Пункт, к которому производится привязка, недоступен ни для линейных, ни для угловых измерений (обычно это шпиль какого-либо здания или колокольни церкви).

Итак, необходимо определить координаты пункта Р (рис. 7), из которого видны пункты обоснования: близко расположенный пункт Т1 и пункт Т2, последний может быть расположен на значительном расстоянии от пункта Р. Более надежный контроль решения задачи будет обеспечен в том случае, если, кроме пункта Т2, будет виден еще пункт T3.

Расстояние можно определить как неприступное. Для этого на местности строят два треугольника и . Сто­роны этих треугольников АР (b1) и РВ (b2) измеряют непосред­ственно; кроме этого, в каждом треугольнике измеряют по два угла , , и .

(Оптимальная длина базиса – получение равносторонних треугольников и )

Из треугольников и определяют длину по формуле

(13)

рис. 7

где

(14),

i = 1, 2.

Из полученных значений берут среднее.

Для определения примычного угла на местности при точке Р измеряют угол . Этот угол дает возможность определить сначала из треугольника РТ1Т2 угол а затем и угол .

В треугольнике РТ1Т2 дирекционный угол линии (T1T2) и ее длину Т1T2 = L1 находят из решения обратной геодезической задачи по формулам

 

; (15)

 

(16);

Зная величину L1, из треугольника РТ1Т2 по теореме синусов находят

, (17)

а затем — угол .

Примычный угол получают из того же треугольника как дополнение до 180°:

 

(18).

Дирекционный угол направления Т1Р определяют как

 

(19).

 

Выбор знака перед в формуле (19) производится с учетом расположения пунктов на схематическом чертеже, составление которого при решении задачи необходимо.

По полученным длине линии РТ1 и дирекционному углуее(T1Р), решая прямую геодезическую задачу, находят приращения координат,

 

(20),

а затем сами координаты

(21).

Заключительный контроль решения задачи состоит в вычисле­нии дирекционного угла (РТ2) из обратной геодезической задачи

(22)

и вторичном получении угла

 

(23).

Если из пункта Р будет виден пункт , его необходимо исполь­зовать для вторичного получения значения координат пункта Р, для чего следует на пункте Р измерить угол , а далее повторить решение задачи, начиная с получения и по формулам (15) и (16) и т. д. до конца.

Оценка точности

Для получения средней квадратической ошибки положения пункта Р воспользуемся рис. 8

рис. 8

Допустим, что под влиянием ошибок в длине линии и в дирекционном угле пункт Р смес­тился со своего истинного положения на величину и попал в точку Р’. Это смещение можно разложить на компоненты и u,

где

,

тогда

,

или

(24).

Переходя к среднеквадратическим погрешностям перепишем данную формулу следующим образом:

(25),

где

М и Мs — среднеквадратические погрешности и .

Как видно из формулы, для определения погрешности положения пункта Р необходимо вычисление среднеквадратических погрешностей вычисленных элементов: линии , дирекционного угла и положения пункта Р.

Для проведения оценки точности необходимо иметь показа­тели точности измерения базисов ( — при измерении базиса светодальномером и углов - , , ).

Для получения возьмем функцию , прологарифми­руем ее, а затем продифференцируем полученное выражение и найдем

 

(26),

 

при этом учтем, что угол определяется по формуле , сле­довательно,

 

.

Переходя к среднеквадратическим погрешностям и принимая (углы измерены равноточно), найдем

 

. (27)

Средняя квадратическая погрешность среднего значения линии будет

(28).

Величинами можно воспользоваться для подсчета предель­ного расхождения в значениях S, вычисленных из двух треуголь­ников, так как

,

.

Тогда

(29).

Определим среднюю квадратическую погрешность дирекционного угла . Дифференцируя формулы , получим

(30),

где i = 1, 2.

Угол вычисляется по формуле , следовательно, диф­ференцирование ее дает

(31).

В свою очередь величина определяется выражением

.

Несколько упростим его, имея в виду, что отношение , как правило, в практике работ, составляет приблизительно .

С учетом этого (17) можно записать

.

Дифференцируя ее, получим

,

откуда найдем

.

Можно считать, что отношение

.

Тогда

Учитывая это соотношение в формуле (), можно , при оценке точности, в расчет не принимать, тогда

,

или с учетом

.

Отсюда, переходя к среднеквадратическим погрешностям, будем иметь

(32).

Строгая формула среднеквадратической погрешности дирекционного угла примет следующий вид

(33).

Средняя квадратическая погрешность среднего значения дирекцион­ного угла в случае определенияего по двум пунктам Т2 и Т2’(с учетом ф-ла 32) примет вид

(34)

где .

Предельное расхождение между значениями , полученными по двум пунктам, определится выражением

 

(35).

Анализ формул показывает, что для обеспечения большей точности передачи координат с пункта Т1 на пункт Р необходимо:

а) строить по возможности равносторонние вспомогательные треугольники АРТ1и BРT1, это обеспечит большую точность вычисления s;

 

б) выбирать положение пункта Р так, чтобы угол был близок к прямому.

 

Пример вычислений на снесение координат(см рис. 7).

(В процессе привязки в обязательном порядке делается абрис привязки, т. е. в обязательно указывается расположение пунктов Т2 и Т3 относительно пункта Т1 и точки привязки Р [для правильного использования формулы ]. Если пункт Т2 или Т3 расположен справа от точки привязки и пункта Т1, то в формуле выбирается знак «+», в противном случае знак «-»)

Исходные данные:
N	X	Y	mβ=mα=mγ	Ms/[S]
T1	13194.362	18716.33	5"	1/20000
T2	13830.867	19828.77
T3	12609.053	20387.40
Измеренные углы:
N	alfa	betta	gamma	Базис(м)
	43° 15'23.0"	84° 50'45.0"	42° 17'17.0"	75.000
	61° 28'31.0"	64° 42'42.0"	91° 13' 6.0"	60.000

Решение.

1. Вычисление неприступного расстояния S (T₁P) из треугольников I – AT₁P и II - BT₁P. Используется формула теоремы синусов.

Данные/треугольник	I	II
alfa	43°15'23.0"	61°28'31.0"
betta	84°50'45.0"	64°42'42.0"
al+bet	128° 6' 8.0"	126°11'13.0"
базис	75.000	60.000
sin(alfa)	0.6852642046	0.8786111444
sin(alfa+betta)	0.7869110896	0.8070948680
S(i) (м)	65.312	65.317
Среднее S (м)	65.314

2 Вычисления расстояний и дирекционных углов

направлений T₁T₂ и T₁T_3.

При вычислении используется обратная геодезическая задача.

Данные/направления	T1T2	T1T3
Yi	19828.770	20387.400
Y1	18716.330	18716.330
Y(i)-Y1	1112.440	1671.070
Xi	13830.867	12609.053
X1	13194.362	13194.362
X(i)-X1	636.505	-585.309
tg(T1Ti)	1.7477318	-2.8550219
alfa(T1Ti)	60°13'23.1"	109°18'11.9"
cos(T1Ti)	0.49662411	-0.33056903
sin(T1Ti)	0.86796572	0.94378182
Li	1281.664	1770.611

3 Вычисление дирекционного угла линии S (T₁P).

Для этого, из треугольников Т₁Т₂P и Т₁Т₃P находим промежуточный угол μ1 и μ2. Данные углы необходимы для нахождения углов λ1 и λ2, с помощью которых находим искомый дирекционный угол линии S (T₁P).

А) Нахождение угла μ (i) – используется теорема синусов

Данные/треугольник	Т1Т2P	Т1Т3P
γ(i)	42°17'17.0"	91°13' 6.0"
sin γ(i)	0.67285831	0.99977393
Li	1281.664	1770.611
Sсреднее	65.314	65.314
Sin μ (i)	0.03428926	0.03687969
μ (i)	1°57'54.1"	2° 6'48.7"

 

Б) Нахождение угла λ1 и λ2 (используется свойство суммы углов треугольника = 180 ° ) и дирекционного угла φ линии S (T₁P).

 

Данные/треугольник	Т1Т2P	Т1Т3P
γ(i) + μ (i)	44° 15' 11.1"	93° 19' 54.7"
λ(i)	135° 44' 48.9"	86° 40' 05.3"
φ (T1P)	195° 58' 12.1"	195° 58' 17.2"
φ(T1P)Среднее	195° 58' 14.7"

 

4. Вычисление координат P

cos(φ)	-0.961402	sin(φ)	-0.275146
S*cos(φ)	-62.793	S*sin(φ)	-17.971
Xp=XT1+ Scos(φ)	13131.569	Yp =YT1+Ssin(φ)	18698.359

 

5. Оценка точности измерений.

А)Вычисление ms и Мs

Данные/треугольник	Т1Т2P	Т1Т3P
(mb/b)*s	0.00326560	0.00326583
[(mb/b)*s] ^2	0.00001066	0.00001067
ctg(alfa)	1.06279382	0.54351452
ctg(epsilon)	0.78416279	0.73153950
ctg(alfa)+ctg(eps)	1.84695661	1.27505402
ctg(eps) ^2	0.61491128	0.53515004
ms^2	0.00012102	0.00006991
ms	0.01100106	0.01100106
ms1^2+ms2^2	0.00019093
пред(s1-S2)	0.02763539
Ms (м)	0.00690885

 

Б)Вычисление Мфи и Мр

пред(φ1-φ2)	14.00"
Mφ	3.54"
Mp^2	0.00004899
Mp	0.0069 (м)

2. Пункт, к которому производится привязка, доступен для угловых, но не доступен для ли­нейных измерений.

Таким пунктом может быть, например, геодезический знак, по­строенный на крыше какого-либо дома, что часто имеет место в городах.

В этом случае величина угла измеряется и задача сводится к вычислению неприступного расстояния Т1Р=S, которое определяется из решения двух тре­угольников АРТ1 и BРT1. Углы и в этих треугольниках измеряются непосредственно.