Определение положения двух пунктов по двум исходным

(задача Ганзена)

 

Практически это есть задача по определению двойной прямой засеч­кой двух пунктов по двум исходным.

Координаты двух точек Р и Q могут быть определены, если в точках Т₁ и Т₂ измерить углы φ₁,φ₂,ψ₁,ψ₂ образуемые направлениями на два определяемых пункта P и Q (рис. 22). Однако точки Т₁ и Т₂ недоступны для измерений, а углы φ₁,φ₂,ψ₁,ψ₂ неизвестны. Для аналитического определения данных углов, на местности измеряют углы β_1,β_2,β_3,β_{4 .}

Существует много способов решения этой задачи. Наиболее простым из них является способ условных координат, суть которого заключается в определении условных координат точек Т₁ и Т₂ в единой условной системе координат для всех точек (Т_1,Т_2,P,Q - в условной системе координат фигура останется подобной исходной). Через условные дирекционные углы направлений вычислить неизвестные углы φ₁,φ₂,ψ₁,ψ₂. Затем, перейдя в заданную систему координат, определить координаты искомых точек прямой однократной засечкой по формулам 43 и 44.

Рассмотрим алгоритм решения задачи.

 

рис. 22

1. Зададим условную систему координат.

Примем точку Р за начало условных координат x'Py', а на­правление PQ — за положительное направление оси ординат. Расстояние PQ условно примем равным, например, 10 000,000 м. Тогда условные координаты точек Р и Q будут:

 

x'_p =0; y'_p = 0;

x'_q =0; y'_Q = 10 000, 000 м.

 

2. Определим условные дирекционные углы направлений

Для решения прямой засечки в условных координатах, определим в условной системе координат дирекционные углы направлений:

α_РQ = 90º

т.к. РQ задает ось ординат условной системы координат.

Тогда условные дирекционные углы направлений можно вычислить через измеренные углы β_1,β_2,β_3,β_4,β₅. Из рисунка 22 следует:

 

α'_РТ1 = α_РQ - β₂

α'_QТ1 = α_РQ – 180 + β₃

α'_РТ2 = α'_РТ1 + β₁

α'_QТ2 = α_РQ – 180 + β₄

 

3. Используя формулы 43 и 44 в ычислим условные координаты точек Т1 и Т2

По формулам прямой засечки из треугольников PQТ1 и PQТ2 найдем соответ­ственно условные координаты точек T₁ и T₂ :

 

(137)

 

(138)

4. Вычисление углов φ₁,φ₂,ψ₁,ψ₂ по условным координатам

По условным координатам точек Т₁ и T₂ можно определить условный дирекционный угол (Т₁Т₂)' из решения обратной геоде­зической задачи, после чего отыскать все углы, образуемые направлениями с точек Т₁ и Т₂на точки Р и Q как разности дирекционных углов соответ­ствующих направлений:

 

º.

Аналогично находят углы φ₂ и ψ_2.

В отыскании углов φ₁,φ₂,ψ₁,ψ₂ при точках Т₁ и Т₂ и состояла цель вве­дения условных координат.

 

5. Вычисление истинных дирекционных углов с точек Т₁ и Т₂ на определяемые точки Р и Q

По истинным координатам точек Т₁ и T₂ определим дирекционный угол (Т₁Т₂) из решения обратной геоде­зической задачи, после чего вычислим все дирекционные углы, образуемые направлениями с точек Т₁ и Т₂на точки Р и Q:

 

 

6. Вычисление истинных координат определяемых точек Р и Q

По действительным координатам точек Т₁ и Т₂ найдем иско­мые координаты точки Р из треугольника Т₁Т₂Р:

.

 

Координаты точки Q можно найти из треугольника T₁T₂Q

 

.

При таком определении координат точек Р и Q возможные промахи в измерениях или в выписке исходных данных обнару­жены не будут. Поэтому с целью проверки правильности опре­деления координат точек Р и Q по крайней мере на одной из них должно быть измерено добавочное направление на третий исход­ный пункт Т3 и дважды определен дирекционный угол (QT3)

 

­­ (139),

где

(140).

 

Точность определения координат искомой пары точек зависит главным образом от величины углов четырехугольника, образо­ванного двумя данными и двумя искомыми точками. Наибольшая точность получается тогда, когда образованный четырехугольник по своей форме близок к квадрату.

 

При выполнении привязки данным способом, необходимо делать абрис, на котором нужно указать, как измерялись углы.

Пример решения задачи Ганзена.

Исходные данные

Пункт x y

T1 5186.006 5320.088

T2 3104.924 7302.548

T3 2292.775 7830.615

 

N/N betta

b1 255°16' 33"

b2 323°17' 19"

b3 43°14' 15"

b4 100°52' 16"

b5 134°24' 45"

1. Определение координат п. Т’₁ и Т’₂ в условной системе координат

Путкт Т1

Пункт Т2

из треугольника Т1Р1Р2 и треугольника

Т2Р2P1:

 

X’p1 = 0.000 X’p2 = 0.000

Y’p1 = 0.000 Y’p2 = 10000.000

α’_P1Т1 = 345° 16'33.0"

α’_P1Т2 = 53° 17'19.0"

α’_P2Т1 = 313° 14'15.0"

α’_P2Т2 = 10° 52'16.0"

 

Вычисление координат Т1’ в условной системе координат
Формула	Результат вычисл.	Формула	Результат вычисл.
Y’p2 -Y’p1 +X’P1*tg(α’P1Т1) -X’p2*tg(α’P2Т1) Summa1 tg(α’P1Т1) -tg(α’P2Т1) Summa2   X’T1	10000.000 0.000 -0.000 -0.000 10000.000 -0.26279596 -1.06349612 0.80070016   12489.070	X’p2 -X’p1 Y’P1*ctg(α’P1Т1) -y’p2*ctg(α’P2Т1) Summa1   ctg(α’P1Т1) -ctg(α’P2Т1) Summa2   Y’T1	0.000 0.000 -0.000 -9402.949 9402.949   -3.80523359 -0.94029492 -2.86493867 -3282.077

 

 

Вычисление координат Т2’ в условной системе координат
Формула	Результат вычисл.	Формула	Результат вычисл.
Y’p2 -Y’p1 +X’P1*tg(α’P1Т2) -X’p2*tg(α’P2Т2) Summa1 tg(α’P1Т2) -tg(α’P2Т2) Summa2   X’T2	10000.000 0.000 0.000 0.000 10000.000   1.34104653 0.19204679 1.14899973   8703.222	X’p2 -X’p1 Y’P1*ctg(α’P1Т2) -y’p2*ctg(α’P2Т2) Summa1   ctg(α’P1Т2) -ctg(α’P2Т2) Summa2   Y’T2	0.000 0.000 0.000 52070.643 -52070.643   0.74568628 5.20706427 -4.46137798   11671.426

2. Вычисление условного дирекционного угла α’_T1Т2 и искомых углов φ_1, φ_2, φ_3, φ_4,

(Искомые углы находят как разность соответствующих дирекционных углов.)

 

α’_T1Т2 = 104°12'26.3"

φ₁ = 32° 2'18.0"

φ₂ = 29° 1'48.7"

φ₃ = 50°55' 7.3"

φ₄ = 42°25' 3.0"

3. Вычисление истинных координат точек Р₁ и Р_2.

Для этого необходимо определить истинный дирекционнй угол направления Т₁Т₂ - α_T1Т2 и истинные дирекционные углы направлений Т₁Р₁, Т₁Р₂, Т₂Р₁ и Т₂Р_2.

 

Из треугольника Т₁Р₁T₂:

И из треугольника Т₂Р₂T₁:

 

X_T1 = 5186.006 X_T2 = 3104.924

Y_T1 = 5320.088 Y_T2 = 7302.548

α_T1P1 = 197°27'31.7" α_T1P2 = 165°25'13.7"

α_T2P1 = 265°28'17.7" α_T2P2 = 223° 3'14.7"

 

Вычисление координат Р1 в заданной системе координат
Формула	Результат вычисл.	Формула	Результат вычисл.
Yp2 -Yp1 +XP1*tg(α Т1P1) -Xp2*tg(α Т1P2) Summa1 tg(α Т1P1) -tg(α Т1P2) Summa2   XP1	7302.548 5320.088 1631.044 39203.325 -35589.821   0.31450877 12.62617864 -12.3116698   2890.739	Xp2 -Xp1 YP1*ctg(α Т1P1) -yp2*ctg(α Т1P2) Summa1   ctg(α Т1P1) -ctg(α Т1P2) Summa2   YP1	3104.924 5186.006 16915.547 578.366 14256.100   3.17956157 0.07920053 3.10036104   4598.206

Вычисление координат Р2 в заданной системе координат
Формула	Результат вычисл.	Формула	Результат вычисл.
Yp2 -Yp1 +XP1*tg(α Т2P1) -Xp2*tg(α Т2P2) Summa1 tg(α Т2P1) -tg(α Т2P2) Summa2   XP2	7302.548 5320.088 -1348.874 2900.874 -2267.288   -0.26009872 0.93428184 -1.19438056   1898.296	Xp2 -Xp1 YP1*ctg(α Т2P1) -yp2*ctg(α Т2P2) Summa1   ctg(α Т2P1) -ctg(α Т2P2) Summa2   YP2	3104.924 5186.006 -20454.110 7816.215 -30351.408   -3.84469399 1.07034083 -4.91503482   6175.217

4. Контроль вычислений.

 

Контролем вычислений служит вычисление угла β₅ через разность дирекционных углов направлений Р2Р1 и Р2Т3.

А) определение дирекционного угла α_Р2Р1

α_Р2Р1 = 302º 10' 58.8"

б) определение дирекционного угла α_Р2Т3

α_Р2T3 = 76º 35' 47.3"

в) вычисление β₅

β_{5 выч} = α_Р2T3 + 360º - α_Р2Р1= 134º 24’ 48.5”

β_{5 изм} = 134°24' 45"

Разность измеренного и вычисленного угла составила 3.5”, что соответствует точности измерений угла полигонометрии IV класса.