Системы счисления. Методы перевода чисел из одной системы счисления в другую

Основные понятия

Система счисления – совокупность приемов и правил для записи чи­сел цифровыми знаками или символами.

Все системы счисления можно разделить на два класса: позиционные и непозиционные. В классе позиционных систем для записи чисел в различных системах счисления используется некоторое количество отличных друг от друга знаков. Число таких знаков в позиционной системе счисления называется основанием системы счисления. Ниже приведена табл. 3.1, содержащая наименования некоторых позиционных систем счисления и перечень знаков (цифр), из которых образуются в них числа.

Таблица 3.1

Некоторые системы счисления

Основание	Система счисления	Знаки
	Двоичная троичная Четверичная Пятиричная Восьмеричная Десятичная Двенадцатеричная Шестнадцатеричная	0, 1 0, 1, 2 0, 1, 2, 3 0, 1, 2, 3, 4 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, D, E, F

В позиционной системе счисления относительной позиции цифры в числе ставится в соответствие весовой множитель, и число может быть представлено в виде суммы произведений коэффициентов на соответствующую степень основания системы счисления (весовой множитель):

AnAn-1An-2...A1A0, A-1A-2...= Аn · Вn + Аn-1 · Вn-1 +…+ А1 · В1 + А0 · В0 + А-1 · В-1+ + А-2 · В-2 +…

(знак “,” отделяет целую часть числа от дробной. Таким образом, значе­ние каждого знака в числе зависит от позиции, которую занимает знак в записи числа. Именно поэтому такие системы счисления называют позиционными).

Позиционная система счисления – система, в которой величина числа определяется значениями входящих в него цифр и их относительным положением в числе.

Приме­ры (десятичный индекс внизу указывает основание системы счисления):

23,4310 = 2 · 101 + 3 · 100 + 4 · 10-1 + 3 · 10-2

(в данном примере цифра 3 в одном случае означает число единиц, а в другом – число сотых долей единицы);

69210 = 6 · 102 + 9·101 + 2.

(692 с формальной точки зрения представляется в виде “шесть умножить на десять в степени два, плюс девять умножить на десять в степени один, плюс два”).

11012 = 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1·20 = 1310;

1123 = 1 · 32 + 1 · 31 + 2 · 30 = 1410;

341,58 = 3 · 82 + 4 · 81 + 1 · 80 + 5 · 8-1 = 225,12510;

A1F,416 = A · 162 + 1 · 161 + F · 160 + 4 · 16-1 = 2591,62510.

При работе с компьютерами приходится параллельно использовать несколько позиционных систем счисления (чаще всего двоичную, десятичную, восьмеричную и шестнадцате­ричную), поэтому большое практическое значение имеют процедуры перевода чисел из одной системы счисления в другую. Заметим, что во всех приведенных выше приме­рах результат является десятичным числом, и, таким образом, способ перевода чисел из любой позиционной системы счисления в десятичную уже продемонстрирован.

В общем случае, чтобы перевести целую часть числа из десятичной системы в систему с основа­нием В, необходимо разделить ее на В. Остаток даст младший разряд числа. Полученное при этом частное необходимо вновь разделить на В – остаток даст следующий разряд числа и т.д. Для перевода дробной части ее необходимо умножить на В. Целая часть полученного произведения будет первым (после запятой, отделяющей целую часть от дробной) знаком. Дробную же часть произ­ведения необходимо вновь умножить на В. Целая часть полученного числа будет следующим знаком и т.д. Конкретные примеры перевода чисел будут рассмотрены ниже.

Кроме рассмотренных выше позиционных систем счисления сущест­вуют такие, в которых значение знака не зависит от того места, которое он занимает в числе. Такие системы счисления называются непозиционными. Наиболее известным примером непозиционной системы является римская. В этой системе используется 7 знаков (I, V, X, L, С, D, М), которые соответствуют следующим величинам:

I(1) V(5) X(10) L(50) С (100) D(500) М(1000).

Примеры: III (три), LIX (пятьдесят девять), DLV (пятьсот пятьдесят пять). Недостатком непозиционных систем, из-за которых они представляют лишь ис­торический интерес, является отсутствие формальных правил записи чисел и, соответственно, арифметических действий над ними (хотя по традиции римскими числами часто пользуются при нумерации глав в книгах, веков в истории и др.).

Двоичная система счисления

Особая значимость двоичной системы счисления в информатике определяется тем, что внутреннее представление любой информации в компьютере является двоичным, т.е. описываемым наборами только из двух знаков (0 и 1).

Конкретизируем описанный выше способ в случае перевода чисел из десятичной системы в двоичную. Целая и дробная части переводятся порознь. Для перевода целой части (или просто целого) числа необходимо разделить ее на основание системы счисления и продолжать делить частные от деления до тех пор, пока частное не станет равным 0. Значения получившихся остатков, взятые в обратной последовательности, образуют искомое двоичное число. Например:

Остаток

25/2=12 (1),

12/2=6 (0),

6/2=3 (0),

3/2=1 (1),

1/2=0 (1).

Таким образом: 2510=110012.

Для перевода дробной части (или числа, у которого “0” целых) надо умножить ее на 2. Целая часть произведения будет первой цифрой числа в двоичной системе. Затем, отбрасывая у результата целую часть, вновь умножаем на 2 и т.д. Заметим, что конечная десятичная дробь при этом вполне может стать бесконечной (периодической) двоичной. Например:

0,73·2=1,46 (целая часть 1),

0,46·2 = 0,92 (целая часть 0),

0,92·2 = 1,84 (целая часть 1),

0,84·2 = 1,68 (целая часть 1) и т.д.

В итоге: 0,7310=0,10112.

Над числами, записанными в любой системе счисления, можно производить различные арифметические операции. Так, для сложения и умножения двоичных чисел необходимо использовать табл. 3.2

Таблица 3.2

Заметим, что при двоичном сложении 1 + 1 возникает перенос единицы в стар­ший разряд – как и в десятичной арифметике:

1001 1001

+ 11* 11

1100 1001

+ 1001