Кульовий тензор і девіатор напруг

Формозміна тіла (деформація) виникає під дією дотичних напружень (по тих напрямках, по яких різницю головних напружень максимальна). Всебічне розтягнення або стиск викликають лише пружні зміни об'єму тіла, яке зникає після зняття навантаження незалежно від її величини (при розтягуванні можливе руйнування тіла). Тому в кожному напруженому стані можна виділити середнє значення напружень, що викликає тільки пружну зміну об’єму. Його називають «гідростатичним», так як в рідині - напруги у всіх точках однакові. Частина, що залишилася тензора напружень відповідає за зміну форми тіла (воно може бути пружним або пластичним). Позначимо середнє значення напруг σ_ср, тоді:

             σ_ср = (σ₁ + σ₂ + σ₃)/3  =σ_ін1/3 = (σ_x + σ_y + σ_z)/3.      

    Складемо тензор з середніх напруг, його називають шаровим, так як він описує кульове напружений стан

                           Т_σ^º =                                                  (32)

Якщо Т_σ^º>0, он викликає пружне збільшення об’єму, якщо Т_σº<0 - зменшення. При Т_σº=0, об’єм не змінюється. Віднімемо цей тензор з тензора напружень:

 

Т_σ - Т_σ^º =  -  = = D_σ,

чи

                         Т_σ - Т_σ^º  = D_σ.                                                      (33)

 

Тензор D_σ називають девіатором напруг. Розкладання тензора на кульовий тензор і девіатор являє собою формальну математичну операцію, яка полегшує подальший аналіз напруженого стану. Воно не означає, що тіло знаходиться під дією двох незалежних систем напруг. Аналогічно розкладання повної напруги на компоненти не означає, що на тіло роздільно діють нормальні і дотичні напруження.

 

Октаедричні напруги

Площадка, однаково нахилена до всіх осей, називається октаедричн ою. Вісім таких площадок (у всіх октант) утворюють восьмигранник - октаедр. Напрямні косинуси для них рівні між собою, тобто а₁=а₂=а₃=а. Звідси 3а²=1, а²=1/3.

Нормальні напруження на октаедричній площадці знайдемо, підставивши значення напрямних косинусів в рівнянні (16)

   σ_окт = σ₁а² + σ₂а² + σ₃а² = (σ₁ + σ₂ + σ₃)/3 = σ_ин1/3 = σ_ср                 (34)

Отже, нормальне напруження на октаедричній площадці дорівнює середньому і являє собою інваріант.

Дотичне напруження на октаедричній площадці визначимо, підставивши значення напрямних косинусів в рівняння (17)

τ_окт² = (1/3) (σ₁ + σ₂ + σ₃) – (1/9) (σ₁ + σ₂ + σ₃)²;                      (35)

τ_окт² = (1/9) (3σ₁² + 3σ₂² + 3σ₃² - σ₁² – σ₂² – σ₃² - 2σ₁σ₂ - 2σ₂σ₃- 2σ₃σ₁) =

                  (2/9) (σ₁² + σ₂² + σ₃² - σ₁σ₂ - σ₂σ₃- σ₃σ₁).                             (35, а)

Отриманий вираз перетворимо до виду

    τ_окт² = (1/9)[(σ₁ – σ₂)² + (σ₂ – σ₃)² + (σ₃ – σ₁)²],                            (36)

    звідки

    τ_окт = ± (1/3)[(σ₁ – σ₂)² + (σ₂ – σ₃)² + (σ₃ – σ₁)²]^0,5,                       (37) 

    чи, з (29) τ_окт = ± (2/3) (τ₁₂² + τ₂₃² + τ₃₁²)^0.5.                              (38)

    Доведемо, що τ_окт є також інваріант. Візьмемо квадрат першого інваріанту у головних осях (23)

    (σ₁ + σ₂ + σ₃) ² = σ₁² + σ₂² + σ₃² + 2σ₁σ₂  + 2σ₂σ₃  + 2σ₃σ₁.           (39)

    Щоб перейти до виразу, що стоїть в дужках у рівнянні (35, а), потрібно з правої частини рівняння (39) відняти 3 (σ₁σ₂ + σ₂σ₃ + σ₃σ₁), тобто потроєною другий інваріант напруг, виражений у головних осях (24). Таким чином,

                     τ_окт² = (2/9)(σ_ин1² - 3σ_ин2).                                                    (40)

    Рівняння (40) дозволяє виразити октаедричній дотичне напруження в довільній системі координат, використовуючи ліві частини виразів першого і другого інваріанта (23) і (24). Підставивши їх значення в рівняння (40), після перетворень одержуємо

τ_окт = ± (1/3)[(σ_x – σ_y)² + (σ_y – σ_z)² +(σ_z – σ_x)² + 6(τ_xy² + τ_yz² +  τ_zx²]^0,5. (41)

    Значення октаедричній і максимального дотичного напруг близькі між собою,         0,941 > (τ_окт / τ_мах) > 0,816.