ТОП 10:

Определение положения двух пунктов по двум исходным



(задача Ганзена)

 

Практически это есть задача по определению двойной прямой засеч­кой двух пунктов по двум исходным.

Координаты двух точек Р и Q могут быть определены, если в точках Т1 и Т2 измерить углы φ1212 образуемые направлениями на два определяемых пункта P и Q (рис. 22). Однако точки Т1 и Т2 недоступны для измерений, а углы φ1212 неизвестны. Для аналитического определения данных углов, на местности измеряют углы β1,β2,β3,β4.

Существует много способов решения этой задачи. Наиболее простым из них является способ условных координат, суть которого заключается в определении условных координат точек Т1 и Т2 в единой условной системе координат для всех точек (Т1,Т2,P,Q - в условной системе координат фигура останется подобной исходной). Через условные дирекционные углы направлений вычислить неизвестные углы φ1212. Затем, перейдя в заданную систему координат, определить координаты искомых точек прямой однократной засечкой по формулам 43 и 44.

Рассмотрим алгоритм решения задачи.

 

рис. 22

1. Зададим условную систему координат.

Примем точку Р за начало условных координат x'Py', а на­правление PQ — за положительное направление оси ординат. Расстояние PQ условно примем равным, например, 10 000,000 м. Тогда условные координаты точек Р и Q будут:

 

x'p =0; y'p = 0;

x'q =0; y'Q = 10 000, 000 м.

 

2. Определим условные дирекционные углы направлений

Для решения прямой засечки в условных координатах, определим в условной системе координат дирекционные углы направлений:

αРQ = 90º

т.к. РQ задает ось ординат условной системы координат.

Тогда условные дирекционные углы направлений можно вычислить через измеренные углы β1,β2,β3,β4,β5. Из рисунка 22 следует:

 

α'РТ1 = αРQ - β2

α'QТ1 = αРQ – 180 + β3

α'РТ2 = α'РТ1 + β1

α'QТ2 = αРQ – 180 + β4

 

3. Используя формулы 43 и 44 в ычислим условные координаты точек Т1 и Т2

По формулам прямой засечки из треугольников PQТ1 и PQТ2 найдем соответ­ственно условные координаты точек T1 и T2 :

 

(137)

 

(138)

4. Вычисление углов φ1212 по условным координатам

По условным координатам точек Т1 и T2 можно определить условный дирекционный угол (Т1Т2)' из решения обратной геоде­зической задачи, после чего отыскать все углы, образуемые направлениями с точек Т1 и Т2на точки Р и Q как разности дирекционных углов соответ­ствующих направлений:

 

º .

Аналогично находят углы φ2 и ψ2.

В отыскании углов φ1212 при точках Т1 и Т2 и состояла цель вве­дения условных координат.

 

5. Вычисление истинных дирекционных углов с точек Т1 и Т2 на определяемые точки Р и Q

По истинным координатам точек Т1 и T2 определим дирекционный угол (Т1Т2) из решения обратной геоде­зической задачи, после чего вычислим все дирекционные углы, образуемые направлениями с точек Т1 и Т2на точки Р и Q:

 

 

6. Вычисление истинных координат определяемых точек Р и Q

По действительным координатам точек Т1 и Т2 найдем иско­мые координаты точки Р из треугольника Т1Т2Р:

.

 

Координаты точки Q можно найти из треугольника T1T2Q

 

.

При таком определении координат точек Р и Q возможные промахи в измерениях или в выписке исходных данных обнару­жены не будут. Поэтому с целью проверки правильности опре­деления координат точек Р и Q по крайней мере на одной из них должно быть измерено добавочное направление на третий исход­ный пункт Т3 и дважды определен дирекционный угол (QT3)

 

­­ (139) ,

где

(140) .

 

Точность определения координат искомой пары точек зависит главным образом от величины углов четырехугольника, образо­ванного двумя данными и двумя искомыми точками. Наибольшая точность получается тогда, когда образованный четырехугольник по своей форме близок к квадрату.

 

При выполнении привязки данным способом, необходимо делать абрис, на котором нужно указать, как измерялись углы.


Пример решения задачи Ганзена.

Исходные данные

Пункт x y

T1 5186.006 5320.088

T2 3104.924 7302.548

T3 2292.775 7830.615

 

N/N betta

b1 255°16' 33"

b2 323°17' 19"

b3 43°14' 15"

b4 100°52' 16"

b5 134°24' 45"

1. Определение координат п. Т’1 и Т’2 в условной системе координат

Путкт Т1

Пункт Т2

из треугольника Т1Р1Р2 и треугольника

Т2Р2P1:

 

X’p1 = 0.000 X’p2 = 0.000

Y’p1 = 0.000 Y’p2 = 10000.000

α’P1Т1 = 345° 16'33.0"

α’P1Т2 = 53° 17'19.0"

α’P2Т1 = 313° 14'15.0"

α’P2Т2 = 10° 52'16.0"

 

Вычисление координат Т1’ в условной системе координат
Формула Результат вычисл. Формула Результат вычисл.
  Y’p2 -Y’p1 +X’P1*tg(α’P1Т1) -X’p2*tg(α’P2Т1) Summa1 tg(α’P1Т1) -tg(α’P2Т1) Summa2   X’T1   10000.000 0.000 -0.000 -0.000 10000.000 -0.26279596 -1.06349612 0.80070016   12489.070   X’p2 -X’p1 Y’P1*ctg(α’P1Т1) -y’p2*ctg(α’P2Т1) Summa1   ctg(α’P1Т1) -ctg(α’P2Т1) Summa2   Y’T1   0.000 0.000 -0.000 -9402.949 9402.949   -3.80523359 -0.94029492 -2.86493867 -3282.077

 

 

Вычисление координат Т2’ в условной системе координат
Формула Результат вычисл. Формула Результат вычисл.
  Y’p2 -Y’p1 +X’P1*tg(α’P1Т2) -X’p2*tg(α’P2Т2) Summa1 tg(α’P1Т2) -tg(α’P2Т2) Summa2   X’T2   10000.000 0.000 0.000 0.000 10000.000   1.34104653 0.19204679 1.14899973   8703.222   X’p2 -X’p1 Y’P1*ctg(α’P1Т2) -y’p2*ctg(α’P2Т2) Summa1   ctg(α’P1Т2) -ctg(α’P2Т2) Summa2   Y’T2   0.000 0.000 0.000 52070.643 -52070.643   0.74568628 5.20706427 -4.46137798   11671.426

2. Вычисление условного дирекционного угла α’T1Т2 и искомых углов φ1, φ2, φ3, φ4,

(Искомые углы находят как разность соответствующих дирекционных углов.)

 

α’T1Т2 = 104°12'26.3"

φ1 = 32° 2'18.0"

φ2 = 29° 1'48.7"

φ3 = 50°55' 7.3"

φ4 = 42°25' 3.0"

3. Вычисление истинных координат точек Р1 и Р2.

Для этого необходимо определить истинный дирекционнй угол направления Т1Т2 - αT1Т2 и истинные дирекционные углы направлений Т1Р1, Т1Р2, Т2Р1 и Т2Р2.

 

Из треугольника Т1Р1T2:

И из треугольника Т2Р2T1:

 

XT1 = 5186.006 XT2 = 3104.924

YT1 = 5320.088 YT2 = 7302.548

αT1P1 = 197°27'31.7" αT1P2 = 165°25'13.7"

αT2P1 = 265°28'17.7" αT2P2 = 223° 3'14.7"

 

Вычисление координат Р1 в заданной системе координат
Формула Результат вычисл. Формула Результат вычисл.
  Yp2 -Yp1 +XP1*tg(α Т1P1) -Xp2*tg(α Т1P2) Summa1 tg(α Т1P1) -tg(α Т1P2) Summa2   XP1   7302.548 5320.088 1631.044 39203.325 -35589.821   0.31450877 12.62617864 -12.3116698   2890.739   Xp2 -Xp1 YP1*ctg(α Т1P1) -yp2*ctg(α Т1P2) Summa1   ctg(α Т1P1) -ctg(α Т1P2) Summa2   YP1   3104.924 5186.006 16915.547 578.366 14256.100   3.17956157 0.07920053 3.10036104   4598.206
Вычисление координат Р2 в заданной системе координат
Формула Результат вычисл. Формула Результат вычисл.
  Yp2 -Yp1 +XP1*tg(α Т2P1) -Xp2*tg(α Т2P2) Summa1 tg(α Т2P1) -tg(α Т2P2) Summa2   XP2   7302.548 5320.088 -1348.874 2900.874 -2267.288   -0.26009872 0.93428184 -1.19438056   1898.296   Xp2 -Xp1 YP1*ctg(α Т2P1) -yp2*ctg(α Т2P2) Summa1   ctg(α Т2P1) -ctg(α Т2P2) Summa2   YP2   3104.924 5186.006 -20454.110 7816.215 -30351.408   -3.84469399 1.07034083 -4.91503482   6175.217

4. Контроль вычислений.

 

Контролем вычислений служит вычисление угла β5 через разность дирекционных углов направлений Р2Р1 и Р2Т3.

А) определение дирекционного угла αР2Р1

αР1 = 302º 10' 58.8"

б) определение дирекционного угла αР2Т3

αР2T3 = 76º 35' 47.3"

в) вычисление β5

β5 выч = αР2T3 + 360º - αР2Р1= 134º 24’ 48.5”

β5 изм = 134°24' 45"

Разность измеренного и вычисленного угла составила 3.5”, что соответствует точности измерений угла полигонометрии IV класса.

 







Последнее изменение этой страницы: 2016-04-18; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.204.227.250 (0.01 с.)