Обратная однократная засечка

Задача определения положения точки на плоскости по трем данным точкам обратной засечкой известна под названием задачи Потенота. Об этой задаче имеется обширная литература и предло­жено более ста способов ее решения. Рассмотрим несколько наибо­лее простых и удобных способов получения координат четвертой точки по трем исходным.

1. Способ с применением формулы Де­ламбра. Координаты пунктов триангуляции Т1, Т2 и Т3известны (рис. 16); на определяемом пункте Р измерены углы , и а от направления Т1, принятого за на­чальное; требуется определить координаты пункта Р.

 

 

рис. 16

 

Обозначим дирекционный угол первого направления α₁ и непосредственно по рис. 16, применяя формулу обратной геодезической задачи, составим уравнения

 

(77),

 

в которых три неизвестных: х, у и . Решив эту систему, полу­чим дирекционный угол и координаты х и у.Сначала преобразуем выражение

.

Затем помножим числитель и знаменатель правой части на

 

(78).

 

Подставим правую часть выражения (78) во второе урав­нение (77) и, преобразуя полученное равенство, получим

 

(79).

 

Выполняя аналогичные преобразования в третьем уравнении (77), этому уравнению придадим вид (78), а затем преоб­разуем к виду (79):

 

(80).

 

Из уравнения (80) вычтем уравнение (79):

 

 

Из первого уравнения (77) определим у и подставим его в полученное уравнение:

 

.

Приведя подобные члены, получим уравнение с одним не­известным

из которого и определим его

(81).

 

Полученное уравнение называется формулой Деламбра.

Координаты х и у можно определить, продолжив решение системы уравнений (77). Но проще определить их другим путем.

Сначала определить дирекционные углы и .

(82),

а затем дважды определить координаты х и у из прямой засечки, вычисляемой по формулам Гаусса,

(83),

 

(84).

Для заключительного контроля решения задачи необходимо вторично определить дирекционный угол по формуле

(85).

Оценка точности положения пункта, определённого

обратной однократной засечкой

Пусть для определения координат пункта Р измерены углы и (рис. 15), которые можно представить как

(86),

или после дифференцирования

(87).

В равенствах (87) выразим величины , , со­гласно дифференциальной формуле дирекционного угла через dx и dy и получим

(88).

 

Обозначим

(89)

и по аналогии с прямой однократной засечкой назовем градиентом направления.

 

рис. 16

С учетом обозначения (89) перепишем уравнения (88)

 

(90).

 

Для сокращения записи введем обозначения:

 

(91),

 

в соответствии с которыми уравнениям (90) можно придать вид

 

(92).

 

Решая уравнения (92) способом определителей отно­сительно неизвестных dx и dy, получим

(93),

где

(94).

 

Дифференциалы dx и dy заменим случайными ошибками, от которых затем перейдем к средним квадратическим погрешностям и, учитывая, что получим

(95).

 

Так как

(96),

то

(97).

 

Подсчитав величины , и N согласно обо­значениям (91), будем иметь

 

(98)

 

(99).

 

Выражение для N с учетом (86) можно записать так:

 

(100)

 

Величины, входящие в формулы (98) и (100), можно представить графически. Для этого на направлениях РТ1, РТ2, РТ3 (см. рис. 16) отложим градиенты r1, r2, r3. Полученные точки соединим между собой и образуем треугольник , который назовем обращенным. Обозначим стороны этого треугольника через , , . Из рис. 16 следует, что правые части формул (98) представляют собой квадраты сторон обра­щенного треугольника, т. е.

 

(101),

 

а выражение, стоящее в правой части формулы (100), — удвоен­ную площадь обращенного треугольника. Обозначим эту площадь через F и запишем

(102).

С учетом выражений (101) и (102), формуле (97) можно придать вид

 

(103).

Следовательно, точность определения положения точки, полученной об­ратной однократной засечкой, зависит от площади обращенного треугольника, а также от величины его двух сторон и .

При выводе формулы (103) предполагалось, что углы и при определяемой точке измерялись каждый отдельно.

Если при определяемой точке углы измеряли способом круго­вых приемов, то, применяя к этому случаю аналогичный вывод, можно получить

(104),

где

— среднеквадратическая погрешность направления,

.

Сравнивая формулы (103) и (104) и полагая, что = = = , найдем

.

Следовательно, измеряя углы при определяемой точке спосо­бом круговых приемов, при прочих равных условиях получим положение этой точки несколько точнее, чем при измерении отдельных углов.

Рассмотрим случай, когда определяемая точка лежит на окружности проходящей через три данные точки Т1, Т2 и Т3 (рис. 17).

Проведем через точку Р диаметр PQ == D и опустим из точки перпендикуляр ху. Тогда из двух подобных треугольников Р К и PT1Q можно записать

.

Но согласно (89)

,

 

тогда

(105).

 

 

рис. 17

Следовательно, отрезок а есть величина, постоянная для всех хорд, выходящих из точки Р, а в этом случае точки , и лежат на прямой ху и F = 0. Тогда формулы (103) и (104) дают: , , т. е. когда искомая точка лежит на окружности, проходящей через три данные точки, определить ее положение при помощи измеренных углов и нельзя. Поэтому эту окружность и называют опасным кругом.

Анализируя формулы (103) и (104), приходим к выводу, что задача о четвертой точке решается с наибольшей точностью в том случае, если:

а) определяемая точка лежит внутри треугольника, образо­ванного исходными пунктами;

б) определяемая точка лежит вне треугольника, образован ного исходными пунктами, но против вершины между продолже­ниями двух сторон.

Сомнительные результаты получаются тогда, когда определяе­мая точка находится вблизи окружности, проходящей через три исходных пункта. Задача становится неопределенной, если опре­деляемая точка лежит на окружности.

При практическом применении формул (103) и (104) поступают следующим образом. На лист бумаги наносят все исходные пункты и определяемую точку в масштабе, обеспечиваю­щем практическое определение расстояний от искомой точки до исходных пунктов с необходимой точностью, и прочерчивают направления РТ1, РТ2 и PT3 (рис. 18).

 

рис. 18

По полученным с чертежа расстояниям s₁, s₂ и s₃ по фор­муле (89) вычисляют величины градиентов r_i, которые затем в удобном масштабе откладывают от точки Р по направлениям РТ1, PT2 и PT3. В обращенном треугольнике измеряют стороны , , и высоту h₁ или h₂, или h₃, а далее вычисляют его площадь F по одной из формул

,

после чего находят М.

Величины r, а следовательно, и и h имеют размерность с/м. С учетом выражений для площади F формула (103) может быть преобразована к виду

 

(106),

где h₂ и h₃ — высоты обращенного треугольника, опущенные на стороны и (см. рис. 18).

При использовании формулы (106) вычисления несколько сокращаются.