ – σ₁)/2.                             (29)

Індекси дотичного напруження показують, до яких осей площадка його дії нахилена під кутом 45º (див. Рис.10). Чисельно головні дотичні напруження дорівнюють половині різниці головних нормальних напруг. Найбільше за абсолютною величиною дотичне напруження дорівнює половині різниці екстремальних головних напруг σ₁ и σ₃, тобто

                             τ_мах = τ₃₁ = ±(σ₃ – σ₁)/2.

З рівнянь (29) випливає, що сума трьох головних дотичних напружень дорівнює нулю:

                                  τ₁₂ + τ₂₃ + τ₃₁ = 0,                                    (30)

отже, знаки двох напруг протилежні знаку третього. Якщо σ₁=σ₂=σ₃, то всі дотичні напруження дорівнюють нулю (раніше було відзначено, що при кульовому напруженому стані всі площадки - головні). Визначимо величину нормальних напружень на діагональних площадках, підставляючи значення напрямних косинусів з табл. 3.1 в рівняння (16). Отримаємо:

    σ₁₂ = (σ₁ + σ₂)/2; σ₂₃ = (σ₂ + σ₃)/2; σ₃₁ = (σ₃ + σ₁)/2,              (31)

то є нормальні напруги на діагональних площадках рівні напівсумі відповідних головних нормальних напружень.

 

Октаедричні напруги

Площадка, однаково нахилена до всіх осей, називається октаедричн ою. Вісім таких площадок (у всіх октант) утворюють восьмигранник - октаедр. Напрямні косинуси для них рівні між собою, тобто а₁=а₂=а₃=а. Звідси 3а²=1, а²=1/3.

Нормальні напруження на октаедричній площадці знайдемо, підставивши значення напрямних косинусів в рівнянні (16)

   σ_окт = σ₁а² + σ₂а² + σ₃а² = (σ₁ + σ₂ + σ₃)/3 = σ_ин1/3 = σ_ср                 (34)

Отже, нормальне напруження на октаедричній площадці дорівнює середньому і являє собою інваріант.

Дотичне напруження на октаедричній площадці визначимо, підставивши значення напрямних косинусів в рівняння (17)

τ_окт² = (1/3) (σ₁ + σ₂ + σ₃) – (1/9) (σ₁ + σ₂ + σ₃)²;                      (35)

τ_окт² = (1/9) (3σ₁² + 3σ₂² + 3σ₃² - σ₁² – σ₂² – σ₃² - 2σ₁σ₂ - 2σ₂σ₃- 2σ₃σ₁) =

                  (2/9) (σ₁² + σ₂² + σ₃² - σ₁σ₂ - σ₂σ₃- σ₃σ₁).                             (35, а)

Отриманий вираз перетворимо до виду

    τ_окт² = (1/9)[(σ₁ – σ₂)² + (σ₂ – σ₃)² + (σ₃ – σ₁)²],                            (36)

    звідки

    τ_окт = ± (1/3)[(σ₁ – σ₂)² + (σ₂ – σ₃)² + (σ₃ – σ₁)²]^0,5,                       (37) 

    чи, з (29) τ_окт = ± (2/3) (τ₁₂² + τ₂₃² + τ₃₁²)^0.5.                              (38)

    Доведемо, що τ_окт є також інваріант. Візьмемо квадрат першого інваріанту у головних осях (23)

    (σ₁ + σ₂ + σ₃) ² = σ₁² + σ₂² + σ₃² + 2σ₁σ₂  + 2σ₂σ₃  + 2σ₃σ₁.           (39)

    Щоб перейти до виразу, що стоїть в дужках у рівнянні (35, а), потрібно з правої частини рівняння (39) відняти 3 (σ₁σ₂ + σ₂σ₃ + σ₃σ₁), тобто потроєною другий інваріант напруг, виражений у головних осях (24). Таким чином,

                     τ_окт² = (2/9)(σ_ин1² - 3σ_ин2).                                                    (40)

    Рівняння (40) дозволяє виразити октаедричній дотичне напруження в довільній системі координат, використовуючи ліві частини виразів першого і другого інваріанта (23) і (24). Підставивши їх значення в рівняння (40), після перетворень одержуємо

τ_окт = ± (1/3)[(σ_x – σ_y)² + (σ_y – σ_z)² +(σ_z – σ_x)² + 6(τ_xy² + τ_yz² +  τ_zx²]^0,5. (41)

    Значення октаедричній і максимального дотичного напруг близькі між собою,         0,941 > (τ_окт / τ_мах) > 0,816.

 

Діаграми Мора.

Діаграми напруг за О.Мором дозволяють у графічному вигляді представити на площині всю сукупність напруг, що діють на будь-яких площадках (напружений стан точки). Обгрунтуємо їх будову, використовуючи такі формальні перетворення у головних осях.

Сума квадратів нормального і дотичного напруг дають повну напругу на площадку

                     σ² + τ² = σ₁²а₁² + σ₂²а₂² + σ₃²а₃².                            (а)

Нормальное напруження на площадці

                      σ = σ₁а₁² + σ₂а₂² + σ₃а₃².                                        (б)

Обидві частини рівняння (а) помножимо на (σ₂ + σ₃) і почленно віднімемо з рівняння (б). До лівої і правої частини отриманого рівняння додамо ліву і праву частини рівняння для напрямних косинусів

                          1 = а₁² + а₁² + а₁² ,                                                (1)

Попередньо помноживши обидві частини рівняння (а) на σ₂σ₃. Отримаємо:

σ2 + τ²  - σ(σ₂ + σ₃) + σ₂σ₃ = σ₁²а₁² + σ₂²а₂² + σ₃²а₃² –

     - (σ₂ + σ₃)(σ₁а₁² + σ₂а₂² + σ₃а₃²) + σ₂σ₃(а₁² + а₁² + а₁²)                       (в)

Додаючи до обох частин рівності (у)[(σ₂+σ₃)/2]², після простих перетворень отримаємо

  [σ – (σ₂ +σ₃)/2]² + τ² = [(σ₂ - σ₃)/2]² + а₁²(σ₁ - σ₃) (σ₁ – σ₂).           (46, а)

       Розглянемо ці перетворення.

Сума квадратів нормального і дотичного напружень на похилій площадці дає квадрат повної напруги

       σ² + τ² = σ₁²а₁² + σ₂²а₂² + σ₃²а₃²                                                                                                                             (а)

Возмем рівняння для розрахунку нормального напруження на похилій площадці (16)

        σ = σ₁а₁² + σ₂а₂² + σ₃а₃²

та помножимо його на (σ₂ + σ₃); отримане рівняння (б)

       σ(σ₂ + σ₃) = σ₁а₁²(σ₂ + σ₃) + σ₂а₂²(σ₂ + σ₃) + σ₃а₃²(σ₂ + σ₃)                                       (б)

           почленно віднімемо з рівняння (а)           

σ² + τ²  - σ(σ₂ + σ₃) = σ₁²а₁² + σ₂²а₂² + σ₃²а₃² – σ₁а₁²(σ₂ σ₃) + σ₂а₂²(σ₂ + σ₃) + σ₃а₃²(σ₂ + σ₃). (в)

       Повернемося до рівняння (5)

       1 = а₁²+ а₂²+ а₃².

           Помножимо його на σ₂σ₃ і почленно додамо до рівняння (в)

         σ² + τ²  - σ(σ₂ + σ₃) + σ₂σ₃= σ₁²а₁² + σ₂²а₂² + σ₃²а₃² – σ₁а₁²(σ₂σ₃) -

                  - σ₂а₂²(σ₂ + σ₃) - σ₃а₃²(σ₂ + σ₃) + σ₂σ₃(а₁²+ а₂²+ а₃²).                                    (г)

До обох частин рівняння (г) додамо складова [(σ₂+σ₃)/2]², після деяких перестановок доданків отримуємо

       σ² - σ(σ₂ + σ₃) + σ₂σ₃ +  [(σ₂ + σ₃)/2]² + τ² = σ₁²а₁² + σ₂²а₂² + σ₃²а₃² – σ₁а₁²(σ₂ + σ₃) -

                  - σ₂а₂²(σ₂ + σ₃) - σ₃а₃²(σ₂ + σ₃) + σ₂σ₃(а₁²+ а₂²+ а₃²) + [(σ₂ + σ₃)/2]².

Після розкриття дужок, і перенесення σ₂σ₃ в праву частину маємо

             σ² - σ(σ₂ + σ₃) +  [(σ₂ + σ₃)/2]² + τ² = - σ₂σ₃ + σ₁²а₁² + σ₂²а₂² + σ₃²а₃² -

– σ₁σ₂а₁²  – σ₁σ₃а₁² – σ₂²а₂² – σ₂σ₃а₂² - σ₂σ₃а₃²- σ₃²а₃² + σ₂σ₃а₁² + σ₂σ₃а₂² + σ₂σ₃а₃² +

– + [(σ₂ + σ₃)/2]².

Три перших доданків лівій частині представляють собою квадрат різниці

  [σ - (σ₂ + σ₃)/2]², права частина після перетворень дорівнює

  σ₁²а₁² – σ₁σ₂а₁²  – σ₁σ₃а₁² + σ₂σ₃а₁² + [(σ₂ - σ₃)/2]² =  [(σ₂ - σ₃)/2]² + а₁²(σ₁ - σ₃) (σ₁ – σ₂),

остаточно [σ - (σ₂ + σ₃)/2]² + τ² =  [(σ₂ - σ₃)/2]² + а₁²(σ₁ - σ₃) (σ₁ – σ₂), тобто отримали рівняння (46, а).

    Після аналогічних перетворень отримаємо ще два рівняння

[σ – (σ₃ +σ₁)/2]² + τ² = [(σ₃ – σ₁)/2]² + а₂²(σ₂ – σ₁) (σ₂ – σ₃).    (46, б)

[σ – (σ₁ +σ₂)/2]² + τ² = [(σ₁ – σ₂)/2]² + а₃²(σ₃ – σ₂) (σ₃ – σ₁).    (3,46, в)

    З аналітичної геометрії відомо рівняння кола

                  (x – x₀)² + (y – y₀)² = R².

    Порівняння його з рівняннями (46) показує, що вони також описують кола, центри яких розташовані на осі абсцис і відстоять від початку координат на (σ +σ₃)/2, (σ +σ₃)/2, (σ +σ₃)/2 відповідно для рівнянь (46,а), (46,б), (46,в). Праві частини цих рівнянь, що представляють собою квадрат радіусу кола, містять змінне значення одного з направляючих косинусів. Тому рівняння (46) описують сімейства концентричних кіл. Визначимо напрями зміни розмірів цих кіл.

У випадку, якщо спрямовує косинус (окремо) дорівнює нулю, радіуси кіл, описаних рівняннями (46) дорівнюють полуразность відповідних головних напруг: R₁=(σ₂–σ₃)/2, R₂=(σ₁–σ₃)/2,  R₃=(σ₁–σ₂)/2. У рівняннях (а) і (в) співмножники направляючого косинуса мають однакові знаки (нагадаємо умова індексації головних напруг: σ₁≥σ₂≥σ₃), в рівнянні (б) - протилежні. Отже, радіуси кіл (а) і (в) при збільшенні значень напрямних косинусів будуть збільшуватися, а радіуси кіл (б) зменшуватися.

Проводячи окружності по рівняннях (46) в координатах σ-τ при нульових значеннях напрямних косинусів, отримуємо діаграму Мора (Рис.12). Радіуси кіл чисельно рівні головним дотичним напруженням. Їх центри відстоять від осі τ на відстанях (σ₂+σ₃)/2, (σ₃+σ₁)/2, (σ₁+σ₂)/2. У залежності від знаків головних напружень діаграма може мати різні положення щодо осі τ. Пари кореспондуються значення σ і τ лежать або на самих колах, або всередині заштрихованого криволінійного трикутника, обмежених проведеними колами (наприклад, для точки Р). Поза цього трикутника напружень немає. При необхідності шляхом геометричних побудов можна визначити нормальне і дотичне напруження на похилій площадці за заданими кутах нахилу або вирішити зворотну задачу. На рис. 3.12 вказані також кути нахилу α і значення напрямних косинусів для характерних точок діаграми Мора.

            Рис. 3.12. Диаграмма Мора

Лекція 4

Деформований стан точки. Компоненти деформації. Тензор мал ої деформації. Деформації в околицях матеріальної точки. Швидкість деформації. Схеми дії напруг і деформацій

 

Швидкість деформації

Для більшості процесів формозміни важливі не тільки напружений і деформований стан, але і швидкості зміни параметрів процесу в часі, особливо деформацій. Швидкістю деформації називають зміну компонент відносної деформації в одиницю часу t. Для змінних процесів знаходять перші похідні деформації за часом

                           ξ = dε/dt.

    Аналогічно знаходяться компоненти швидкості зсувних деформацій Розмірність швидкості деформації - секунда в мінус першого ступеня (безрозмірна величина ділиться на час, с^-1). Компоненти швидкості деформації утворюють симетричний тензор другого рангу, за зовнішнім виглядом аналогічний тензора деформації, що включає перші похідні за часом всіх дев'яти компонент деформації.

Для швидкостей деформації можна виділити головні осі, за якими діють головні швидкості лінійних деформацій, а швидкості зрушень відсутні. За формулами, аналогічним формулами (53) - (55), знаходять інваріанти тензора швидкостей деформації, за іншими - компоненти швидкості деформації на октаедричній і діагональних площадках, значення інтенсивностей швидкості деформації ξ_і. Тензор швидкості деформації можна розкласти на кульовий тензор і девіатор швидкості деформації.

Для рівномірно протікають процесів швидкості деформації визначаються за умовою  ξ_i=ε_i/t.

    У ряді випадків задачі теорії пластичності вирішуються з використанням швидкостей зміни компонент напружень за часом. У цьому випадку тензор швидкостей напруг аналогічний тензору напружень, але включає перші похідні дев'яти компонент напружень за часом. Всі отримані раніше співвідношення можна за аналогією уявити для швидкостей напруг.

 

Лекція 5

Взаємозв'язок компонент напруженого і деформованого стану в об’ємі тіла. Зв'язок зміщень і деформацій. Нерозривність деформацій. Диференціальні рівняння рівноваги в прямокутній системі координат. Плоскі задачі. Осесиметрична задача. Рівномірна деформація

 

Нерозривність деформацій

Компоненти лінійних і зсувних деформацій не можуть виникати незалежно один від одного. Для визначення залежності між ними розглянемо перші два рівняння системи (63). Перше з них продиференціюємо двічі по ∂y, друге - двічі по∂x

∂²ε_х/∂у² = ∂³u_x/∂х∂у²,       ∂²ε_у/∂х² = ∂³u_у/∂у∂х².

Складаємо ці рівняння почленно

∂²ε_х/∂у² + ∂²ε_у/∂х² = ∂³u_x/∂х∂у² + ∂³u_у/∂у∂х² = ∂²/∂х∂у [(∂u_x/∂у + ∂u_у/∂х)]

(Результат диференціювання не залежить від того, в якій послідовності воно проводиться).

Вираз в дужках вказано деформацію зсуву γxy у площині хоу (див. (63)). Розглядаючи попарно інші рівняння системи (63), отримуємо рівняння зв'язку між лінійними і зсувними деформаціями в кожній з координатних площин

               ∂²ε_х/∂у² + ∂²ε_у/∂х² = ∂² γ_xy /∂х∂у

                ∂²ε_y/∂z² + ∂²ε_z/∂y² = ∂² γ_yz /∂y∂z                                  (64)

                ∂²ε_z/∂х² + ∂²ε_x/∂z² = ∂² γ_zx /∂z∂x

З рівнянь (64) випливає, що дві лінійні деформації визначають зрушувальну деформацію у цій площині. За допомогою інших перетворень можна отримати зв'язок між кожною з лінійних деформацій і трьома зрушеннями

(∂²/∂х)(∂γ_zx /∂y + ∂γ_xy /∂z - ∂γ_yz /∂x) = 2∂²ε_х/∂у∂z

(∂²/∂y)(∂γ_xy /∂z + ∂γ_yz /∂x - ∂γ_zx /∂y) = 2∂²ε_y/∂z∂x                            (65)

(∂²/∂z)(∂γ_yz /∂x + ∂γ_zx /∂y - ∂γ_xy /∂z) = 2∂²ε_z/∂x∂y

Із системи (65) випливає, що три зсувні деформації визначають і всі три лінійні деформації. Рівняння (64) і (65) називають рівняннями нерозривності, або рівняннями спільності. Вони є математичним відображенням умови суцільності тіл, його безперервності до і після деформації. Ці рівняння не є новими, так як отримані перетворенням системи (63) і використовуються або замість рівнянь (63) при вирішенні пластичних задач, або для контролю отриманих рішень.

У рівняннях (64) і (65) можна простежити енергетичний сенс, який полягає в тому, що принцип нерозривності деформації та суцільності тіла відповідає вимозі витрати мінімальної енергії, що витрачається на деформацію. Для порушення суцільності (появи тріщин, поділу тіла на частини) потрібна велика витрата енергії, ніж на формозмінення без руйнування. Принцип мінімуму енергії деформації визначає протягом металу у всіх процесах обробки тиском. Формозміна пластично деформованих тіл відбувається таким чином, що повна енергія (робота) деформації, що витрачається в кожен момент часу, мінімальна для даних умов (форми інструменту, стану поверхонь інструмента, схеми напруженого стану та ін.) У той же час відповідно до постулату Друккеру прирощення роботи пластичної деформації в кожен момент часу має максимальне значення в порівнянні з будь-яким іншим шляхом деформування за умови зміцнення металу в результаті деформації.

 

Лекція 6

Диференціальні рівняння рівноваги в прямокутній системі координат. Плоскі задачі. Осесиметрична за дача. Рівномірна деформація

Плоскі задачі

Рішення об'ємних задач складне і займає багато часу. Для полегшення рішення спрощують схему процесу, приймаючи, що або одна головна напруга дорівнює нулю (плоск ий напружений стан), або одна з головних деформацій дорівнює нулю (плоск ий деформований стан). Обидва ці підходи об'єднують загальною назвою «плоскі задачі». У деяких випадках плоский стан реально має місце. Наприклад, при розтягуванні листа напругами, нормальними до його периметру (рис.21),

 

Рис.21. Схема плоско ї задачи

відсутні напруги, нормальні до його поверхні, і завдання є плоскою напруженою. Якщо плинність металу завширшки заборонено стінками інструменту, його розміри зменшуються по висоті і збільшуються по довжині. В інших випадках просто нехтують наявністю однієї з компонент напружень або деформацій, якщо їх величина помітно менше в порівнянні з іншими компонентами. Такі випадки широко поширені на практиці.

Плоскі завдання мають такі особливості:

- Компоненти напруг і деформацій не залежать від однієї з координат і залишаються постійними вздовж цієї координати;

- Єдине значення компоненти вимагає, щоб ця компонента була головною;

- Майданчики, нормальні до цієї компоненті, є головними майданчиками, на них відсутні дотичні напруги; всі компоненти дотичних напружень з індексом цієї осі дорівнюють нулю (дотичні напруги з другим індексом, відповідним даної головному майданчику, відсутні, а дотичні напруги з напрямком даної осі дорівнюють нулю внаслідок парності дотичних напружень).

- Головне нормальне напруження по цій осі або дорівнює нулю (плоске напружений стан), або дорівнює напівсумі двох інших головних напруг (плоске деформований стан).