Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины

Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины

Выясняя смысл натурального числа как меры величины, все рассуждения будем вести на примере одной величины - длины отрезка. Уточним сначала понятие «отрезок состоит из отрезков».

Определение. Считают, что отрезок х состоит из отрезков х₁, х₂,..., х_п, если он является их объединением и никакие два из них не имеют общих внутренних точек, хотя и могут иметь общие концы.

В этом же случае говорят, что отрезок х разбит на отрезки х₁, х₂,..., х_п и пишут х = х₁ Å х₂ Å…Å х_п

Пусть задан отрезок х, его длину обозначим X. Выберем из множества отрезков некоторый отрезок е, назовем его единичным отрезком, а длину обозначим буквой Е.

Определение. Если отрезок х состоит из а отрезков, каждый из которых равен единичному отрезку е, то число а называют численным значением длины Х данного отрезка при единице длины Е.

Пишут: Х = а × Е или а = т_Е (Х).

Например, отрезок х (рис. 3) состоит из 6 отрезков, равных отрезку е.

Если длину единичного отрезка обозначить буквой Е, а длину отрезка х - буквой X, то можно написать, что Х = 6Е или 6 = m_Е (Х).

Из данного определения получаем, что натуральное число как результат измерения длины отрезка (или как мера длины отрезка) показывает, из скольких единичных отрезков состоит отрезок, длина ко­торого измеряется.При выбранной единице длины Е это число единственное.

В связи с таким подходом к натуральному числу сделаем два замечания:

- При переходе к другой единице длины численное значение длины заданного отрезка изменяется, хотя сам отрезок остается неизменным. Так, если в качестве единицы длины выбрать длину отрезка е (рис. 1), то мера длины отрезка будет равна числу 3. Записать это можно так: Х = 3×Е₁ или m_Е1 (Х) = 3.

- Если отрезок х состоит из а отрезков, равных е, а отрезок у - из b отрезков, равных е, то а = b тогда и только тогда, когда отрезки х и у равны.

- Аналогично можно истолковать смысл натурального числа и в связи с измерением других величин. Так, в записи 3 см² число 3 означает, что фигура F состоит из трех единичных квадратов с площадью, равной квадратному сантиметру.

Смысл суммы и разности

Выясним теперь, какой смысл имеют сумма и разность натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.

Теорема. Если отрезок х состоит из отрезков у и z и длины отрезков у и z выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка х равна сумме мер длин его частей.

Доказательство. Обозначим длины отрезков х, у и z соответственно буквами X, Y и Z. Пусть m(Y) = а, m(Z) = b при единице длины Е. Тогда отрезок у разбивается на а частей, каждаяиз которых равна отрезку длины Е, отрезок z разбивается на b таких частей. А потому весь отрезок х разбивается на а + b таких частей. Значит, m(Х) = а + b = m(Y)+m(Z).

Из этой теоремы следует, что сумму натуральных чисел а и b можно рассматривать как меру длины отрезка х, состоящего из отрезков у и z мерами длин которых являются числа а и b.

а + b = m_Е (Y) + m_Е (Z) = m_Е (Y + Z).

Аналогичный смысл имеет сумма натуральных чисел, полученных в результате измерения других положительных скалярных величин.

Покажем, как используется данный подход к обоснованию выбора действия сложения при решении текстовых задач: «В саду собрали 7 кг смородины и 3 кг малины. Сколько всего килограммов ягод собрали?»

В задаче две величины - масса смородины и масса малины. Известны их численные значения. Требуется найти численное значение массы, которая получится, если данные массы сложить. Для этого, согласно рассмотренной теореме, надо сложить численные значения массы смородины и массы малины, т.е. получить выражение 7+3. Это математическая модель данной задачи. Вычислив значение выражения 7 + 3 получим ответ на вопрос задачи.

Теорема. Если отрезок х состоит из отрезков у и z и длины отрезков х и у выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка z равна разности мер длин отрезков х и у.

Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству предыдущей.

Из этой теоремы следует, что разность натуральных чисел а и b можно рассматривать как меру длины такого отрезка z, что z Å у = х, если мера длины отрезка х равна а, мера длины отрезка у равна b.

а - в = т_Е (Y) - т_Е (Z) = т_Е (Y - Z).

Аналогичный смысл имеет разность натуральных чисел, полученных в результате измерения других положительных скалярных величин.

Выясним, как используется данный подход к обоснованию выбора действия вычитания при решении текстовых задач, например, «Купили 7 кг картофеля и капусты. Сколько килограммов картофеля купили, если капусты было 3 кг?».

В задаче рассматривается масса овощей, известно ее численное значение. Эта масса складывается из массы картофеля и массы ка­пусты, численное значение которой также известно. Требуется узнать численное значение массы картофеля. Так как массу картофеля можно получить, вычитая из всей массы купленных овощей массу капусты, то численное значение массы картофеля находят действием вычитания: 7-3. Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи.

При помощи сложения или вычитания решаются также текстовые задачи, в которых величины связаны отношением «больше на» или «меньше на». Например: «Купили 3 кг моркови, а картофеля на 2 кг больше. Сколько килограммов картофеля купили?». В задаче речь идет о двух величинах - массе моркови и массе карто­феля. Численное значение первой массы известно, а численное значение второй надо найти, зная, что картофеля на 2 кг больше, чем моркови.

Кг

М.

Кг

К.

?

Рис. 4

Если построить вспомогательную модель задачи (рис. 4), то можно сразу увидеть, что картофеля купили столько же, сколько моркови, и еще 2 кг, т.е. масса картофеля складывается из двух масс (3 кг и 2 кг), и чтобы найти ее численное значение, надо сложить численные значения масс - слагаемых. Получаем выражение 3+2, значение которого и будет ответом на вопрос задачи.

 

4. Смысл произведения и частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин

Рассматривая смысл суммы и разности натуральных чисел - мер величин, мы установили, что сложение таких чисел связано со сложением величин, а вычитание - с вычитанием величин. И естественно возникает вопрос: с каким действием над величинами связано умножение и деление натуральных чисел? Чтобы ответить на него, проанализируем задачу: «Купили 3 пакета муки по 2 кг в каждом. Сколько килограммов муки купили?».

В этой задаче речь идет о массе муки, которая сначала измерена пакетами, и известно численное значение этой массы при указанной единице массы. Требуется найти результат измерения той же массы муки, но уже при помощи другой единицы - килограмм при условии, что 1 пакет - это 2 кг муки. Рассуждения, связанные с поиском численного значения массы муки при единице - килограмм, можно представить в таком виде: 3 пак. = 3·пак. = 3 · (2 кг) = 3 · 2 · кг = (3 · 2) кг.

Видим, что ответ на вопрос задачи находится умножением и что оно оказалось связанным с переходом (в процессе измерения массы) от одной единицы массы к другой, более мелкой.

Теорема. Если отрезок х состоит из а отрезков, длина которых равна Е, а отрезок длины Е состоит из b отрезков, длина которых равна Е₁, то мера длины отрезка х при единице длины Е₁, равна а× b.

Доказательство. По условию отрезок х состоит из от отрезков равных е, а отрезок е - из b отрезков, равных е₁ (рис. 5, а). Обозначим длину отрезка х буквой X, длину отрезка е - буквой Е, длину отрезка е₁ - буквой Е₁. Так как по условию , а , то Х = а × Е, Е = b × Е₁. Нетрудно видеть, что частей отрезка х, равных е₁, будет а × b, так как . Это означает, что мера длины отрезка х при единице длины Е₁ равна а× b. Можно записать, что Х = а×Е= а×(в×Е₁) = (а× b) × Е₁.

)

Из этой теоремы следует, что умножение натуральных чисел связано с переходом в процессе измерения к новой единице длины: если натуральное

число а - мера длины отрезка х при единице длины Е, натуральное число b - мера длины Е при единице длины Е₁, то произведение а× b - это мера длины отрезка х при единице длины Е₁:а× в = т_Е (Х) × т_Е1 (Е) = т_Е1 (Х).

Аналогичный смысл имеет произведение натуральных чисел, полученных в результате измерения других положительных скалярных величин. И поэтому при построении вспомогательных моделей текстовых задач с величинами можно использовать отрезки (что, впрочем, мы делали и раньше). Кроме того, условимся, что в тех случаях, когда это не ведет к путанице, отрезок х и его длину Х не различать. Проиллюстрируем это на конкретном примере.

Задача 1. Объяснить смысл произведения 4 × 3, если 4 и 3 - числа, полученные в результате измерения величин.

Решение. Пусть 4 = m_Е (Х), 3 = m_Е1 (Е), где Х - измеряемая величина, Е - первоначальная единица величины, а Е₁ - новая единица величины. Тогда, согласно доказанной теореме, 4×3 = m_Е1 (X), т.е. 4×3 – это численное значение длины Х при единице длины Е₁. Рассмотрим рисунок 5, б). Пусть Х - длина отрезка. Если Е- первоначальная единица длины, то = 4× Е. Если Е₁ - новая единица длины, такая, что Е = 3Е₁, то Х = 4 ×Е= 4 × (3×Е₁) = (4× 3) Е₁.

Задача 2. Обосновать выбор действия при решении задачи. «В одной коробке 6 ручек. Сколько ручек в трех таких коробках?» решение. В задаче речь идет о количестве ручек, которое сначала измерено коробками и известно численное значение этой величины при указанной единице. Требуется найти численное значение этой же величины при новой единице - ручка, причем известно, что коробка - это 6 ручек. Тогда 3 кор. = 3 × кор. = 3 × (6 руч.) = 3 × (6 × руч.) = (3 × 6) руч. Таким образом, задача решается при помощи действия умножения, поскольку в ней при измерении осуществляется переход от одной еди­ницы величины (коробка) к другой - ручка.

Чтобы установить смысл частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин, рассмотрим задачу: «6 кг муки надо разложить в пакеты, по 2 кг в каждый. Сколько получится пакетов?»

В задаче рассматривается масса муки, которая сначала измерена при помощи единицы массы - килограмм, и известно численное значение этой массы при указанной единице массы. Требуется найти результат измерения этой же массы, но уже при помощи другой единицы - пакета, причем известно, что 1 пакет - это 2 кг.

Рассуждения, связанные с поиском численного значения массы муки при новой единице - пакет, можно представить в таком виде: 6кг = 6 × кг = 6× ( пак.) = (6 × ) пак. = (6:2) пак.

Видим, что ответ на вопрос задачи находится делением и что оно связано с переходом (в процессе измерения) от одной единицы массы к другой, более крупной.

Теорема. Если отрезок х состоит из а отрезков, длина которых равна Е, а отрезок длины Е₁ состоит из b отрезков длины Е, то мера длины отрезка х при единице длины Е₁ равна а: b.

Данная теорема доказывается аналогично рассмотренной выше. Из этой теоремы следует, что деление натуральных чисел связано с переходом в процессе измерения к новой единице длины: если натуральное число а - мера длины отрезка х при единице длины Е, а натуральное число b - мера новой единицы длины Е₁ при единице длины Е, то частное а: b - это мера длины отрезка х при единице длины Е_1: а: b = m_Е (Х): m_Е1 (Е₁) = m_Е1 (Х).

Аналогичный смысл имеет частное натуральных чисел, полученных в результате измерения других положительных скалярных величин.

Заметим, что такая трактовка частного возможна только для деления по содержанию.

Задача 3. Обосновать выбор действия при решении задачи.

«Из 12 м ткани сшили платья, расходуя на каждое по 4 м. Сколько платьев сшили?»

Решение. В задаче рассматривается длина ткани, которая измерена сначала при помощи единицы длины - метр, и известно численно значение заданной величины. Требуется найти численное значение той же длины при условии, что она измеряется новой единицей – платьем, причем известно, что платье - это 4 м, откуда метр - это платья.

Рассуждения, связанные с поиском численного значения длины при единице - платье, можно представить в таком виде: 12м = 12 × м = 12 × ( пл.) = (12 × ) × пл. = (12: 4) пл.

Таким образом, ответ на вопрос задачи находится при помощи деления, поскольку в задаче нужно перейти от одной единицы величины (метр) к другой (платье), более крупной.

Итак, умножение и деление натуральных чисел - мер величин оказалось связанным с переходом от одной единицы величины к другой в процессе измерения одной и той же величины.

Выбор действий умножения и деления при решении текстовых задач с величинами можно обосновывать иначе, используя понятие умножения и деления величины на натуральное число.

Напомним, что умножить величину А на натуральное число х – это значит получить такую величину В того же рода, что В = х × А или В =А × х, причем

Чтобы найти численное значение величины В при единице величины Е, достаточно численное значение величины А, полученное при той же единице Е, умножить на число х, т.е. если В = А × х, то m_Е (В) = m_Е (А) × х.

Рассмотрим, например,задачу: «Купили 3 пакета муки, по 2 кг в каждом. Сколько килограммов муки купили?» Чтобы ответить на вопрос задачи, надо массу 2 кг повторить слагаемым три раза, т.е. массу 2 кг умножить на число 3. Численное значение полученной при этом величины находим, умножив численное значение массы муки в одном пакете на число 3. Произведение 2 × 3 будет математической моделью данной задачи. Вычислив его значение, будем иметь ответ на вопрос задачи.

Если В = А × х, где х - натуральное число, В и А - величины одного рода, то с помощью деления решают две задачи:

- зная А и В, находят число х (х = В: А), причем х = m_Е (В): m_Е (А); это деление по содержанию;

- зная В и х, находят А (А = В: х), причем m_Е (А) = m_Е (В): х; это деление на равные части.

С этих позиций выбор действия при решении задачи «6 кг муки разложили на пакеты по 2 кг в каждый. Сколько получилось пакетов?» можно обосновать так. В задаче надо узнать, сколько раз масса 2 кг укладывается в 6 кг, т.е. надо массу 6 кг разделить на массу 2 кг. В результате должно получиться число, которое находим, разделив численное значение одной величины на численное значение другой. Таким образом, получаем частное 6:2. Его значение и будет ответом на вопрос задачи.

Пользуясь описанным подходом к трактовке умножения и деления натуральных чисел, можно обосновывать выбор действия и при решении текстовых задач с отношениями «больше в» и «меньше в».

Задача 4. Обосновать выбор действия при решении задачи.

«Купили 3 кг моркови, а картофеля в 2 раза больше. Сколько килограммов картофеля купили?»

Решение. В задаче рассматриваются масса моркови и масса картофеля, причем численное значение первой массы известно, а численное значение второй надо найти, зная, что она в два раза больше первой.

Если воспользоваться вспомогательной моделью задачи (рис. 6), то можно к. сказать, что масса картофеля складывается из двух масс по 3 кг, и, следовательно, ее численное значение можно найти, умножив 3 на 2. Найдя значение выражения 3-2, получим ответ на вопрос задачи.

Кг

М.

К.

 

Теоретическая часть

Вопросы к изучению

1. Понятие положительной скалярной величины и ее измерения.

2. Действия с положительными скалярными величинами.

3. Измерение величин в практической деятельности.

4. Стандартные единицы величин.

Основные понятия темы

Ø положительная скалярная величина;

Ø однородные величины;

Ø разнородные величины.

Практическая часть

1. О каких величинах идет речь в следующих предложениях:

а) Груши дороже яблок.

б) Книга тяжелее тетради.

в) Таня выше Светы.

2. Какие величины могут характеризовать следующие объекты:

а) карандаш; б) человек; в) озеро?

3. Имеются два куска проволоки. Каким образом можно сравнить их длины, не прибегая к измерению? Какими могут быть результаты сравнения?

4. Как можно сравнить массы двух предметов, не определяя массу каждого из них? Какими могут быть результаты сравнения?

5. На рисунке 1 изображены два прямо­угольника, имеющие площади А и В.

А В

 

Постройте прямоугольник, площадь которого равна: а) А + В; б) 3 × А; в) × В; г) В – А.

6. Разбейте на классы тремя способами сле­дующие величины:

А - высота дерева; М - площадь доски;

В - 16кг; Н – 13с;

С - масса доски; К-26м;

Д - 25 см; L - длина веревки;

Е - возраст дерева; Р - толщина доски.

7. Назовите стандартные единицы, с помощью которых можно измерить величины, указанные в таблице. Запишите их.

Длина

Масса

Ширина

Объем

Время

Высота

Количество

8. О каких величинах идет речь в следующих предложениях:

а) В одной коробке 25 яблок, а в другой 30 яблок.

б) 15 яблок дороже, чем 8 груш.

в) В одном ящике 20 кг овощей, а в другом 12 кг овощей.

9. Какие из данных величин можно сравнить между собой:

1500м; 2,5 км; 18 штук; 8 десятков;

3ц; 1км 500м; 299 кг; 18 пар.

10. Сравните величины:

а) 56 мин и ч; б) м и дм;

в) 1,5 см и дм; г) кг и 1250 г.

11. Назовите объект, его величину, численное значение и единицу измерения величины в каждом из следующих предложений:

а) В коробке 8 кг яблок.

б) Глубина оврага 2 м.

в) Площадь садового участка 6 соток.

г) В сервизе 6 тарелок.

д) Рост девочки 1 м 20 см.

12. Назовите величины и объекты, о которых говорится в задаче:

а) За тетради заплатили х р., а за карандаши на t р. меньше. Сколько стоили карандаши?

б) Мешок картофеля тяжелее ящика с луком на 2 кг. Какова масса мешка картофеля, если масса ящика с луком z кг?

в) На первой полке стояло х книг. На второй на у книг больше, а на третьей на y книг меньше, чем на первой полке. Сколько книг стояло на трех полках?

13. Назовите величины, о которых говорится в задаче, и действия с ними, которые будут выполнены в процессе решения:

а) В ящике было 24 кг апельсинов. Сначала из него взяли 5 кг, а потом в 3 раза больше, чем в первый раз. Сколько апельсинов осталось в ящике?

б) Для вышивания первого узора нужно 24 м ниток, для второго в 6 раз меньше, а для третьего - на 16м больше, чем для первого. Хватит ли 7 катушек для вышивания всех узоров, если в каждой катушке по 10 м ниток?

14. Решите задачи, предварительно установив, в чем их сходство и различие:

а) Со склада отправили в столовую и в магазин 8 машин с овощами. Магазин получил 24 т овощей, а столовая - в 3 раза меньше. Сколько машин с овощами отправили в магазин и сколько в столовую, если масса овощей в каждой машине была одинаковой?

б) Со склада отправили в столовую и в магазин несколько машин с овощами. Масса овощей в каждой машине была одинаковой. Магазин получил 24 т овощей, а столовая - в 3 раза меньше. Сколько машин с овощами отправили со склада, если в столовую отправили 2 машины?

Теоретическая часть

Вопросы к изучению

1. Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины.

2. Смысл суммы, разности, произведения и частного таких чисел.

3. Обоснование выбора действий при решении текстовых задач в начальной школе.

Определения, теоремы, выводы

Ø Считают, что отрезок х состоит из отрезков х₁, х₂,..., х_п, если он является их объединением и никакие два из них не имеют общих внутренних точек, хотя и могут иметь общие концы.

Ø Если отрезок х состоит из а отрезков, каждый из которых равен единичному отрезку е, то число а называют численным значением длины Х данного отрезка при единице длины Е.

Ø Пишут: Х = а × Е или а = m_Е (Х).

Ø натуральное число как результат измерения длины отрезка (или как мера длины отрезка) показывает, из скольких единичных отрезков состоит отрезок, длина ко­торого измеряется.

Ø При выбранной единице длины Е это число единственное.

Ø Теорема. Если отрезок х состоит из отрезков у и z и длины отрезков у и z выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка х равна сумме мер длин его частей.

Ø Теорема. Если отрезок х состоит из отрезков у и z и длины отрезков х и у выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка z равна разности мер длин отрезков х и у.

Ø Теорема. Если отрезок х состоит из а отрезков, длина которых равна Е, а отрезок длины Е состоит из b отрезков, длина которых равна Е₁, то мера длины отрезка х при единице длины Е, равна а× b.

Ø Теорема. Если отрезок х состоит из а отрезков, длина которых равна Е, а отрезок длины Е₁ состоит из b отрезков длины Е, то мера длины отрезка х при единице длины Е₁ равна а: b.

Ø Измерение величины позволяет переходить от сравнения величин к сравнению чисел, от действий над величинами к соответствующим действиям над числами, и наоборот.

Практическая часть

1. Какой смысл имеет натуральное число 7, если оно получено в результате измерения: а) длины отрезка; б) площади фигуры; в) массы тела?

2. Верно ли, что при увеличении единичного отрезка в k раз соответствующие численные значения длин отрезка уменьшаются во столько же раз?

3. Объясните, почему следующие задачи решаются при помощи сложения:

а) Когда из ящика взяли 4 кг яблок, то в нем осталось 6 кг. Сколь­ко килограммов яблок было в ящике первоначально?

б) На пошив кофты израсходовали 2 м ткани, а на платье на 3 м больше. Сколько метров ткани израсходовали на платье?

4. Объясните, почему следующие задачи решаются при помощи вычитания:

а) От ленты длиной 5 м отрезали 2 м. Сколько метров ленты осталось?

б) С первого участка собрали 10 мешков картофеля, а со второго на 3 мешка меньше. Сколько мешков картофеля собрали со второго участка?

5. Обоснуйте выбор действий при решении следующих задач:

а) Мама купила 5 кг огурцов, 2 кг свеклы и помидоры. Сколько килограммов помидоров купила мама, если масса всех овощей 12 кг?

б) На одной полке 30 книг, на другой на 7 книг меньше. Сколько книг на двух полках?

в) От проволоки длиной 15 дм отрезали сначала 2 дм, а потом еще 4дм. Сколько дециметров проволоки осталось?

г) За лето первоклассники собрали 8 кг лекарственных трав, второклассники на 4 кг больше первоклассников, а третьеклассники на 3кг меньше второклассников. Сколько килограммов лекарственных трав собрали третьеклассники?

6. Объясните различными способами, почему следующие задачи решаются при помощи умножения:

а) В одной корзине 5 кг яблок. Сколько килограммов яблок в трех таких корзинах?

б) За один день Саша прочитывает 4 страницы книги. Сколько страниц в книге, если Саша прочитал ее за 6 дней.

7. Объясните различными способами, почему следующие задачи решаются при помощи деления:

а) 8 кг варенья надо разложить в банки по 2 кг в каждую. Сколько получится банок?

б) На садовом участке посадили 15 кустов смородины по 5 кустов в каждом ряду. Сколько было рядов?

8. Обоснуйте выбор действий при решении следующих задач:

а) С трех овец настригли 18 кг шерсти. Сколько шерсти можно получить с 5 таких овец?

б) В пятиэтажном доме 80 квартир. На каждом этаже в подъезде и 4 квартиры. Сколько подъездов в этом доме?

Творческие задания

Решите задачи и выполните проверку решения. Какие величины рассматривались в задачах?

1. Экспедиция высадилась на Северном полюсе 21 мая 1937 года. Какого числа закончилась работа станции “Северный полюс-1”, если исторический дрейф продолжался 8 месяцев и 29 дней?

2. Первое кругосветное путешествие закончилось 6 сентября 1522 года и продолжалось 2 года 11 месяцев 17 дней. Определите дату отплытия Магеллана из Сен-Лукара (морской порт Севильи).

3. Старейшие российские университеты - Московский и Ленинградский были основаны 11 января 1755 года и 8 февраля 1819 года. Сколько времени прошло между основаниями Московского и Ленинградского университетов? Сколько времени существует каждый из этих университетов?

4. В хозяйстве под гречиху и овес отвели 700 га, причем площадь, отведенная под овес, была на 60 га больше площади, отведенной под гречиху. Сколько гектаров было отведено под овес и сколько под гречиху?

5. Прямоугольный участок с периметром 900 м и отношением длин сторон 1:8 занят под чайную плантацию. С 1 га снимали 50 кг чайного листа. Выход готового чая составляет четвертую часть массы чайного листа. Сколько 50-граммовых пачек чая и на какую сумму получится с чайного листа, собранного с этого участка, если пачка чая стоит 40 коп.?

6. Из 6 кг свекловицы получается 600 г сахара рафинада. Сколько сахара получится из 500 кг свекловицы?

7. Делая в среднем по 42 км/час., поезд прошел расстояние между городами за 30 часов. С какой скоростью должен идти поезд, чтобы пройти это же расстояние за 24 часа?

8. За 125 кВт/час. электроэнергии уплатили 25 грн. Сколько надо уплатить за 75 кВт/час. электроэнергии?

9. 36 рабочих закончили работу за 20 дней, работая по 8 часов в день. За сколько дней 40 рабочих выполнят ту же работу, работая по 6 часов в день?

 

К А М В

Рис. 1

Различают выпуклые и невыпуклые фигуры.

Фигура называется выпуклой, если она вместе с любыми двумя своими точками содержит также соединяющий их отрезок.

Фигура F₁, изображенная на рисунке 2, выпуклая, а фигура F₂ - невыпуклая.

F₂

X

 

Y

 

 

Выпуклыми фигурами являются плоскость, прямая, луч, отрезок, точка. Нетрудно убедиться в том, что выпуклой фигурой является круг (рис. 3). Если продолжить отрезок XY до пересечения с окружностью, то получим хорду АВ. Так как хорда содержится в круге, то отрезок XY тоже содержится в круге и, значит, круг - выпуклая фигура.

Для многоугольников известно другое определение: многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону.

Так как равносильность этого определения и данного выше для многоугольника доказана, то можно пользоваться и тем, и другим.

Основываясь на этих понятиях, рассмотрим другие геометрические фигуры, изучаемые в школьном курсе планиметрии. Рассмотрим их определения и основные свойства, принимая их без доказательства. Знание этого материала и умение применять к решению несложных геометрических задач является той основой, на которой можно строить методику обучения младших школьников элементам геометрии.

Углы

Напомним, что угол - это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.

Лучи называются сторонами угла, а их общее начало - его вершиной.

Угол обозначают по-разному: указывают либо его вершину, либо его стороны, либо три точки: вершину и две точки на сторонах угла: Ð А, Ð (k, l), Ð АВС.

Угол называется развернутым, если его стороны лежат на одной прямой.

Угол, составляющий половину развернутого угла, называется прямым. Угол, меньший прямого, называется острым. Угол, больший прямого, но меньший развернутого, называется тупым.

Кроме понятия угла, данного выше, в геометрии рассматривают понятие плоского угла.

Плоский угол - это часть плоскости, ограни­ченная двумя различными лучами, исходящими из одной точки.

Углы, которые рассматривают в планиметрии, не превосходят развернутого.

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

Сумма смежных углов равна 180 °. Справедливость этого свойства вытекает из определения смежных углов.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого. Углы АОВ и СОВ, а также углы АОС и D0В - вертикальные (рис. 4).

Вертикальные углы равны.

Справедливость этого свойства вытекает из определения верти­кальных углов и свойства смежных углов.

Треугольники

Треугольник - одна из простейших геометрических фигур. Но его изучение породило целую науку - тригонометрию, которая возникла из практических потребностей при измерении земельных участков, со­ставлении карт местности, конструировании различных механизмов.

Первые упоминания о треугольнике и его свойствах содержатся в египетских папирусах. Например, в них предлагается находить площадь равнобедренного треугольника как произведение половины основания на боковую сторону, хотя для любого равнобедренного треугольника с малым углом при вершине, противоположной основанию, такой способ дает приближенное значение площади.

Многие свойства треугольников были открыты и доказаны математиками Древней Греции. Среди них - знаменитая теорема Пифагора.

Рассмотрим основные понятия, связанные с треугольником.

Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соеди­няющих их отрезков.

Любой треугольник разделяет плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю. Фигуру, состоящую из треугольника и его внутренней области, также называют треугольником (или плоским треугольником).

В любом треугольнике выделяют следующие элементы: стороны, углы, высоты, биссектрисы, медианы, средние линии.

Углом треугольника АВС при вершине А называется угол, образованный полупрямыми АВ и АС.

Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.

Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны и соответствующие углы равны. При этом соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон.

На практике и в теоретических построениях часто пользуются признаками равенства треугольников, обеспечивающими более быстрое решение вопроса об отношениях между ними. Таких признаков три.

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2. Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона называется основанием треугольника.

Равнобедренные треугольники обладают рядом свойств, например:

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Отметим еще несколько важных свойств треугольников.

1. Сумма углов треугольника равна 180°. Из этого свойства следует, что в любом треугольнике хотя бы два угла острые.

2. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

3. В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.

Для прямоугольного треугольника с углом 30° справедливо следующее свойство: катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы.

Для прямоугольного треугольника верна теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Четырехугольники

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков, причем никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки - его сторонами.

Любой четырехугольник разделяет плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю. Фигуру, состоящую из четырехугольника и его внутренней области, также называют четырехугольником (или плоским четырехугольником).

Вершины четырехугольника называют соседними, если они являются концами одной из его сторон. Вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырехугольника, называются диагоналями.

Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними. Стороны, не имеющие общего конца, называются противолежащими. У четырехугольника АВСD (рис. 5) вершины А и В - соседние, а вершины А и С - противолежащие; стороны АВ и ВС - соседние, ВС и АD -противолежащие; отрезки АС и ВD -диагонали данного четырехугольника.

Четырехугольники бывают выпуклые и невыпуклые. Так, четырехугольник АВСD (рис. 5) - выпуклый, а четырехугольник КРМТ (рис. 6) невыпуклый. Среди выпуклых четырехугольников выделяют параллелограммы и трапеции.

Многоугольники

Обобщением понятия треугольника и четырехугольника является понятие многоугольника. Определяется оно через понятие ломаной.

Ломаной А₁А₂А_3…Аn называется фигура, которая состоит из точек А_1,А_2,А_3,…,А_n, и соединяющих их отрезков А₁А_2, А₂А₃,... А_n-1А_n.

Точки А_1,А_2,А_3,…,А_n называются вершинами ломаной, а отрезки А₁А_2, А₂А₃,... А_n-1А_n - ее звеньями.

Если ломаная не имеет самопересечений, то она называется простой.