Перевод чисел в десятичную систему счисления

ПРИМЕР 1. Перевести число 1101010,1101₂ в десятичное представление.
Для перевода целой части необходимо умножить разряд числа на соответствующую ему степень разряда.
1101010 = 2⁶*1 + 2⁵*1 + 2⁴*0 + 2³*1 + 2²*0 + 2¹*1 + 2⁰*0 = 64 + 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0 = 106

 

Для перевода дробной части необходимо разделить разряд числа на соответствующую ему степень разряда
1101 = 2^-1*1 + 2^-2*1 + 2^-3*0 + 2^-4*1 = 0.8125
Таким образом, число 1101010,1101₂ в десятичной системе счисления записывается как 106,8125.

ПРИМЕР 2. Перевести число 42,67₂ в десятичное представление.
Для перевода целой части необходимо умножить разряд числа на соответствующую ему степень разряда.
42 = 8¹*4 + 8⁰*2 = 32 + 2 = 34

 

Для перевода дробной части необходимо разделить разряд числа на соответствующую ему степень разряда
67 = 8^-1*6 + 8^-2*7 = 0.859375

Таким образом, число 42,67₈ в десятичной системе счисления записывается как 34,859375.

ПРИМЕР 3. Перевести число E6,71₁₀ в десятичное представление.
Для перевода целой части необходимо умножить разряд числа на соответствующую ему степень разряда.
E6 = 16¹*14 + 16⁰*6 = 224 + 6 = 230

Для перевода дробной части необходимо разделить разряд числа на соответствующую ему степень разряда
71 = 16^-1*7 + 16^-2*1 = 0.44140625
Таким образом, число E6,71₁₆ в десятичной системе счисления записывается как 230,44140625

Перевод дробных чисел в десятичную систему счисления

I. Перевести числа в десятичную систему: 11101,111₂, 371,05₈, 1B9,58₁₆
а) 11101,111₂
Для перевода целой части необходимо умножить разряд числа на соответствующую ему степень разряда.
11101 = 2⁴*1 + 2³*1 + 2²*1 + 2¹*0 + 2⁰*1 = 16 + 8 + 4 + 0 + 1 = 29

Для перевода дробной части числа необходимо разделить разряд числа на соответствующую ему степень разряда
111 = 2^-1*1 + 2^-2*1 + 2^-3*1 = 0.875
11101,111₂ = 29,875

б) 371,05₈
Для перевода целой части необходимо умножить разряд числа на соответствующую ему степень разряда.
371 = 8²*3 + 8¹*7 + 8⁰*1 = 192 + 56 + 1 = 249

Для перевода дробной части необходимо разделить разряд числа на соответствующую ему степень разряда:
05 = 8^-1*0 + 8^-2*5 = 0.078125 = 0.078
371,05₈ = 249,078

в) 1B9,58₁₆
Для перевода целой части необходимо умножить разряд числа на соответствующую ему степень разряда.
1B9 = 16²*1 + 16¹*11 + 16⁰*9 = 256 + 176 + 9 = 441

Для перевода дробной части необходимо разделить разряд числа на соответствующую ему степень разряда:
58 = 16^-1*5 + 16^-2*8 = 0.34375 = 0.344
1B9,58₁₆ = 441,344

Перевод чисел в восьмиричную систему счисления

Пример 1. Перевести число 132,267₁₀ в восьмиричное представление.

Целая часть от деления	Остаток от деления
132 div 8 = 16	132 mod 8 = 4
16 div 8 = 2	16 mod 8 = 0
2 div 8 = 0	2 mod 8 = 2
0 div 8 = 0	0 mod 8 = 0

Остаток от деления записываем в обратном порядке. Получаем число в 8-ой системе счисления: 0204
132 = 0204₈

Для перевода дробной части числа последовательно умножаем дробную часть на основание 8. В результате каждый раз записываем целую часть произведения.
0.267*8 = 2.136 (целая часть 2)
0.136*8 = 1.088 (целая часть 1)
0.088*8 = 0.704 (целая часть 0)
0.704*8 = 5.632 (целая часть 5)
Получаем число в 8-ой системе счисления: 2105
0.267 = 2105₈

Таким образом, число 132,267 записывается в восьмиричной системе счисления как 204,2105₈

Пример 2. Перевести число 1000000010,1001₂ в восьмиричное представление.
Переводим целую часть числа. Для этого разделим исходный код на группы по 3 разряда.
1000000010₂ = 001 000 000 010 ₂
Затем заменяем каждую группу на код из таблицы.

Двоичная СС	Восьмеричная СС

Получаем число:
001 000 000 010 ₂ = 1002₈

Переводим дробную часть числа. Для этого разделим исходный код на группы по 3 разряда.
1001₂ = 100 100₂
Затем заменяем каждую группу на код из таблицы.
Получаем число:
100 100₂ = 44₈
Таким образом, число 1000000010,1001₂ в восьмиричной системе счисления записывается как 1002,44.

Пример 3. Перевести число 132,267₁₀ в восьмиричное представление.
Переводим целую часть числа. Заменяем каждый разряд на код из таблицы.

Двоичная СС	шестнадцатеричная СС
	A
	B
	C
	D
	E
	F

Получаем число:
A5F₁₆ = 101001011111₂

Переводим дробную часть числа.
Получаем число:
3B₁₆ = 00111011₂
Переводим целую часть числа. Для этого разделим исходный код на группы по 3 разряда.
101001011111₂ = 101 001 011 111 ₂
Затем заменяем каждую группу на код из таблицы.

Двоичная СС	Восьмеричная СС

Получаем число:
101 001 011 111 ₂ = 5137₈

Переводим дробную часть числа. Для этого разделим исходный код на группы по 3 разряда.
00111011₂ = 001 110 110₂
Затем заменяем каждую группу на код из таблицы.
Получаем число:
001 110 110₂ = 166₈
Таким образом, число A5F,3B₁₆ в восьмиричной системе счисления записывается как 5137,166.

Перевод чисел в шестнадцатеричную систему счисления

Пример 1. Перевести число 56,567₁₀ в шестнадцатеричное представление.

Целая часть от деления	Остаток от деления
56 div 16 = 3	56 mod 16 = 8
3 div 16 = 0	3 mod 16 = 3
0 div 16 = 0	0 mod 16 = 0

Остаток от деления записываем в обратном порядке. Получаем число в 16-ой системе счисления: 038
56 = 038₁₆

Для перевода дробной части числа последовательно умножаем дробную часть на основание 16. В результате каждый раз записываем целую часть произведения.
0.567*16 = 9.072 (целая часть 9)
0.072*16 = 1.152 (целая часть 1)
0.152*16 = 2.432 (целая часть 2)
0.432*16 = 6.912 (целая часть 6)
Получаем число в 16-ой системе счисления: 9126
0.567 = 9126₁₆

Таким образом, число 56,567 в шестнадцатеричной системе счисления записывается как 38,9126.

Пример 2. Перевести число 0101110,011 в шестнадцатеричное представление.
Переводим целую часть числа. Для этого разделим исходный код на группы по 4 разряда.
0101110₂ = 0010 1110 ₂
Затем заменяем каждую группу на код из таблицы.

Двоичная СС	шестнадцатеричная СС
	A
	B
	C
	D
	E
	F

Получаем число:
0010 1110 ₂ = 2E₁₆

Переводим дробную часть числа. Для этого разделим исходный код на группы по 4 разряда.
011₂ = 0110₂
Затем заменяем каждую группу на код из таблицы.
Получаем число:
0110₂ = 6₁₆

Пример 3. Перевести число 456,54₈ в шестнадцатеричное представление.
Переводим целую часть числа. Заменяем каждый разряд на код из таблицы.

Двоичная СС	Восьмеричная СС

Получаем число:
456₈ = 100101110₂

Переводим дробную часть числа.
Получаем число:
54₈ = 101100₂
Переводим целую часть числа. Для этого разделим исходный код на группы по 4 разряда.
100101110₂ = 0001 0010 1110 ₂
Затем заменяем каждую группу на код из таблицы.
Получаем число:
0001 0010 1110 ₂ = 12E₁₆

Переводим дробную часть числа. Для этого разделим исходный код на группы по 4 разряда.
101100₂ = 1011 0000₂
Затем заменяем каждую группу на код из таблицы.
Получаем число:
1011 0000₂ = B0₁₆

Перевод дробного числа в различные системы счисления

В примерах показано как перевести дробную часть числа в двоичную, восьмеричную, десятичную и шестнадцатеричную системы счисления.

Перевод дробных чисел в десятичную систему счисления

I. Перевести числа в десятичную систему: 11101,111₂, 371,05₈, 1B9,58₁₆
а) 11101,111₂
Для перевода целой части необходимо умножить разряд числа на соответствующую ему степень разряда.
11101 = 2⁴*1 + 2³*1 + 2²*1 + 2¹*0 + 2⁰*1 = 16 + 8 + 4 + 0 + 1 = 29

Для перевода дробной части числа необходимо разделить разряд числа на соответствующую ему степень разряда
111 = 2^-1*1 + 2^-2*1 + 2^-3*1 = 0.875
11101,111₂ = 29,875

б) 371,05₈
Для перевода целой части необходимо умножить разряд числа на соответствующую ему степень разряда.
371 = 8²*3 + 8¹*7 + 8⁰*1 = 192 + 56 + 1 = 249

Для перевода дробной части необходимо разделить разряд числа на соответствующую ему степень разряда:
05 = 8^-1*0 + 8^-2*5 = 0.078125 = 0.078
371,05₈ = 249,078

в) 1B9,58₁₆
Для перевода целой части необходимо умножить разряд числа на соответствующую ему степень разряда.
1B9 = 16²*1 + 16¹*11 + 16⁰*9 = 256 + 176 + 9 = 441

Для перевода дробной части необходимо разделить разряд числа на соответствующую ему степень разряда:
58 = 16^-1*5 + 16^-2*8 = 0.34375 = 0.344
1B9,58₁₆ = 441,344

Перевод чисел в различные системы счисления

Перевести число 100,12 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления и обратно. Пояснить причины расхождений.

Решение

1 Этап. Перевод числа из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления.

Целая часть от деления	Остаток от деления
100 div 8 = 12	100 mod 8 = 4
12 div 8 = 1	12 mod 8 = 4
1 div 8 = 0	1 mod 8 = 1

Остаток от деления записываем в обратном порядке. Получаем число в 8-ой системе счисления: 144
100 = 144₈

Для перевода дробной части числа последовательно умножаем дробную часть на основание 8. В результате каждый раз записываем целую часть произведения.
0.12*8 = 0.96 (целая часть 0)
0.96*8 = 7.68 (целая часть 7)
0.68*8 = 5.44 (целая часть 5)
0.44*8 = 3.52 (целая часть 3)
Получаем число в 8-ой системе счисления: 0753.
0.12 = 0.753₈

100,12₁₀ = 144,0753₈

2 Этап. Перевод числа из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления.
Обратный перевод из восьмеричной системы счислений в десятичную.

Для перевода целой части необходимо умножить разряд числа на соответствующую ему степень разряда.
144 = 8²*1 + 8¹*4 + 8⁰*4 = 64 + 32 + 4 = 100

Для перевода дробной части необходимо разделить разряд числа на соответствующую ему степень разряда
0753 = 8^-1*0 + 8^-2*7 + 8^-3*5 + 8^-4*3 = 0.119873046875 = 0.1199

144,0753₈ = 100,96₁₀
Разница в 0,0001 (100,12 - 100,1199) объясняется погрешностью округлений при переводе в восьмеричную систему счислений. Эту погрешность можно уменьшить, если взять большее число разрядов (например, не 4, а 8).

Пример перевода чисел в двоичную систему счисления

Перевести числа 581,106₁₀, 115,707₈, D21,E6₁₆ в двоичную систему.

Решение

а) 581,106₁₀;

Целая часть от деления	Остаток от деления
581 div 2 = 290	581 mod 2 = 1
290 div 2 = 145	290 mod 2 = 0
145 div 2 = 72	145 mod 2 = 1
72 div 2 = 36	72 mod 2 = 0
36 div 2 = 18	36 mod 2 = 0
18 div 2 = 9	18 mod 2 = 0
9 div 2 = 4	9 mod 2 = 1
4 div 2 = 2	4 mod 2 = 0
2 div 2 = 1	2 mod 2 = 0
1 div 2 = 0	1 mod 2 = 1

Остаток от деления записываем в обратном порядке. Получаем число в 2-ой системе счисления: 1001000101
581 = 1001000101₂

Для перевода дробной части числа последовательно умножаем дробную часть на основание 2. В результате каждый раз записываем целую часть произведения.
0.106*2 = 0.212 (целая часть 0)
0.212*2 = 0.424 (целая часть 0)
0.424*2 = 0.848 (целая часть 0)
0.848*2 = 1.696 (целая часть 1)
Получаем число в 2-ой системе счисления: 0001
0.106 = 0001₂

б) 115,707₈;
Переводим целую часть числа. Заменяем каждый разряд на код из таблицы.

Двоичная система счисления	Восьмеричная система счисления

Получаем число:
115₈ = 001001101₂

Переводим дробную часть числа.
Получаем число:
707₈ = 111000111₂

в) D21,E6₁₆.
Переводим целую часть числа. Заменяем каждый разряд на код из таблицы.

Двоичная система счисления	шестнадцатеричная система счисления
	A
	B
	C
	D
	E
	F

Получаем число:
D21₁₆ = 110100100001₂

Переводим дробную часть числа.
Получаем число:
E6₁₆ = 11100110₂