Перевод чисел в «машинной группе».

Для записи целого двоичного числа в системе счисления с основанием q=2ⁿ используется следующий алгоритм перевода:

1. Данное двоичное число разбить справа налево на группы по n чисел.

2. Если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов.

3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2ⁿ.

Для удобства переводов можно использовать таблицы переводов:

 

Двоично-восьмеричная таблица

 

Двоично-шестнадцатеричная таблица
A
B
C
D
E
F

 

Пример:

Перевести 1011,10011₂ в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления:

 

 

Практическая часть

Практические задания по теме «Системы счисления».

1. Какие числа записаны римскими цифрами:

а) MCMXCIX; б) CMLXXXVIII; в) MCXLVII?

 

2. Запишите год, месяц и число своего рождения c помощью римских цифр.

 

3. Некоторые римские цифры легко изобразить, используя палочки или спички. Ниже написано несколько неверных равенств. Как можно получить из них верные равенства, если разрешается переложить с одного места на другое только одну спичку (палочку)?

VII - V=XI IX-V=VI

VI - IX=III VIII - III=X

 

4. Заполните следующую таблицу:

Система счисления	Основание	Цифры
шестнадцатеричная
десятичная		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
		0,1,2,3,4,5,6,7

 

5. Заполните следующую таблицу:

Система счисления	Основание	Разряды (степени)
десятичная
восьмеричная
двоичная

 

6. Запишите в развернутом виде числа:

а) А8=143511;	г) А10=143,511;
б) А2=100111; в) А16=143511;	д) А8=0,143511; е) А16=1A3,5C1.

 

7. Запишите в свернутой форме следующие числа:

а) А10= 9·101+1·100+5·10-1+3·10-2;

б) А16=А·161+1·160+7·16-1+5·16-2.

 

8. Правильно ли записаны числа в соответствующих системах счисления:

а) А10=А,234;

б) А8=-5678;

в) А16=456,46;

г) А2=22,2;

 

9. Какое минимальное основание имеет система счисления, если в ней записаны числа 127, 222, 111? Определите десятичный эквивалент данных чисел в найденной системе счисления.

 

10. Чему равен десятичный эквивалент чисел 10101₂, 10101₈ 10101₁₆?

 

11. Какое из чисел 110011₂, 111₄, 35₈ и 1В₁₆ является: а) наибольшим; б) наименьшим.

 

12. Существует ли треугольник, длины сторон которого выражаются числами 12₈, 11₁₆ и 11011₂?

 

13. Выпишите целые десятичные числа, принадлежащие следующим числовым промежуткам:

а) [1011012; 1100002]; б) [148; 208];

в) [2816; 3016].

14. В классе 1111₂ девочек и 1100₂ мальчиков. Сколько учеников в классе?

 

15. У меня 100 братьев. Младшему 1000 лет, а старшему 1111 лет. Старший учится в 1001 классе. Может ли такое быть?

 

 

Практические задания по теме «Перевод чисел из одной системы счисления в другую».

 

1. Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же целое число должно быть записано в различных системах счисления.

 

Двоичная	Восьмеричная	Десятичная	Шестнадцатеричная
			9B

 

2. Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же дробное число должно быть записано в различных системах счисления.

 

Двоичная	Восьмеричная	Десятичная	Шестнадцатеричная
0,101
	0,6
		0,125
			0,4

 

3. Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же произвольное число (число может содержать как целую, так и дробную часть) должно быть записано в различных системах счисления.

 

Двоичная	Восьмеричная	Десятичная	Шестнадцатеричная
111101,1
	233,5
		46,5625
			59,B

Ответы к практическим заданиям.

Системы счисления

1. а) M(1000)CM(1000-100)XC(100-10)IX(10-1) = 1999; б) 988; в) 1147.

3. Один из возможных способов решения:

VI + V=XI XI-V=VI

VI =IX-III VIII +II=X

4.

Система счисления	Основание	Цифры
шестнадцатеричная		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
десятичная		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
восьмеричная		0,1,2,3,4,5,6,7
двоичная		0,1

 

 

5.

Система счисления	Основание	Разряды (степени)
десятичная
восьмеричная
двоичная

 

12. Не существует, так как 12₈+11₁₆=11011₂ (10+17= 27).

 

13. а) 45,46,47,48; б) 12,13,14,15,16; в) 40,41,...,47,48.

 

14. 27 учеников.

 

15. Может быть, если все данные приведены в двоичной системе счисления.

 

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

1.

Двоичная	Восьмеричная	Десятичная	Шестнадцатеричная
			2А
			10D
			9B

2.

Двоичная	Восьмеричная	Десятичная	Шестнадцатеричная
0,101	0,5	0.625	0,А
0,11	0,6	0,75	0,С
0,001	0,1	0,125	0,2
0,01	0.2	0,25	0,4

3.

Двоичная	Восьмеричная	Десятичная	Шестнадцатеричная
111101,1	75,4	61,5	3D,8
10011011,101	233,5	155, 625	9B,A
101110,1001	56,44	46,5625	2E,9
1011001,1011	131,52	89,65625	59,B

Заключение

Данная работа была написана с целью, привлечь внимание к изучению систем счисления, как неотъемлемой части вычислительной техники.

Идея работы зародилась во время изучения истории возникновения чисел. Позднее была обнаружена связь между нашей темой и вычислительной техникой.

Работая над проектом, мы познакомились с системами счисления, правилами переводов из одной системы в другую, усовершенствовали навыки работы в Power Point, Word и Интернете.

В ходе работы над проектом рассмотрены практические задания по теме «Системы счисления» и «Переход из одной системы счисления к другой».

Данная тема практико-ориентированная и может быть использована на факультативных занятиях и кружке.

 

 

Список литературы

1.	Информатика. Базовый курс. 7-9 классы/ И.Г. Семакин, Т.Ю. Шеина -М.: БИНОМ. Лаборатория базовых знаний, 2004 г.
2.	Информатика. Задачник-практикум в 2 т. / Под. ред. И.Г. Семакина, Е.К. Хеннера.-М.:БИНОМ Лаборатория базовых знаний, 2003 г.
3.	И.Г. Семакин, Г.С. Варагсин Информатика. Структурированный конспект базоваго курса. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2001 г.
4.	Преподавание курса «Информатика и информационные технологии» в основной и старшей школе. 8 – 11 классы. Методическое пособие для учителей. В комплекте CD диск. / Н. Д. Угринович. – М.: Бином, 2007.

 

Приложение 1Троичная машина «Сетунь»

В Вычислительном центре МГУ разработана малая автоматическая цифровая машина "Сетунь". Целью разработки вычислительной машины "Сетунь" было создание недорогой машины для решения научно-технических и хозяйственных задач средней сложности в вузах, конструкторских бюро, на заводах, в научно-исследовательских институтах и лабораториях. Другими словами, имелась в виду малая автоматическая вычислительная машина, рассчитанная на массовое использование. Исходя из этого, к машине были предъявлены следующие требования:

Скорость работы - несколько сот операций в секунду.

Точность вычислений - 6-8 верных десятичных знаков.

Простота и удобство программирования.

Надежность в эксплуатации и непритязательность в техническом обслуживании.

Умеренные габариты, небольшое потребление энергии.

Использование недорогих и недефицитных материалов и деталей.

Рассматривая эти требования в совокупности, можно заметить, что некоторые из них являются трудно совместимыми. Например, создание значительных удобств для программистов влечет за собой усложнение машины и увеличение количества оборудования, что ведет к снижению надежности и повышению стоимости, как самой машины, так и ее эксплуатации.

Наиболее полное удовлетворение предъявленным требованиям было получено путем:

1) создания удобств для программистов с помощью специальных обслуживающих программ;

2) применения двухступенчатой системы памяти;

3) построения схем на магнитных элементах;

4) использования троичной системы счисления.

Удобства для программистов, помимо инженерного пути, связанного с усложнением машины, могут быть реализованы программным путем, то есть разработкой систем стандартных подпрограмм, введением компилирующих и интерпретирующих систем, программирующих программ и т. д. Этот способ создания удобств является значительно более совершенным и гибким, чем инженерный. Наличие нескольких вариантов обслуживающих систем позволяет проще удовлетворить различные потребности программистов, приспособить машину для эффективного решения определенного класса задач, кроме того, в эти системы сравнительно быстро могут быть внесены дополнения и изменения, отражающие новые идеи в программировании. При таком способе создания удобств достаточно, чтобы машина могла выполнять ограниченный набор сравнительно простых операций и ее, поэтому легче сделать надежной, простой в эксплуатации и дешевой. Однако такая машина должна обладать определенным запасом мощности: необходима дополнительная емкость памяти для хранения обслуживающих программ и некоторый запас скорости для компенсации замедления счета, вызываемого работой этих программ.

Создание запаса емкости запоминающего устройства практически не удорожает машину, если ее основная память реализована на магнитном барабане.

Запас скорости можно получить путем добавления запоминающего устройства небольшой емкости на ферритовых сердечниках, которое связано с магнитным барабаном групповой передачей информации и используется в качестве оперативной памяти. Расчеты показывают, что скорость работы "Сетунь", которая снабжена быстродействующей ступенью памяти емкостью в 162 ячейки по 9 троичных разрядов, в 8-9 раз превосходит ту скорость, которой обладала бы эта машина, если бы она была оснащена только магнитным барабаном (не имеется в виду использование оптимального программирования - прим. авт.); с другой стороны, скорость работы "Сетуни" только в 5-6 раз ниже скорости, которой обладала бы машина, если бы барабан в ней был заменен быстродействующим запоминающим устройством той же емкости.

Использование в качестве основного элемента схем машины магнитного усилителя с тактовой частотой 200 кГц вместе с применением троичной системы счисления позволили обеспечить требуемую скорость выполнения операции при помощи простого и экономного арифметического устройства с сумматором последовательного действия. В связи с тем, что при одной и той же точности представления чисел троичное слово в 1,6 раза короче двоичного, операции, подобные сложению, в троичном последовательном арифметическом устройстве выполняются в 1,6 раза быстрее, чем в двоичном.

Троичная система счисления с цифрами 0, 1, -1 обладает, кроме того, и другими преимуществами по сравнению с двоичной системой. Благодаря наличию в этой системе "положительной" и "отрицательной" цифр, в коде числа нет особого разряда знака, что существенно упрощает логику арифметических операций.

Требования относительно надежности, габаритов и потребления энергии были удовлетворены использованием в качестве основного элемента логических схем машины специально разработанного быстродействующего магнитного усилителя. Этот усилитель состоит из миниатюрного трансформатора с ферритовым сердечником и полупроводникового диода, причем в схемах усилители соединяются друг с другом без посредства каких-либо электрических деталей, за исключением соединительных проводов. Общее количество магнитных усилителей в машине - 3500. Количество других элементов сравнительно мало: транзисторов - 330, электронных ламп - 37, электромагнитных реле - 10.

Тот факт, что наилучшее округление числа до k верных троичных знаков получается отбрасыванием младших знаков, начиная с (k+1)-го, избавляет от необходимости устраивать в машине аппарат округления и вводить варианты арифметических операций, различающиеся наличием или отсутствием округления.

Сказанное о знаке и округлении означает также, что операция сдвига в троичной системе счисления совмещает в себе функции таких разновидностей двоичного сдвига, как логический сдвиг, арифметический сдвиг без округления, арифметический сдвиг с округлением. Вообще, равноценный с точки зрения программиста набор выполняемых машиной операций, в троичном варианте машины, получается более компактным, чем в двоичном.

 

 

Приложение 1

Практическая часть

Практические задания по теме «Системы счисления».

1. Какие числа записаны римскими цифрами:

а) MCMXCIX; б) CMLXXXVIII; в) MCXLVII?

 

2. Запишите год, месяц и число своего рождения c помощью римских цифр.

 

3. Некоторые римские цифры легко изобразить, используя палочки или спички. Ниже написано несколько неверных равенств. Как можно получить из них верные равенства, если разрешается переложить с одного места на другое только одну спичку (палочку)?

VII - V=XI IX-V=VI

VI - IX=III VIII - III=X

 

4. Заполните следующую таблицу:

Система счисления	Основание	Цифры
шестнадцатеричная
десятичная		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
		0,1,2,3,4,5,6,7

 

5. Заполните следующую таблицу:

Система счисления	Основание	Разряды (степени)
десятичная
восьмеричная
двоичная

 

6. Запишите в развернутом виде числа:

а) А8=143511;	г) А10=143,511;
б) А2=100111; в) А16=143511;	д) А8=0,143511; е) А16=1A3,5C1.

 

7. Запишите в свернутой форме следующие числа:

а) А10= 9·101+1·100+5·10-1+3·10-2;

б) А16=А·161+1·160+7·16-1+5·16-2.

 

8. Правильно ли записаны числа в соответствующих системах счисления:

а) А10=А,234;

б) А8=-5678;

в) А16=456,46;

г) А2=22,2;

 

9. Какое минимальное основание имеет система счисления, если в ней записаны числа 127, 222, 111? Определите десятичный эквивалент данных чисел в найденной системе счисления.

 

10. Чему равен десятичный эквивалент чисел 10101₂, 10101₈ 10101₁₆?

 

11. Какое из чисел 110011₂, 111₄, 35₈ и 1В₁₆ является: а) наибольшим; б) наименьшим.

 

12. Существует ли треугольник, длины сторон которого выражаются числами 12₈, 11₁₆ и 11011₂?

 

13. Выпишите целые десятичные числа, принадлежащие следующим числовым промежуткам:

а) [1011012; 1100002]; б) [148; 208];

в) [2816; 3016].

14. В классе 1111₂ девочек и 1100₂ мальчиков. Сколько учеников в классе?

 

15. У меня 100 братьев. Младшему 1000 лет, а старшему 1111 лет. Старший учится в 1001 классе. Может ли такое быть?

 

 

Практические задания по теме «Перевод чисел из одной системы счисления в другую».

 

1. Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же целое число должно быть записано в различных системах счисления.

 

Двоичная	Восьмеричная	Десятичная	Шестнадцатеричная
			9B

 

2. Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же дробное число должно быть записано в различных системах счисления.

 

Двоичная	Восьмеричная	Десятичная	Шестнадцатеричная
0,101
	0,6
		0,125
			0,4

 

3. Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же произвольное число (число может содержать как целую, так и дробную часть) должно быть записано в различных системах счисления.

 

Двоичная	Восьмеричная	Десятичная	Шестнадцатеричная
111101,1
	233,5
		46,5625
			59,B

Ответы к практическим заданиям.

Системы счисления

1. а) M(1000)CM(1000-100)XC(100-10)IX(10-1) = 1999; б) 988; в) 1147.

3. Один из возможных способов решения:

VI + V=XI XI-V=VI

VI =IX-III VIII +II=X

4.

Система счисления	Основание	Цифры
шестнадцатеричная		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
десятичная		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
восьмеричная		0,1,2,3,4,5,6,7
двоичная		0,1

 

 

5.

Система счисления	Основание	Разряды (степени)
десятичная
восьмеричная
двоичная

 

12. Не существует, так как 12₈+11₁₆=11011₂ (10+17= 27).

 

13. а) 45,46,47,48; б) 12,13,14,15,16; в) 40,41,...,47,48.

 

14. 27 учеников.

 

15. Может быть, если все данные приведены в двоичной системе счисления.