A. Вычисление приближенных дирекционных углов и расстояний

N пунктов	Yi(м)	Xi(м)	tg(r) / αi0	Si0 (м)
Пункт P Пункт T1	17184.386 17056.497 127.889	18144.584 18515.328 -370.744	-0.344953 160°58' 4.7"	392.182
Пункт P Пункт T2	17184.386 17599.190 -414.804	18144.584 18359.752 -215.168	1.927816 242°34'59.7"	467.289
Пункт P Пункт T3	17184.386 17274.216 -89.830	18144.584 17814.943 329.641	-0.272508 344°45'23.7"	341.662
Пункт P Пункт T4	17184.386 16842.223 342.163	18144.584 17731.160 413.424	0.827632 39°36'44.1"	536.652
Пункт P Пункт T5	17184.386 16536.949 647.437	18144.584 18287.079 -142.495	-4.543586 102°24'44.5"	662.933

 

 

B. Вычисление свободных членов уравнений поправок

Пункт	αi0	αi (изм)	l= αi0-αi	l^2
Пункт T1	160°58' 4.7"	160°58' 4.7"	-0.0	0.00
Пункт T2	242°34'59.7"	242°34'59.7"	0.0	0.00
Пункт T3	344°45'23.7"	344°45'25.6"	-1.9	3.61
Пункт T4	39°36'44.1"	39°36'50.7"	-6.6	43.56
Пункт T5	102°24'44.5"	102°24'43.4"	1.1	1.21

 

3. Вычисление коэффициентов параметрических уравнений поправок

Для этого дирекционные углы направлений на пункт Р округляют до целых минут. Для того, чтобы не работать с большими числами при ручном вычислении, коэффициенты (а) и (b) делят на 10000, а при вычислении коэффициентов a и b расстояние S берется в километрах.

N	альфа	(a)	(b)	Sкм	а	b	l	a+b+l
T1	160°58'	-6.73	-19.50	0.392	-17.2	-49.7	-0.0	-66.9
T2	242°35'	18.31	-9.50	0.467	39.2	-20.3	0.0	18.9
T3	344°45'	5.42	19.90	0.342	15.9	58.2	-1.9	72.2
T4	39°37'	-13.15	15.89	0.537	-24.5	29.6	-6.6	-1.5
T5	102°25'	-20.14	-4.43	0.663	-30.4	-6.7	1.1	-36.0
Сумма:	-17.0	11.1	-7.4	-13.3

 

 

4. Вычисление коэффициентов нормальных уравнений

 

N напр	аа	ab	al	as	bb	bl	bs
T1	294.1	852.7	0.0	1146.9	2472.0	0.0	3324.7
T2	1535.3	-796.4	0.0	738.9	413.1	-0.0	-383.3
T3	251.9	924.5	-30.2	1146.3	3392.7	-110.7	4206.6
T4	600.5	-725.6	161.7	36.7	876.7	-195.4	-44.3
T5	923.4	203.2	-33.4	1093.2	44.7	-7.4	240.6
Σ Σ	3588.3	469.6	98.2	4161.9	7199.3	-313.5	7344.3

 

При вычислении коэффициентов нормальных уравнений поправок выполняется подсчет сумм коэффициентов as=aa+ab+al и bs=ab+bb+bl. Контролем правильности вычислений коэффициентов нормальных уравнений является равенство [as]=[aa]+[ab]+[al] и [bs]=[ab]+[bb]+[bl].

 

5. Решение нормальных уравнений

 

I. [aa]dx+[ab]dy+[al]=0

II. [ab]dx+[bb]dy+[bl]=0

 

Или в числовом выражении для нашего примера

 

3588.3dx + 469.6dy + 98.2 = 0

469.6dx + 7199.3dy +(-313.5)= 0

 

Данные уравнения решают способом детерминантов. Для этого необходимо найти определители системы уравнений, с учетом правил линейной алгебры и учетом расстановки знаков при вычислении миноров:

 

(-1)^(n-1)*(вычисление определителя)

 

Где n – номер “вычеркнутого” столбца.

Итак:

 

А. Основной определитель:

D = [aa][bb] - [ab][ab]

B. Определитель для столбца Х

D_x = [ab][bl] - [bb][al]

С. Определитель для столбца Y

D_y = [ab][al] - [aa][bl]

Вычислив определители, найдем поправки в приближенные координаты:

и

Сведем данные вычисления в таблицу:

 

[aa][bb]	25833328.5	[ab][bl]	-147197.4	[ab][al]	46094.4
-[ab][ab]	220526.3	-[bb][al]	706656.8	-[aa][bl]	-1124759.4
D	25612802.2	Dx	-853854.1	Dy	1170853.8
		dx = -0.033	dy = 0.046

С учетом того, что при вычислении коэффициентов (а) и (b) выполнено деление на 10000, а при вычислении коэффициентов а и b S взято в километрах, размерность вычисленных поправок – дециметры. Для перевода в метры, их необходимо домножить на 0.1

dx =-0.033 Px = D/[bb] 3557.7

dy = 0.046 Px = D/[aa] 7137.8

 

Перед тем, как вычислить окончательно уравненные координаты определяемого пункта, необходимо вычислить поправки в измеренные дирекционные углы и выполнить контроль вычисления поправок, что будет являться окончательным контролем правильности составления нормальных уравнений.

 

6. Вычисление поправок v и уравнивание дирекционных углов.

Поправки вычисляют в соответствии с формулой

N	adx	bdy	l	v	αизм	αиспр	V^2
	0.57	-2.27	-0.00	-1.70	160°58'04.7"	160°58'03.0"	2.9
	-1.31	-0.93	0.00	-2.24	242°34'59.7"	242°34'57.5"	5.0
	-0.53	2.66	-1.90	0.23	344°45'25.6"	344°45'25.8"	0.1
	0.82	1.35	-6.60	-4.43	39°36'50.7"	39°36'46.3"	19.6
	1.01	-0.31	1.10	1.81	102°24'43.4"	102°24'45.2"	3.3
	[V^2] = 30.8

 

7. Контроль вычисления поправок.

Контролем вычисления поправок служит уравнение [al]dx+[bl]dy+[ll]=[v²]

 

[al]dx	[bl]dy	[ll]	[v^2]
-3.3	-14.3	48.4	30.8

 

Убедившись в правильности составления и решения нормальных уравнений поправок можно приступить к окончательному вычислению уравненных координат определяемого пункта и выполнить оценку точности измерений.

 

8. Окончательно уравненные координаты пункта P

 

X уравн. = X’ + 0.1dx = 18144.581

Y уравн. = Y’ + 0.1dy = 17184.391

 

9. Оценка точности

 

Для определения среднеквадратических погрешностей вычисленных координат определяемого пункта необходимо вычислить веса:

 

Px = D/[bb] = 3557.7

Py = D/[aa] = 7137.8

Тогда

 

 

В вычислениях присутствует цифра 10. В нашем примере она появилась из вычисления коэффициентов (а) и (b).

 

 

10. Вычисление дирекционных углов и расстояний по уравненным координатам

 

Данные вычисления являются окончательным контролем всех вычислений.

 

N пунктов	Yi(м)	Xi(м)	tg(r) / αi0	Si0 (м)
Пункт P Пункт T1	17184.391 17056.497 127.894	18144.581 18515.328 -370.747	-0.344962 160°58'3.0"	392.186
Пункт P Пункт T2	17184.391 17599.190 -414.799	18144.581 18359.752 -215.171	1.927765 242°34'57.5"	467.287
Пункт P Пункт T3	17184.391 17274.216 -89.825	18144.581 17814.943 329.638	-0.272497 344°45'25.8"	341.657
Пункт P Пункт T4	17184.391 16842.223 342.168	18144.581 17731.160 413.421	0.827650 39°36'46.3"	536.652
Пункт P Пункт T5	17184.391 16536.949 647.442	18144.581 18287.079 -142.498	-4.543512 102°24'45.2"	662.938