Привязка к отдалённым пунктам государственной геодезической сети

 

Координаты пункта могут быть определены прямой и комбинированной засечками с двух исходных пунктов или обратной засечкой по трем исходным пунктам. В этих случаях координаты пункта будут получены по необходимому числу исходных пунктов и измерений. Засечки, в которых используется необходимое число измерений, называют однократными. В этом случае координаты, определенные из однократных засечек, будут бес­контрольными.

Для того чтобы иметь контроль правильности определения координат, найденных из засечек, необходимо использовать избыточные измерения. За­сечки, в которых для получения координат пункта используют избыточное число пунктов и измерений, называют многокра­тными.

 

Прямой многократной засечкой называется определение поло­жения пункта путем измерения углов или направлений на опре­деляемый пункт не менее чем с трех твердых пунктов, координаты которых известны.

Обратной многократной засечкой называется определение поло­жения пункта путем измерения на этом пункте углов или направлений не менее чем на четыре твердых пункта, координаты которых известны.

Наличие избыточных измерений в многократных засечках приводит к уравнительным вычислениям.

Метод наименьших квадратов рассматривает два основных способа уравнивания: параметрический и коррелатный. Уравни­вание можно выполнять любым из этих способов. Оба дают одни и те же значения для уравниваемых величин, но объем вычисли­тельного труда при решении конкретных задач будет разный.

При уравнивании результатов измерений в многократных за­сечках предпочтение отдают параметрическому способу. В этом способе число нормальных уравнений, которое предстоит решать при любом числе избыточных измерений, будет равно числу неиз­вестных. В многократных засечках неизвестных всегда два — координаты х и у искомого пункта.

Известно, что в параметрическом способе уравнивания каждое неизвестное (параметр) представляют в виде суммы двух слагае­мых: приближенного значения и поправки к нему.

Для искомых координат х и у пункта Р это будет выражаться так:

 

(36).

Приближенные значения координат x_o и у_о получают из реше­ния однократных засечек, а поправки и — из уравнивания результатов измерений по методу наименьших квадратов пара­метрическим способом с использованием дифференциальных фор­мул дирекционного угла.

 

Дифференциальные формулы дирекционного угла

Пусть имеем линию АВ (рис. 9, а), координаты ее концов и заданы. Дирекционный угол этой линии можно вычислить по формуле

.

Предположим, что точка В переместилась в положение В', координаты этой точки получили приращение и . В соответ­ствии с этим дирекционный угол линии АВ изменится на вели­ чину , но так как и — величины малые, то можно счи­тать, что угол изменился на величину ().

Установим связь между изменением координат конечной точки отрезка прямой и изменением дирекционного угла этого отрезка.

 

рис. 9

 

Дифференцируя формулу для вычисления , получим

 

.

Так как

,

то можно записать

.

Введем обозначения

(38),

тогда получим изменение дирекционного угла

(39).

Если конечная точка В линии АВ сохраняет свое положение, а перемещается начальная точка А, изменяются ее координаты на и (8, б), то очевидно, что между изменением координат точки А и изменением дирекционного угла линии АВ существует связь, выражаемая формулой (39), только коэффициенты при и будут иметь знаки, противо­положные знакам при коэффициентах и . В этом случае формула 39 примет вид

(40).

Формулы (39) и (40) называются дифференци­альными формулами дирекционного угла.

В общем случае (рис. 8, в), когда изменяется положение обоих концов линии АВ, дифференциальная формула принимает вид

 

(41).

Прямая однократная засечка

Обратимся к рисунку 10.

Точки А и B – имеют координаты (X_a. Y_a) и (X_b. Y_b)_. С этих точек измерены углы b₁ и b₂ на определяемую точку Р. Требуется определить координаты точки Р (X_р. Y_р)

 

Рис. 10

 

Решение задачи сводится к определению координат точки Р – точки пересечения двух прямых АР и ВР заданных дирекционными углами α₁ и α₂.

Для нахождения этих дирекционных углов, необходимо определить дирекционный угол направления АВ.

Дирекционный угол направления АВ найдем из решения обратной геодезической задачи.

.

Тогда дирекционный угол направления АР (α1) для рис.10 найдем вычитанием из дирекционного угла направления АВ измеренного угла b1

.

Аналогично получим дирекционный угол направления ВР

 

.

Составим уравнения для данных направлений. Из решения обратной геодезической задачи следует:

 

(42).

 

Преобразуем уравнения (42)

 

,

раскроем скобки

-

и решим их совместно. Для этого вычтем из первого уравнения второе.

 

.

 

Выполнив преобразования, получим окончательный результат относительно Х_Р

 

(43).

 

Для определения Y_P можно подставить в одну из формул (42) вычисленное значение Х_P и решить уравнение относительно Y_P. Если требуется аналитическая формула для вычисления Y_P, то можно взять обратную величину от формулы (42), затем решить эти уравнения совместно и получить Y_P.

 

(44).

 

Формулы (43) и (44) являются решением прямой однократной засечки.

 

1. Существуют и другие решения данной задачи.

Формула Юнга

Рассмотрим случай, когда координаты пункта Р определяются по координатам и , и пунктов А и В, видимость между которыми имеется; углы А и В на пунк­тах измерены.

 

 

рис. 11

Из рис. 11 следует, что

.

Дирекционный угол определим как разность углов

,

при этом дирекционный угол получим по координатам. Пунктов А и В из решения обратной геодезической задачи. Далее можно записать

,

или

(45).

Известно, что

(46).

Подставляя выражения (46) в формулы (45), получим

(47).

Из треугольника АВР следует, что

.

Умножив обе части этого равенства на sin А, получим

,

или после деления числителя и знаменателя правой части на sinAsinB —

(48).

Полученное выражение подставим в равенство (47), кото­рое после этого несколько преобразуем, и получим окончательно

(49).

Аналогичными рассуждениями можно получить формулы вида (49) относительно пункта В.

Формулами (49) часто пользуются в следующей видоизме­ненной записи:

(50).

 

Формулы вида (49, 50) носят название формул котангенсов углов треугольника, или формул Юнга.

При применении формул (50) необходимо при обозначении исход­ных данных и измеренных углов соблюдать определенный порядок: буквой Р должен обозначаться определяемый пункт, буквой А — левый исходный пункт, буквой В — правый исходный пункт, если стоять на стороне А В лицом к пункту Р; углы треугольника будут соответственно при точках А и В, что вызывает некоторые неудобства при вычислении.

 

Оценка точности положения пункта, определённого

прямой однократной засечкой

Пусть точка Р (рис. 12) — истинное положение определяемого пункта, а точка Р1 — полученное из решения. Примем за характе­ристику точности определения положения

рис. 12

пункта Р среднеквадратическую погрешность Мр линейного смещения РР1.

Обозначим точки пересечения направлений АР1 и ВР1 с истин­ными направлениями ВР и АР соответственно буквами D и Е. По малости величины РР1 по сравнению с АР и ВР фигуру РDР1Е можно принять за параллелограмм и написать

(51).

Истинные ошибки измеренных углов А и В обозначим через Δ_А и Δ_В и, приняв

, ,

найдем

(52),

(53)

и

(54).

Чтобы определить среднеквадратическую погрешность Мр линейного смещения РР1, предположим, что определение пункта Р было повторено п раз и имеется п равенств вида (54). Сложив эти равенства и разделив затем обе части суммарного равенства на число п, получим

,

где , — средние квадратические погрешности измеренных зна­чений углов А и В.

Но при (свойство компенсации слу­чайных погрешностей), тогда

(55).

Углы А и В обычно измеряются с одинаковой точностью, т. е. = = ;

тогда

(56),

или, обозначив а = s1 и b = s2,

(57).

Формулы (56) можно представить и в другом виде, если учесть, что

.

Тогда

(58).

Формула (57) или (58) показывает, что среднеквадратическая погрешность положения определяемой точки будет уве­личиваться главным образом с удалением ее от исходных пунктов (с увеличением s1 и s2) и уменьшением базиса засечки р. Из анализа этих формул следует, что наименьшая погрешность будет при прочих равных условиях в том случае, если угол засечки Р будет близок к 90°.

Оценку точности положения пункта, определенного прямой однократной засечкой, можно также выполнить графически с по­мощью так называемого обращенного (или инверсионного) тре­угольника. Ограничимся здесь изложением практического ее применения.

На листе бумаги с нанесенной координатной сеткой по коор­динатам вершин А, В и Р строится прямая засечка в масштабе, обеспечивающем необходимую точность определения расстояний между искомой точкой и исходными пунктами (рис. 13). Затем, графически определив расстояния s1 и s2 от искомой точки до ис­ходных пунктов, вычисляют величины , которые называются градиентами направлений.

Найденные градиенты откладывают на направлениях РА и РВ от точки Р и получают точки а и b, которые сое­диняют. Построенный треугольник аРb называется обращенным (или инвертным, инверсионным).

Доказано, что формулу (56) можно преобразовать к виду

(59),

где r1, r2 — градиенты направлений; F - площадь обращенного треугольника.

рис. 13

Величина F может быть определена из выражений

,

где h1 и h2 — высота обращенного треугольника.

С учетом этого формула (59) получит вид

 

(60).

Измерив на чертеже высоты h1 и h2 обращенного треуголь­ника, которые суть перпендикуляры, опущенные из точек а и b на стороны Ра и Рb, определяют по формуле (60) среднюю квадратическую погрешность положения точки Р.

Прямая многократная засечка

Необходимо определить координаты пункта Р способом прямой многократной засечки, для чего с каждого исходного пункта Т1, Т2,..., Тn произведено визирование на точку Р и измерены углы , ,..., между линиями с известными дирекционными углами , ,…, и направлениями на точку Р (рис. 14).

рис. 14

Как было установлено в разделе «Привязка к отдалённым пунктам государственной геодезической сети» Привязка к отдалённым пунктам государственной геодезической сети, уравнивать результаты измере­ний в прямой многократной засечке целесообразнее параметри­ческим способом.

рис. 15

 

Для нахождения приближенных координат Хо и Yo точки Р, используя необходимое число измерений, по формулам, указанным в разделе «Прямая однократная засечка»Прямая однократная засечка, решают прямую однократную засечку.

Далее согласно параметриче­скому способу уравнивания сле­дует составить уравнения попра­вок, в которых представить измеренные величины как функции выбранных неизвест­ных.

Для этого рассмотрим рис. 15. Пусть приближенному значению точки Ро полученному из решения прямой однократной засечки, со­ответствуют координаты Хо и Yo. Точка Po близка к искомому поло­жению точки Р, координаты которой х и у.

Для линии Т_iРo можно вычислить значение ее длины Si,o и дирекционного угла .

Уравненное значение дирекционного угла линии Т_iР обозна­чим через , тогда

(61).

По дирекционному углу линии Т_iЕ и измеренному углу найдем «измеренное значение» дирекционного угла линии Т_iР

(62).

Уравненное значение дирекционного угла будет равно изме­ренному значению плюс поправка :

(63).

Запишем уравнение (63) несколько иначе:

(64).

Уравнений вида (64) будет столько, сколько измерено углов, т. е. i =1, 2,..., n. Однако в уравнении (64) пока измеренные величины не являются функцией неизвестных. Чтобы к этому перейти, проделаем следующее.

Подставим в уравнение (64) значение , из уравнения (61):

(65)

и обозначим

(66).

Величина l_i будет свободным членом уравнения поправок. Далее запишем выражение (65) с учетом (66)

(67).

Теперь в уравнении (67) от величины , перейдем к вели­чинам и , пользуясь дифференциальной формулой дирек­ционного угла, согласно которой

.

Введем обозначения

,

,

 

(68).

Заменим в уравнении (67) , на выражение (68) и с уче­том обозначений получим

(69),

где i = 1, 2,..., n.

Уравнения (69) будут параметрическими урав­нениями поправок, записанными в окончательном виде. Таких уравнений будет столько, сколько наблюдаемых направле­ний на точку Р.

Предполагая измерения углов на исходных пунктах равноточ­ными, можно поставить при решении этих уравнений условие: [v²] = min. Cогласно методу наименьших квадратов оно приве­дет нас к двум нормальным уравнениям вида

 

(70).

 

Решив эти уравнения способом определителей, получим

 

(71),

где

(72).

 

Уравненные значения координат определим по формуле (36), а уравненные значения измеренных дирекционных уг­лов — по формуле (64), значения поправок , для которой получим из уравнений (69).

Зная координаты пункта Р (х и у), найдем

(73),

а затем . Значение углов ; должно совпадать (в пределах точ­ности вычислений) со значением углов, вычисленных по формуле (67). Это является заключительным контролем уравнивания.

Оценка точности произведенных измерений состоит в подсчете среднеквадратической погрешности угла

(74),

оценки точности уравненных значений координат — в подсчете их средних квадратических погрешностей

(75).

Веса уравненных значений координат при этом определяются из выражений

(76)

 

При вычислении Рх и Ру следует иметь в виду, что вес в дан­ном случае — поименованная величина. Размерность [аа] выра­жается размерностью величины а в квадрате. Согласно выраже­ниям (68) размерность , поэтому

.

Размерность так же, как и ,

.

 

Производить привязку полигонометрии к пунктам государ­ственной геодезической сети способом прямой многократной засечки невыгодно с экономической точки зрения. При этом способе необходимо измерять углы на всех пунктах сети, которые, как правило, расположены на значительных расстояниях и друг от друга и от пункта, координаты которого определяют.

Однако если работа проводится по хорошо продуманному плану с учетом дальнейших перспектив по сгущению обоснования, то можно значительно сократить время на переезды с одного пункта на другой, совместив измерения углов для привязочных работ с рекогносцировкой.

Прямая засечка чаще находит применение при засечке боковых пунктов с пунктов полигонометрических ходов, когда измерение углов для определения координат боковых пунктов будет совме­щено с измерением углов поворота при проложении полигонометрического хода.

 

Пример вычислений. Прямая многократная засечка.

Исходные данные

N направл.	X	Y	alfa
Т1	18515.328	17056.497	160°58'04.7"
Т2	18359.752	17599.190	242°34'59.7"
Т3	17814.943	17274.216	344°45'25.6"
Т4	17731.160	16842.223	39°36'50.7"
Т5	18287.079	16536.949	102°24'43.4"

 

Используя формулы вычисления координат из прямой однократной засечки и , вычислим приближенные координаты точки P. Для этого выберем из исходных данных два пункта, направления с которых на определяемый пункт Р пересекаются под углом 60° - 90° и распишем элементы формул в ниже приведенной табличке. В нашем случае подходят пункты Т1 и Т2.

 

1. Прямая однократная засечка

Элемент ф-лы	Результат	Элемент ф-лы	Результат
y(Т2)	17599.190	x(Т2)	18359.752
-y(Т1)	17056.497	-x(Т1)	18515.328
x(Т1)*tg(alfa1)	-6386.918	y(Т1)*ctg(alfa1)	-49445.858
-x(Т2)*tg(alfa2)	35394.223	-y(Т2)*ctg(alfa2)	9129.082
summa	-41238.4479	summa	-58730.5160
tg(alfa1)	-0.34495300	ctg(alfa1)	-2.89894567
-tg(alfa2)	1.92781596	-ctg(alfa2)	0.51872171
summa	-2.27276896	summa	-3.41766738
X(Р) = 18144.584	Y(Р) = 17184.386

2. Mногократная засечка

Для вычисления свободных членов уравнений поправок необходимо вычислить приближенные дирекционные углы направлений. Для этого используются приближенные координаты из прямой однократной засечки, вычисленные в предыдущей табличке. Для вычисления приближенных дирекционных углов и расстояний используется обратная геодезическая задача.