Восьмеричная система счисления

Для ускорения процесса перевода чисел бывает удобнее воспользоваться восьмеричной системой счисления, в которой число представляется в виде суммы степеней основания восемь: N = b_k8^k+...+b₂8²+b₁8¹+b₀, где b_i = 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Поскольку 8 = 2³, то существует очень простой метод перевода двоичных чисел в восьмеричную систему счисления и наоборот.

Для перехода от двоичного представления числа к восьмеричному необходимо разбить двоичное число влево и вправо от запятой на группы из 3 цифр (триады), каждой триаде поставить в соответствие его восьмеричный эквивалент:

000 - 0 Пусть, например, N = 1010111011100,10111₂.

001 - 1 Можно записать:

010 - 2 N = (001)(010)(111)(011)(100),(101)(110),

011 - 3 т.е. в восьмеричном представлении N = 12734,56₈.

100 - 4 И соответственно, наоборот, для перехода от восьмерично-

101 - 5 го представления к двоичному каждой цифре восьмерично-

110 - 6 го числа ставят в соответствие его двоичный эквивалент

111 - 7 триаду и затем записывают последовательность триад. Например, 2543₈ = (010)(101)(100)(011) = 10101100011₂.

Шестнадцатеричная система счисления

В ЭВМ в качестве единицы информации или объема памяти используют не бит, а байт, содержащий 8 двоичных разрядов. Один полубайт соответствует одному разряду шестнадцатеричного числа 2⁴ = 16. Поэтому для более компактного отображения двоичного числа удобнее представлять его в шестнадцатеричной системе счисления, в которой используется 16 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Каждой цифре шестнадцатеричного числа ставят в соответствие его двоичный эквивалент - тетраду. Соответствие между разрядами десятичной, шестнадцатеричной и двоичной систем счисления можно установить с помощью следующей таблицы:

Десятичное число	Шестнадцатеричное число	Двоичный эквивалент
	A B C D E F

Пример:

N = 1’0101’1101’1100,1011’1₍₂₎,

N = 15DC,B8₍₁₆₎.

Двоично-десятичная система счисления

Входная информация в ЭВМ обычно представляется в десятичной системе счисления, а затем по специальным программам переводится в двоичную. Однако для того чтобы можно было обрабатывать десятичные числа в машине, их необходимо представить в форме, удобной для машины. С этой целью производится кодирование каждой десятичной цифры с помощью двоичных элементов.

Двоично-десятичное представление является наиболее простым представлением, где каждая десятичная цифра, представляется своим четырех- разрядным двоичным эквивалентом - “тетрадой”.

Например, 237,82₍₁₀₎ = 1000110111,1000001_(2-10).

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Переход от двоичного числа к десятичному числу очевиден. Двоичное число представляется в форме суммы степеней 2 с соответствующими коэффициентами, которая и вычисляется. Например,

10111₂ = 1^.2⁴+0^.2³+1^.2²+1^.2¹+1^.2⁰ = 23₁₀.

Переход из десятичной системы счисления в двоичную может быть осуществлен различными способами. Один из них, табличный, был рассмотрен ранее. Рассмотрим другой универсальный способ.

Перевод целых чисел

Алгоритм перевода целого числа состоит в делении исходного числа на основании новой системы счисления. Остаток представляет младший разряд числа. Полученное частное вновь делится на основание системы счисления. Остаток дает более старший разряд числа. И так до тех пор, пока не получится частное, меньшее основания новой системы счисления. Следует заметить, что все операции производятся в старой системе счисления.

Пусть, например, необходимо перевести число 9 в двоичную систему счисления. Последовательно деля его на 2, получаем:

91 2

-90 45 2

1 -44 22 2

1 -22 11 2

0 -10 5 2

1 -42 2

1 -2 1

Т.е., 91₁₀ = 1011011_2.

Перевод в восьмеричную систему счисления может быть произведен следующим образом:

 

91 8

-88 11 8 93₁₀ = 133₈.

3 -8 1

3

Аналогичен перевод в шестнадцатеричную систему:

91 16

-80 5

11=B 91₁₀ = 5B₁₆.

Перевод дробных чисел

Для того чтобы перевести дробное число из одной системы счисления в другую, его необходимо последовательно умножать на основание новой системы счисления. При этом умножаются только дробные части получаемых произведений. В новой системе счисления дробь записывается в виде последовательности целых частей получаемых произведений.

Пример: 0,397₁₀ = 0,011001₂.

x 0,
x 0
x 1
x 1
x 0
x 0

Операцию умножения можно опускать при записи процесса перевода. Например, 0,23₁₀ = 0,165605₈

0,1

При переводе смешанных чисел отдельно переводятся целое и дробное числа, каждое по своему алгоритму.

Формы представления чисел