Перевод целого числа из двоичной системы счисления в десятичную.

Пример.

101₂ = 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 1*4 + 0 +1 = 5₁₀

Задание 12.

Переведите число 101101₂ в десятичную систему счисления.

Решение.

101101₂=1*2⁵+0*2⁴+1*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰=32+8+4+1=45₁₀

Ответ: 101101₂=45₁₀

Перевод целого числа из десятичной системы счисления в двоичную.

Алгоритм

1. Последовательно выполнить деление исходного целого десятичного числа и получаемых целых частных на основание системы (на 2) до тех пор, пока не получится частное, меньшее делителя (т.е. меньшее 2).

2. Записать полученные остатки в обратной последовательности.

Пример.Решение.

32510 = 1010001012
			-324
			1	-162
				0	-80
					1	-40
						0	-20
							0	-10
								0	-4
									1	-2	1
										0

Задание 13.

Как представляется число 25₁₀ в двоичной системе счисления?

1) 10012

2) 110012

3) 100112

4) 110102

Решение.

			1	-12
				0	-6
					0	-2
						1

25₁₀=10011₂, что соответствует ответу №2.

Ответ: 2.

Перевод дробного числа из двоичной системы счисления в десятичную.

Пример.

111,01₂ = 1*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ + 1*2^-1 + 1*2^-2 = 1*4 + 1*2 +1+ 0* +1* =

= 4+2+1+0,5+0,25 = 7,75₁₀

Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную.

Алгоритм.

1. Последовательно умножать (в исходной системе счисления) данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы (на 2) до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или будет достигнута требуемая точность представления данного числа.

2. Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами в числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системе счисления.

3. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

Пример. 0,710 ≈ х 2 Решение. 0,       х           х           х           х           х         …

Пример.

0,5625₁₀ = 0,1001₂.

Очевидно, что этот процесс может продолжаться до бесконечности. Обрывают процесс на шаге, когда получена требуемая точность вычисления (количество знаков после запятой). 0,710 ≈ 0,10110 2

Решение.

0,
	х
	х
	х
	х

Арифметические операции в двоичной и кратных ей системах счисления.

Арифметические операции в позиционных системах счисления производится по единому алгоритму. Так, сложение двоичных чисел происходит по классическому алгоритму «столбиком» с переносом числа, кратного двум, единицей в следующий разряд.

Рассмотрим этот алгоритм на примере двух двоичных чисел 1010101₂ и 110111₂:

Дописывание единицы
Первое слагаемое
Второе слагаемое
Сумма

Результат сложения выглядит как 10001100₂. Проверим результат сложения, для чего переведем все числа в десятичную систему счисления:

1010101₂=85₁₀, 110111₂=55₁₀, 10001100₂=140₁₀, 85₁₀+55₁₀=140₁₀.

Двоичная система, являющаяся основой компьютерной арифметики, весьма громоздка и неудобна для использования человеком. Поэтому программисты используют две кратные двоичной системы счисления: восьмеричную и шестнадцатеричную. В случае шестнадцатеричной системы арабских цифр не хватает, и в качестве цифр используются первые шесть заглавных букв латинского алфавита. Примеры записи натуральных чисел от 1 до 16 в четырех системах счисления помещены в Таблице 2.

Таблица 2. Примеры записи натуральных чисел от 1 до 16