Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Так как числа, участвующие в операциях, могут быть представлены в различных позиционных системах счисления, то для выполнения действий над ними требуется привести их к одной системе счисления. Необходимо отметить, что целая и дробная части числа переводятся отдельно. Следовательно, все методы перевода чисел можно подразделить на две группы: перевода целых и дробных чисел.

Перевод целых чисел

Метод подбора степеней основания. В соответствии с (2) целые числа в системах счисления с основаниями r₁ и r₂ могут быть представлены:

_{n k}

A _r1 = a_i r₁ⁱ = b_j r₂^j = A _r2 .

_{i=0 j=0}

В общем случае перевод числа из системы счисления с основанием r₁ в систему счисления с основанием r₂ можно представить как задачу определения коэффициентов b_i нового ряда, изображающего число в системе счисления с основанием r₂. Основная трудность в выборе максимальной степени основания r₂, которая еще содержится в числе A_r1. Все действия должны выполняться по правилам r₁-арифметики (то есть исходной системы счисления). После нахождения максимальной степени и соответствующего ей коэффициента необходимо найти коэффициенты для всех остальных (младших) степеней.

Пример: A₁₀=37, A₂=?

37=1·2⁵ + 0 ·2⁴ + 0 ·2³ + 1·2² + 0 ·2¹ + 1·2⁰=100101.

Нечетным двоичным числом 100101 является число, содержащее единицу в младшем разряде.

Метод деления на основание системы счисления. На основании (1) число A_r1 в системе счисления с основанием r₂ запишется в виде

A_r2 = a_n· r₂ⁿ + a_n-1 ·r₂^n-1 +... + a₁· r₂¹ + a₀·r⁰.

Переписав это выражение по схеме Горнера, получим:

A_r2 = (...(a_n r₂ + a_n-1) r₂ +... + a₁) r₂ + a₀.

Разделив правую часть на r₂, получим первый остаток a₀ и целую часть (...(a_n r₂ + a_n-1) r₂ +... + a₁). Разделив целую часть на r₂, получим остаток a₁ и новую целую часть. Выполнив деление n+1 раз, получим последнее целое частное a_n < r₂, являющееся старшей цифрой числа.

Пример: А₁₀ = 37, A₂ =?, А₅=?

 

Перевод правильных дробей

Метод подбора величин, обратных степеням основания

A₁₀ =0,716

А₂ =0,1011...

Количество разрядов после запятой зависит от точности, с которой требуется представить число.

Метод умножения на основание r₂ новой системы счисления. Из выражения (1) дробное число A_r1 в системе счисления с основанием r₂ запишется в виде

A_r2 = a_-1 r₂^-1 +... + a_-n r₂^-n.

Переписав это выражение по схеме Горнера, получим:

A_r2 = r₂^-1 (a_-1 + r₂^-1 (a_-2 +... + a_-n r₂^-1)...).

Умножив правую часть на r₂, получим новую неправильную дробь, целая часть которой есть a_-1 (старшая цифра числа A_r2). Продолжим процесс умножения дробной части на r₂ n-1 раз, получим цифры a_-2, a_-3,... числа A_r2.

Процесс умножения может быть прекращен, если во всех разрядах после очередного умножения получены нули либо достигнута требуемая точность.

Пример: A₁₀=0,673, A₂=?, A₁₆=?

Для перевода неправильных дробей отдельно выделяется целая и дробная части числа и с использованием соответствующих методов выполняется их перевод. Результаты записываются в виде новой неправильной дроби.

 

Перевод чисел из одной системы счисления в другую, основание которой кратно степени 2

К таким системам относятся двоичная, четверичная, восьмеричная и т.д. системы счисления.

A₈ = .

Ограничимся тремя восьмеричными разрядами, придавая i значения 0,1,2.

+ (младшая восьмеричная цифра с весом 8⁰)

+ +

+

При переводе числа из двоичной системы счисления в восьмеричную необходимо разделить его разряды на триады, начиная с младших разрядов, и каждую триаду заменить восьмеричной цифрой.

Пример: А₈ = 45 А₂= 0010 0101

 

100 101 = А₂ 2 5 = А₁₆

Кодирование чисел

Кодирование знака числа. Кодирование чисел позволяет заменить операцию арифметического вычитания операцией алгебраического сложения с помощью двоичного сумматора. Для кодирования знака числа используется специальный двоичный разряд, называемый знаковым. При этом знак плюс кодируется двоичной цифрой 0, а минус – цифрой 1 (для системы счисления с основанием r – цифрой r-1). Для машинного представления отрицательных чисел используют три основных вида кодов: прямой, обратный и дополнительный. Общая схема кода числа: код знака. код числа.

Прямой код числа. При этом способе кодирования чисел кодируется только знак числа, а значащая часть остается без изменения.

Пример: A=+0,1101 A= - 0,1101

[A]_пр=0,1101 [A]_пр=1,1101

Пример: A = + 1101 A = - 1101

[A]_пр=0.1101 [A]_пр=1.1101

Диапазон изменения машинных изображений для прямого кода лежит в пределах: -(1-2^-n) [A]_пр (1-2^-n).

Недостатком прямого кода является сложность выполнения операции сложения чисел с разными знаками.

Для арифметических операций над числами в прямом коде используется сумматор прямого кода. В этом сумматоре отсутствует цепь поразрядного переноса между старшим значащим и знаковым разрядами, то есть на этом сумматоре невозможно выполнение операции алгебраического сложения.

Дополнительный код числа. Число А' называется дополнением к числу А, если выполняется соотношение: А + А¢ = rⁿ для целых чисел или А + А'=r⁰ для дробных чисел, где n – количество цифр в записи числа A.

Пример: A₁₀ =378

n=3

A₁₀' =10³ – А₁₀=1000 - 378=622

621 - все разряды дополняются до младшей цифры системы счисления

1 - младший разряд дополняется до основания системы счисления

n=4

А₂ =1011, A₂ '=2⁴ - А=10000 - 1011 = 0101, или А₂' = 0101

Замена операции вычитания операцией сложения. В ЭВМ достаточно сложно выполнить операцию вычитания (А-В). Для этого требуется:

1) сравнить числа и выявить наибольшее из них по абсолютной величине;

2) наибольшее число разместить на входах вычитающего устройства;

3) выполнить операцию вычитания;

4) присвоить значению разности знак наибольшего по абсолютной величи-

не числа.

Для сложения чисел в дополнительных кодах требуется сумматор и неважно, какие слагаемые подаются на его входы А или В. Пусть необходимо сложить

А = 487 А = 487

В = -348 В = 652

А-В = 139 А-В = 1 139

А + (10³ – В) = А-В+10³ (10³ игнорируется).

А = 348 А = 348

В = -487 В = 513

А-В = -139 А-В = 861

Дополнительный код отрицательных чисел является математическим дополнением абсолютной величины числа до основания r системы счисления для дробных чисел и до rⁿ для целых чисел.

- для дробных чисел, - для целых чисел,

где - абсолютное значение числа А, n – число цифр числа.

Положительные числа в дополнительном коде не меняют своего изображения. Правило преобразования числа в дополнительный код можно записать:

Рассмотрим несколько примеров сложения чисел в дополнительных кодах.

А= 0,1001 [A]_доп = 0,1001 А= - 0,1001 [A]_доп = 1,0111

В= - 0,0100 [B]_доп = 1,1100 В= 0,0100 [B]_доп = 0,0100

10,0101 1,1011

Теорема. Сумма дополнительных кодов чисел есть дополнительный код результата.

Доказательство теоремы приведено в [1].

Теорема справедлива для всех случаев, в которых не возникает переполнения разрядной сетки, что позволяет складывать машинные представления чисел по правилам двоичной арифметики, не разделяя знаковую и значащую части числа. Для выполнения арифметических операций над числами в дополнительном коде используется двоичный сумматор дополнительного кода, характерной особенностью которого является наличие поразрядного переноса из старшего значащего в знаковый разряд.

Обратный код числа. Обратный код двоичного числа является инверсным изображением числа, в котором все разряды исходного числа принимают инверсное (обратное) значение. Правила преобразования чисел в обратный код аналитически можно определить следующим образом:

,

.

Выполнение арифметических операций над числами в обратном коде осуществляется на сумматоре обратного кода. Этот код имеет несущественный недостаток: требует наличия в сумматоре цепи циклического переноса из знакового разряда в младший значащий. Это может привести к увеличению времени выполнения арифметических операций. Ниже приведены несколько примеров выполнения арифметических операций над числами, записанными в обратном коде.

А= 0,1001 [A]_обр = 0,1001 А= - 0,1001 [A]_обр = 1,0110

В= - 0,0100 [B]_обр = 1,1011 В= 0,0100 [B]_обр = 0,0100

10,0100 1,1010

1

0,0101

Теорема. Сумма обратных кодов чисел есть обратный код результата.

Доказательство теоремы приведено в [1].